1、計算機銷售的最高利潤姓名學號班級袁少偉20098511袁少偉摘 要隨著科學的發展，社會越來越進步，計算機已經成為人們生活中不可缺少的一種工具，在這種情況下，計算機制造廠商也越來越多，為了獲得高利潤，這就需要生產商從各方面著手，以最少的成本獲得最大的利潤。本題就是針對一家計算機制造廠商通過調整計算機的批發價格和廣告預算費用來獲得最大利潤的問題；題中批發價格和廣告預算費用是兩個相對獨立有限制的變量，所以該題我們采用有約束的多變量最優化模型求解。問題一是求使利潤最高是的銷售價格和廣告預算。通過分析，銷售價格和廣告預算是兩個相對獨立的變量，所以我們利用有約束的優化模型建立模型，拉格朗日乘子法求解，結果

2、為：要獲得最大利潤，廣告費用增加50000美元/月，計算機批發價格15美元/臺，獲得最大利潤2661250美元。問題二是討論決策變量（批發價格和廣告預算費用）關于價格彈性系數（數據50%）的靈敏度。模型中的參數價格彈性系數是通過估計、預測的，需考慮其靈敏性，在分析時將此參數設為變量，進行計算。本題中我們用微分方程對價格彈性系數作為特定參數進行靈敏性分析，結果為：如果價格彈性系數在50%的基礎上提升1%，計算機批發價格就應當在935美元的基礎上降低7.33%，而價格彈性系數如在一個微小范圍內進行波動將對廣告預算費用的提高無影響。問題三是討論決策變量關于每增加10000美元/月的廣告費，多銷售的計

3、算機200臺這一數據的靈敏性。方法同樣是用微分學進行靈敏性分析，結果為：當每增加10000美元/月廣告費時可多銷售200臺基礎上增加1%，計算機批發價格應在935美元基礎上降低0.67%，而價格彈性系數如在一個微小范圍內進行波動將對廣告預算費用的提高無影響。問題四是分析說明拉格朗日乘子數（也就是影子價格）的實際意義，再利用其說服公司最高管理層提高廣告費用的最高限額。關鍵詞：有約束的多變量最優化模型；靈敏性分析；拉格朗日乘子；影子價格；一、問題提出一家個人計算機制造廠商現在每個月售出10000臺基本機型的計算機。生產成本為700美元/臺。批發價為950美元/臺。在上一個季度中，制造廠商在幾個座位

4、試驗的市場將價格降低了100美元，其結果是銷售量提高了50%。公司在全國為其產品做廣告的費用為每個月50000美元。廣告代理商宣稱若將廣告預算每個月提高10000美元，會使每個月的銷售額增加200臺。管理部門同意考慮提高廣告預算到最高不超過100000美元/月。（1）利用有約束最優化模型和拉格朗日乘子發求使利潤達到最高的價格和廣告預算。（2）討論決策變量（價格和廣告費）關于價格彈性系數（數據50%）的靈敏性。（3）討論據決策變量關于廣告商估計的每增加10000美元/月的廣告費，可多售200臺這一數據的靈敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的實際意義是什么？你如何利用這一信息來說服最高管

5、理層提高廣告費用的最高限額？二、基本假設假設1： 批發價格降低了100美元，其結果是銷售量提高了50%。假設2：將廣告預算每個月提高10000美元，會使每個月的銷售額增加200臺。三、符號說明符號意義單位備注s計算機的銷售數量臺y每個月提高的廣告預算量美元50000x計算機市場價格降低量美元z計算機市場銷售價格美元C生產計算機的總成本美元R計算機銷售的總收入美元P計算機銷售的凈利潤美元m計算機的初始銷售數量臺常量n計算機的初始銷售價格美元常量d計算機的初始廣告費美元常量D每月廣告預算費的最大值美元常量a價格的彈性系數常量b廣告預算增加每10000美元，銷售數量的增加量臺常量表格1四、問題分析計

6、算機的銷售價格為： （此處n=950美元）計算機的銷售數量為： （此處m=10000臺，a=50%,b=200臺）因此，計算機總的銷售收入為： 生產總成本為： (此處d=50000美元) 生產凈利潤為： P=R-C因此，原問題轉化為求0x250美元和0y50000美元，使得P取得最大值五、模型的建立與求解5.1 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析由于計算機的銷售利潤受兩個獨立變量銷售價格和廣告費用的共同影響，這是一個多變量有約束的條件求解極值的問題，我們采用采用拉格朗日乘子法求解。5.1.2 問題一模型的建立由上述分析與基本假設，原問題的數學模型如下： x.y 其中 a=0.55.1

