1、2019年普通高等學校招生全國統一考試(全國卷 II )(數學理)【教師簡評】按照“保持整體穩定，推動改革創新，立足基礎考查，突出能力立意”命題指導思想， 本套試卷的總體印象是：題目以常規題為主，難度較前兩年困難，得高分需要扎扎實實的數學 功底.1 .縱觀試題，小題起步較低，難度緩緩上升，除了選擇題11、12、16題有一定的難度之外，其他題目難度都比較平和 .2 .解答題中三角函數題較去年容易，立體幾何難度和去年持平，數列題的難度較去年有 所提升，由去年常見的遞推數列題型轉變為今年的數列求極限、數列不等式的證明，不易拿 滿分，概率題由去年背景是“人員調配”問題，轉變為今年的與物理相關的電路問題

2、，更體 現了學科之間的聯系.兩道壓軸題以解析幾何和導數知識命制，和去年比較更有利于分步得 分.3 .要求考生有比較強的計算能力，例如立體幾何問題，題目不難，但需要一定的計算技 巧和能力.不管題目難度如何變化，“夯實雙基(基礎知識、基本方法)”，對大多數考生來說， 是以不變應萬變的硬道理 .(1)復數 3-i-二1 i(A) -3-4i(B) -3+4i(C) 3-4i(D) 3 + 4i【答案】A【命題意圖】本試題主要考查復數的運算.【解析=J3-"1 T) =(12i)2 =34i.U+iJ21 ln(x -1)(2) .函數y=)(x>1)的反函數是(A)y =e2x* 1

3、(x >0)(B) y = e2x*+1(x > 0)(C) y =e2x由一1(x W R)(D) y =e2x41 +1(xW R)【答案】D【命題意圖】本試題主要考察反函數的求法及指數函數與對數函數的互化。【解析】由原函數解得“戶口+1,即廣二7,又 L在反函數中,故選D.x> -1,(3) .若變量x,y滿足約束條件<y>x,則z=2x + y的最大值為3x 2y< 5,(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】C【命題意圖】本試題主要考查簡單的線性規劃問題【解析】可行域是由 A( -1,-1),B( 1,4),C(1,1)構成的三角形，可知目

4、標函數過C時最大，最大值為3,故選C.(4) .如果等差數列an中，a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+.+a7 =(A) 14(B) 21(C) 28(D) 35【答案】C【命題意圖】本試題主要考查等差數列的基本公式和性質【解析】a3a4a5= 3a4= 12,a4 = 4,.a1a2a7=(1-a7)= 7a4= 282x2 -x -6,-(5)不等式-一式>0的解集為x - 1(A) x x< -2,或x>3(B) xx<-2,或 1<x<3(C) 1x -2< x< 1 或 x>3(D) x2<x< 1 或 1&l

5、t;x<3【答案】C【命題意圖】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法x* -x- 6_(匯-3)(k+/ 外 入>0 0=1Q e=>(x-3 > 0,【解析】1一匚”一1)利用數軸穿根法解得-2vxv1或x> 3,故選C(6)將標號為1, 2, 3, 4, 5, 6的6張卡片放入3個不同的信封中.若每個信封放 2張,其中標號為1, 2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有(A) 12 種(B) 18 種(C) 36 種(D) 54 種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識，考察考生分析問題的能力【解析】標號1,2的卡片放入同一封信有 G種方法；其他

6、四封信放入兩個信封，每個信封兩與收cJ-Sjf =18個有W 種方法，共有 ,三種，故選B.為了得到函數ysin(2x 土)的圖像，只需把函數 3y =sin(2 x + )的圖像6(A)向左平移工個長度單位4(C)向左平移 工個長度單位2【答案】B(B)向右平移土個長度單位4(D)向右平移 工個長度單位2【命題意圖】本試題主要考查三角函數圖像的平移【解 析】y=sin (必十二=)sin 2(x 十二),y = sin(2x -) = =sin 2(x -),所以將 61236y =si n (處十二的圖像向右平移 二個長度單位得到 y =sin(2x 二)的圖像，故選 B. 643uuru

7、ir(8) VABC 中，點 D 在 AB 上，CD 平方/ACB.若 CB =a , CA = b, a =1, b=2,uui 則CD =12.21 .34.43.(A) a+b(B) a+b(C) a+ b(D) a+b33335555【答案】B【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運算，考查角平分線定理AD CAl 2【解析】因為CD平分/ACB,由角平分線te理得 = = 一，所以D為AB的三等分DB CB 1222 1 2 1故選點，且 AD= AB = (CB-CA),所以 CD=CA+AD= CB + CA = a+b ,333 3 3 3B.(9)已知正四棱錐 S-ABCD中，

