1、直角三角形的解法及應用湖南省郴州市三中 曹仁斌 電話郵編：423000 email:caorb解直角三角形是初中數學的一個重要內容，它在實際生活中應用非常廣泛，是中考的重點和熱點，也是今后學習三角函數的基礎解直角三角形及應用與直角三角形的概念、性質、判定和作圖有著密切的聯系，它是在研究幾何圖形性質的基礎上，根據已知條件，通過計算求未知的邊長、角度和面積等的過程要學好解直角三角形及應用，必須理解直角三角形中邊、角之間的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數來解直角三角形，并會應用解直角三角形的有關知識來解決某些簡單的實際問題現把直角三角形的解法及應

2、用簡析如下：1、明確解直角三角形的依據和思路在RtABC中，C90°，設三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則解直角三角形的主要依據是：（1）邊角之間的關系：sinAcosB， cosAsinB，tanAcotB，cotAtanB（2）兩銳角之間的關系：AB90° （3）三條邊之間的關系：（4）三角形面積：（5）同角三角函數的關系： 平方關系：；商數關系：，；倒數關系： 以上每個邊角關系式都可看作方程，解直角三角形及應用的思路，就是根據已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關系式，通過解一元方程來求解2、解直角三角形的基本類型和方法在直角三角形中，除直角

3、以外還有三條邊及兩個銳角共五個元素，那么已知了什么樣的條件的直角三角形才可解呢？ 解直角三角形跟直角三角形的判定與作圖有著本質的聯系除直角以外，已知兩個元素（至少有一個是邊）則可作出此直角三角形，即此直角三角形是確定的，所以這樣的直角三角形是可解的由于已知兩個銳角的直角三角形是不確定的，它們是無數多個相似的直角三角形，因此求不出各邊的長所以，要解直角三角形，給出的除直角外的兩個元素中，必須至少有一個是邊由此可得，解直角三角形就分為兩大類，一類為：已知一條邊及一個銳角，二類為：已知兩條邊基本類型和解法歸納如下： 已知條件解法一邊及一銳角 直角邊a及銳角AB90°A，ba

4、83;cotA， 斜邊c及銳角AB90°A，ac·sinA，bc·cosA兩邊 兩條直角邊a和b，B90°A，直角邊a和斜邊c，B90°A，例1、如圖，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且A，AE1，求AB的長分析一：所求AB是RtABC的斜邊，但在RtABC 中只知一個銳角A，暫不可解而在RtADE中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解RtADE入手解法一：在RtADE中，且A，AE1，在RtADC中， ，在RtABC中，分析二：觀察圖形可知，CD、CE分別是RtABC和RtACD斜邊上的高，具備應用射影定理的條件，可以利用射影定理求解

5、解法二：同解法一得，在RtACD中，在RtABC中，點評：本題是由幾個直角三角形組合而成的圖形這樣的問題，總是先解出已經具備條件的直角三角形，從而逐步創造條件，使得要求解的直角三角形最終可解另外，射影定理揭示了直角三角形中有關線段的數量關系，在解直角三角形時經常要用到例2、如圖，在RtABC中，C90°，AD是BC邊上的中線若BD，B30°，求AD的長；分析：由AD是BC邊的中線，只知DC一條邊長，僅此無法直接在RtADC中求解AD而在RtABC中，由已知BC邊和B可以先求出AC，從而使RtADC可解解析：在RtABC中，BC2BD2，B30°，ACBC 

6、3;tanB2，在RtADC中，DCBD， 點評：在解直角三角形的問題中，經常會遇到如上的圖形，它是含有兩個直角三角形的圖形這樣的問題常常是利用其中一個直角三角形來解另一個直角三角形例3、 如圖，在RtABC中，C90°，D為BC上一點，ABC45°,ADC60°，BD1，求AB分析：已知的角度告訴我們，RtABC 和RtADC都是特殊的直角三角形，抓往這個特點設未知數，根據線段間的數量關系，可以列出一元一次方程求解解：在RtADC中，設DCx，ADC60°，AD2x，ACx，在RtABC中，ABC45°，BD1，1xx，x

7、，ABACx點評：解直角三角形時，要注意三角形中主要線段的性質，要注意發掘圖形的幾何性質，建立已知與未知的聯系，利用線段的和差的等量關系布列方程 例4、RtABC中，C90°，已知a10，解這個直角三角形分析：因RtABC的面積為，故用已知條件可求出b的值，這樣一來，RtABC就已知兩直角邊了，再由直角三角形中的銳角三角函數定義，便可求出銳角和斜邊解析：C90°，a10，b，A60°，AB90°，B90°60°30°，C90°，B30°，c2b，cb，c，A60°，B30°點

8、評：在直角三角形中，銳角三角函數定義是連接三角形中邊角關系的紐帶，因此要熟練地掌握定義，進而靈活運用，要注意：直角三角形中若已知一邊長和一個特殊銳角（30°、45°、60°），則可利用三角函數定義求出其它兩邊的長，利用這一方法有時比利用勾股定理要簡單得多例5、已知：如圖，在ABC中，BC1，B30°，C45°，求ABC的面積 分析：構造RtABD，利用特殊角的三角函數值，求出BC邊上的高AD即可解析：過A作ADBC，垂足為D，設ADx，則DCx，BDx，BCBDDC1，x1，點評：本題體現了基本圖形基本性質的綜合應用同時要注意，作垂線構造直角三

9、角形是解直角三角形時常用的方法3、解直角三角形在實際問題中的應用借助解直角三角形來解決實際問題的關鍵是要從實際問題中抽象出幾何圖形，把實際問題中的數量關系轉化為直角三角形的邊角之間的關系，從而通過解直角三角形使實際問題得到解決例1、如圖所示，河對岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別用測角儀器測得塔頂B的仰角為30°和60°已知測角儀器高為1.5米，CD20米，求鐵塔的高（精確到0.1米）解析：設BGx，在RtBGF中，cotBFG，FGBG·cotBFGx·cot60°x，在RtBGE中，EGBG·cotBEGxEGFGEF，且E

10、FCD20，xx20，解得x10，ABBGAG101.518.8（米）答：鐵塔的高約為18.8米點評：把應用性問題問題，設法化歸為解直角三角形問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形例2、如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC為5，是底角且tan，求AC 解析：作ADBC于D，在RtADB中，tan，設AD2k，BD5k，則AB,又BC5，BD, 5k,得kACAB點評：作等腰三角形ABC底邊上的高AD，則構造出直角三角形 例3、一艘船以32.2海里小時的速度向正北航行，在A處看見了燈塔S在船的北偏東20°，半小時后，航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65°，求燈塔S 和B處的距離（精確到0.1海里） 解析：依題意作簡圖,如圖，作BEAD于EAB32.2×16.1（海里），A在RtAEB中，sin20°，BEAB·sin20°5.5062（海里）在RtBES中，BSA65°20°45°，sin45°，BS7.8（海里）答：燈塔S和B處的距離約為7.8海里點評：畫簡圖時，先確定正北方向，然后按已知條件確定各角；由于ABS是斜三角形，所以需適當添加輔助線，構造可解直角三角形 例4、如圖，一水壩橫斷面為等腰梯形ABC