1、第4章剛體的定軸轉(zhuǎn)動習(xí)題及答案1 .剛體繞一定軸作勻變速轉(zhuǎn)動，剛體上任一點(diǎn)是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否隨時間變化？答：當(dāng)剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時，角加速度不變。剛體上任一點(diǎn)都作勻變速圓周運(yùn)動，因此該點(diǎn)速率在均勻變化，vl,所以一定有切向加速度atl,其大小不變。又因該點(diǎn)速度的方向變化，所以一定有法向加速度anl2,由于角速度變化，所以法向加速度的大小也在變化。2 .剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理是什么關(guān)系？答：剛體是一個特殊的質(zhì)點(diǎn)系，它應(yīng)遵守質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理，當(dāng)剛體繞定軸Z轉(zhuǎn)動時，動量矩定理的形式為Mz姐，Mz表示剛體對Z軸的合外力矩，Lz表示剛體對

2、Z軸的動量矩。dtLzmili2I淇中Imli2,代表剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量，所以一dLzd,d,MzIII。既MzIodtdtdt所以剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律是質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的具體表現(xiàn)形式，及質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理用于剛體時在剛體轉(zhuǎn)軸方向的分量表達(dá)式。3 .兩個半徑相同的輪子，質(zhì)量相同，但一個輪子的質(zhì)量聚集在邊緣附近，另一個輪子的質(zhì)量分布比較均勻，試問：(1)如果它們的角動量相同，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？(2)如果它們的角速度相同，哪個輪子的角動量大？答：(1)由于LI,而轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān)，半徑、質(zhì)量均相同的輪子，質(zhì)量聚集在邊緣附近的輪子的轉(zhuǎn)動慣量大，故角速度小，轉(zhuǎn)得慢，質(zhì)量分布

3、比較均勻的輪子轉(zhuǎn)得快；(2)如果它們的角速度相同，則質(zhì)量聚集在邊緣附近的輪子角動量大。4 .一圓形臺面可繞中心軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，有一玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運(yùn)動，問平臺如何運(yùn)動？如小汽車突然剎車，此過程角動量是否守恒？動量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運(yùn)動時，平臺將沿相反方向轉(zhuǎn)動；小汽車突然剎車過程滿足角動量守恒，而能量和動量均不守恒。5 .一轉(zhuǎn)速為1200r/min的飛輪，因制動而均勻地減速，經(jīng)10秒后停止轉(zhuǎn)動，求：(1) 飛輪的角加速度和從開始制動到停止轉(zhuǎn)動，飛輪所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；(2) 開始制動后5秒時飛輪的角速度。解：(1)由題意飛輪的初角速度為

4、飛輪作均減速轉(zhuǎn)動，其角加速度為故從開始制動到停止轉(zhuǎn)動，飛輪轉(zhuǎn)過的角位移為因此，飛輪轉(zhuǎn)過圈數(shù)為/2100圈。(2)開始制動后5秒時飛輪的角速度為6.如圖所示，一飛輪由一直徑為dz(m),厚度為a(m)的圓盤和兩個直徑為d(m),長為L(m)的共軸3圓柱體組成，設(shè)飛輪的密度為(kg/m),求飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：如圖所示，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的可加性,飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量可視為圓盤與兩圓柱體對同軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。由此可得7.如圖所示，一半徑為r,質(zhì)量為mi的勻質(zhì)圓盤作為定滑輪,求重物下落的加速度。解：設(shè)繩中張力為T對于重物按牛頓第二定律有m2gTm2a對于滑輪按轉(zhuǎn)動定律有12c?Trmr?2由角量線量關(guān)系

5、有？ar聯(lián)立以上三式解得？繞有輕繩，繩上掛一質(zhì)量為m2的重物,(2)(3)8.如圖所示，兩個勻質(zhì)圓盤同軸地焊在一起，它們的半徑分別為心且與盤面垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，兩輪上繞有輕繩，各掛有質(zhì)量為解：設(shè)連接m3的繩子中的張力為ri、r2,質(zhì)量為m1和m>2,可繞過盤m3和m4的重物，求輪的角加速T1,連接m4的繩子中的張力為T2。對重物m3按牛頓第二定律有？m3gTim3a3對重物mu按牛頓第二定律有？?丁2mugm4a4(2)對兩個園盤，作為一個整體，按轉(zhuǎn)動定律有？.11TjiT2r2”口2m2r2(3)由角量線量之間的關(guān)系有a3r1？(4)a4卜(5)聯(lián)立以上五式解得9.如圖所示，一半徑