7、.3 問題一模型的求解求解方法-Lagrange乘子法這是一個帶有多個約束條件的多變量最優化問題，可以使用Lagrange乘子法求解。第1步：確定目標函數P(x,y)的可行域S 目標函數P(x,y)的可行域S（見圖1）為：圖1第2步：計算在可行域S的內部，因此，最大值一定在邊界上達到。第3步：計算邊界上的極大值由于可行域由4條直線圍成，因此需要分別計算P(x,y)在每一條邊界線段上的極大值，下面分別計算， 其Lagrange乘子方程為，即約束條件為：由于要獲得利潤，銷售價格必須大于成本價，即所以所得結果如下表格2所示：xyP01248004294920024.9603.52481249.921

8、5500003.72661250表格2由上表可知，當x=0時，y=124800>50000，不符合題意，所以，當x=15，y=50000時，可獲得最大利潤2661250美元。5.1.4 問題一結果的分析及驗證有上面計算可知，這家計算機制造商將銷售價格降低15美元，每月的廣告預算費用提高50000美元，可獲得最大利潤2661250美元。5.2 問題二模型建立與求解5.2.1 問題二的分析由于在模型中我們假設降低100美元的價格彈性系數a=0.5，所以應該研究它的微小變化對模型結果的影響。而模型主要求的是銷售價格和廣告預算費，所以我們只考慮a的微小變化對這兩個的影響。5.2.2 問題二模型的

9、建立在模型中我們假設a=0.5，將其帶入前面的公式中，我們得到：5.2.3 問題二模型的求解令P關于x，y的偏導數為零，則：約束方程為：y=50000聯立求解得 計算機批發價格降低量x關于價格彈性系數n的曲線圖如圖2所示：圖2可以用相對改變輛衡量結果對參數的敏感程度，x對a的敏感度記作S（x，a），定義為當a=0.5，x=15時，5.2.4 問題二結果的分析及驗證如果價格彈性系數在50%的基礎上提升1%，計算機批發價格就應當在935美元的基礎上降低7.33%，而價格彈性系數如在一個微小范圍內進行波動將對廣告預算費用的提高無影響。5.3 問題三模型建立與求解5.3.1 問題三的分析由于在模型中我

10、們假設提高10000美元/月，銷售量增加的量b是由估算得到的，所以應該研究它的微小變化對模型結果的影響，討論決策變量（價格和廣告費）關于m這一數據的靈敏性。5.3.2 問題三模型的建立在模型中我們假設b=200臺，將其帶入前面的公式中，我們得到：5.3.3 問題三模型的求解令P關于x，y的偏導數為零，則：約束方程為：y=50000聯立求解得 計算機批發價格降低量x關于臺數m的曲線圖如圖3所示：圖3同理，可以用相對改變輛衡量結果對參數的敏感程度，x對a的敏感度記作S（x，b），定義為當x=15，b=200時，5.3.4 問題三分析和驗證當每增加10000美元/月廣告費時可多銷售200臺基礎上增加

11、1%，計算機批發價格應在935美元基礎上降低0.67%，而價格彈性系數如在一個微小范圍內進行波動將對廣告預算費用的提高無影響。5.4問題四模型的建立與求解在問題一中求出來的乘子的值為；其意義為廣告費用的限額每增加1個單位，則利潤增加額為萬美元，這就是影子價格。它代表了對這個公司來講某種資源（廣告費用）的價值。如果公司有意提高自己的廣告費用（這是最關鍵的約束），它會愿意付出每單位不超過3.7美元的價格來增加自己的廣告費用。六、模型的評價與推廣6 模型的評價本題我們利用有約束最優化模型求解，前面我們已經利用靈敏性分析評估了模型對不確定性數據的穩定性，決策變量（價格和廣告費）關于價格彈性系數（數據50%）的靈敏性，以及決策變量關于廣告商估計的每增加10000美元/月的廣告費，可多售200臺這一數據的靈敏性都做了靈敏性分析，結果不穩定因素對它們的影響都很小，可以忽略不計。前面我們已經利用靈敏性分析評估了模型對不確定性數據的穩定性；現在我們來看看其他類型的假設。它們可能來自于數學處理的方便和簡化的目的，在回答問題之后，應該考察這些假設是否過于特殊，以致使結果無效。 在前面的假設中，極為重要的假設就是：計算機的銷售數量是銷售價格降低量的線性函數、計算機的銷售數量是廣告費用提高