6、為R,質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，以角速度3繞其中心軸轉(zhuǎn)動。現(xiàn)將它平放在一水平板上,盤與板表面的摩擦因數(shù)為心(1)求圓盤所受的摩擦力矩；(2)問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才能停止？解：分析：圓盤各部分的摩擦力的力臂不同，為此，可將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，對環(huán)的摩擦力矩積分即可得總力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角動量定理可求得圓盤停止前所經(jīng)歷的時間。(1)圓盤上半徑為r、寬度為dr的同心圓環(huán)所受的摩擦力矩為 負(fù)號表示摩擦力矩為阻力矩。對上式沿徑向積分得圓盤所受的總 摩擦力矩大小為(2)由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量I 1mr2,2由角動量定理可得圓盤停止的時間為10.飛輪的質(zhì)量 m = 60kg

7、,半徑R= 0.25m,繞其水平中心軸 O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900rev - min-1.現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力drrdFF ,可使飛輪減速.已=0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算.試知閘桿的尺寸如題4-10圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)求：設(shè)F=100N,問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動？在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力F?Fr、Fr是摩擦力，F(xiàn)x和Fy是解：(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b).圖中N、N是正壓力,桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力,桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對 ，, R是輪的重力，P是輪在O軸處所受支承力.A點(diǎn)的

8、合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計，則有對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有FR/I ,式中負(fù)號表示速度方向相反.Fr NFr Nl1 l 21i-mR2,FrRI2 (l1 l2)FmRl10. 50m以F100N等代入上式，得由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為這段時間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.1轉(zhuǎn).2.10900rads,要求飛輪轉(zhuǎn)速在t2s內(nèi)減少一半，可知60用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為11 .如圖所示，主動輪A半徑為ri,轉(zhuǎn)動慣量為I1,繞定軸O1轉(zhuǎn)動；從動輪B半徑為轉(zhuǎn)動慣量為I2,繞定軸。2轉(zhuǎn)動；兩輪之間無相對滑動。若知主動輪受到的驅(qū)動力矩為M,求兩個

9、輪的角加速度i和2。解：設(shè)兩輪之間摩擦力為f對主動輪按轉(zhuǎn)動定律有：Mfr1I11(1)對從動輪按轉(zhuǎn)動定律有fr2I22(2)由于兩個輪邊沿速率相同，有ri1r22(3)聯(lián)立以上三式解得？12 .固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸OO轉(zhuǎn)動.設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r,質(zhì)量分別為M和m.繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和m2相連，m1和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題4-12(a)圖所示.設(shè)R=0.20m,r=0.10m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kg,且開始時m1,m2離地均為h=2m.求:(1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；兩側(cè)細(xì)繩的張力.解:設(shè)a1,a2和B分別為m1

10、,m2和柱體的加速度及角加速度方向題4-12(b)圖.(1)m1，m2和柱體的運(yùn)動方程如下:T2m2gm2a2mng T1ma1Ek012(mm0)R2m°V0Sin (m m°)R.2m0 sin12-m0V0m m014.如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸o距兩端分別為 1|和2|.輕桿原來靜止在豎直位置.今有一質(zhì)量為 33m的小球，以水平速度0與桿下端小球 m作對心碰撞，碰后以1，一、 一 ,，一一，一一、。的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度.2解：碰撞過程滿足角動量守恒:所以由此得到:Im(|

11、l)2,2.2mv0lml33v02l1 I 2222m(-l)ml33會0?V。2m131 ?i3O15.如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為Ja = 10 kg m2和Jb= 20 kg m2.開始時，A輪轉(zhuǎn)速為600 rev/min , B輪靜止.動慣量可忽略不計.A、B分別與C的左、右兩個組件相連，當(dāng)C的左右組件嚙合時，速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速相等為止.設(shè)軸光滑，求：C為摩擦嚙合器，其轉(zhuǎn)B輪得到加速而A輪減 解:兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n;兩輪各自所受的沖量矩.(1)兩輪嚙合過程滿足角動量守恒:ABCATiRT2rI式中T1T1,T2T2,a2r,a1R1212而IMR

12、mr22由上式求得(2)由式由式13 .一質(zhì)量為m、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動.另一質(zhì)量為mo的子彈以速度Vo射入車&緣(如題2-31圖所示方向).開始時輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值？用m,mo和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動能和初始動能之比.解：射入的過程對O軸的角動量守恒movosin(mmo)R所以因?yàn)?nIaHaI A I B10 60010 20200r / min兩輪各自所受的沖量矩:末角速度:2n220060雙 rad/s 3A輪各所受的沖量矩:L IA IA 0 1020600400604.19 102 (N m s)T0 .如它的半徑由RB輪各所受的沖量矩:16 .有一半徑為R的均勻球體，繞通過其一直徑的光滑固定軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動周期為，1自動收縮為一R,求球體收縮后的轉(zhuǎn)動周期.(球體對于通過直徑的軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=2mR2/5,式中m2和R分別為球體的質(zhì)量和半徑).解：(1)球體收縮過程滿足角動量守恒：所以17 .一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M,半徑為R,