8、SA = 2 J3 ,那么當該棱錐的體積最大時，它的高為(A) 1(B) 3(C) 2(D) 3【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數的最值問題【解析】設底面邊長為a ,則高所以體積1,(10)若曲線y =x 2在點a,a(A) 64(B) 32(C)16(D) 8【答案】A【命題意圖】本試題主要考查求導法則、導數的幾何意義、 考查考生的計算能力.切線的求法和三角形的面積公式,1 f1 -3【解析】y' = - x 2,. k = -a 2 ,切線方程是22-11 -3y -a 2 = a 2(x-a),令 x = 0, 2A.(11)與正方體y = 0, x = 3a ,

9、，三角形的面積是1 _ 3 1一 ,一一.s = - 3aa 2 = 18 ,解得 a = 64.故選22ABCD AB1C1D1 的三條棱 AB、CCi、a Di所在直線的距離相等的點(A)有且只有(B)有且只有2個(C)有且只有(D)有無數個【解析】直線艮口上取一點，分別作P°叫三-：垂直于.于0/6，則F。； _L 平面 AC， PO； J平面 E；C，P0:_L平面A：B , S ,5分別作 "=12a* -.寫設. 2 一，貝U V三抬3/ ,當y取最值時，y'=4Sar -3a; =0 解得a=0或a=4h=J12-= 2時，體積最大，此時 V - ，故

10、選C.處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18,則2 =M, N, Q,連 PM, PN, PQ,由三垂線_ 4。QJ/ -CC.O.Q-AB 壬目八口“冰-,垂足分別為 定理可得，PNL "nPM，('C： ; PQXAB,由于正方體中各個表面、對等角全等，所以PO-PO-PO：，。1丁 二。0/ 二 QQ，.- pm=pn=PQ,即 P 到三條棱 AB> CG、A1D1所在直線的距離相等所以有無窮多點滿足條件，故選D.223(12)已知橢圓C:+A=1(a> b> 0)的離心率為 ,過右焦點F且斜率為k(k>0)的 a b2直線與C相交于A B兩

11、點.若(A) 1(B) A(C)3(D) 2【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質與第二定義【解析】設直線l為橢圓的有準線，e為離心率,過 A, B分別作AAi, BBi垂直于l, Ai, B為垂足，過B作BE垂直于AAi與E,由第二定義得,|aaJ=幽*網=回萬而e七,由一/ 一 j 口，1AA卜西|AB| 4|BF|sinBAE. tan *_BAE =即k= W,故選B.注意事項:1 .用0.5毫米的黑色字跡簽字筆在答題卡上作答。2.本卷共10小題，共90分。二.填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.(13)已知a是第二象PM的角，tan(n+ 2a) =4 ,則tana =31

12、【答案】-2【命題意圖】本試題主要考查三角函數的誘導公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生 的計算能力.44【斛析】由t a g( + a2 =)。得tan 2a = 一一 33又 t an 02=2 t an4 - 解得31 ,、一 一 .j. 一tan =一一或 ta尸,2 a是第二象限的角，所以2(14)若(xa)9的展開式中X3的系數是84,則2 =X【答案】1【命題意圖】本試題主要考查二項展開式的通項公式和求指定項系數的方法【解析】展開式中X3的系數是C；(a)3 = 84a3 = 84，二a =1.(15)已知拋物線 C:y2=2px(p> 0)的準線為1,過M (1,0)

13、且斜率為 J3的直線與l相交于 點A ,與C的一個交點為 B .若AM =笳，則p =.【答案】2【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義與性質【解析】過B作BE垂直于準線1于E, AM =MB , M為中點，BM =1 AB ,又斜2率為 J3, ZBAE =300, |BE =1AB ,，BM|=BE ,，M為拋物線的焦點，p = 2.(16)已知球。的半徑為4,圓M與圓N為該球的兩個小圓， AB為圓M與圓N的公共弦，AB =4 .若OM =ON =3 ,則兩圓圓心的距離 MN =.【答案】3【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質，解三角形問題【解析】設E為AB的中點，則O, E, M,

14、N四點共面，如圖，= AB=4,所以OE = Jr2 fAB1=26，ME=S，由球的截面性質，有 OM_LME,ON _L NE , 、,2OM =ON =3,所以AMEO與&NEO全等，所以MN OE垂直平分，在直角三角形中，由meLmo面積相等，可得， MN=23OE三.解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 .(17)(本小題滿分10分)5一 3,、一ABC 中，D 為邊 BC 上的一點，BD=33, sin B =, cos/ADC = ，求 AD .135【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數關系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應用

15、，考查考生對基礎知識、基本技能的掌握情況【參考答案】由 cos/ADC=S >0,知 Bv 2 .4,sin / ADcJ12由已知得cosB=2W從而 sin / BAD=sin (/ADC-8 =sin / ADCcosB-cos/ADCsinB=5由正弦定理得如3 sinZBAZJ【點評】三角函數與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現這類題型難度比較低，一般出現在17或18題，屬于送分題，估計以后這類題型仍會保留,不會有太大改變.解決此類問題，要根據已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或 將邊角互化.(18)(本小題滿分12分)已知數列Qn 的前n

16、項和Sn = (n2+n)|_3n.(I)求 lim an ;n 二Sn(n)證明： 等十當十十駕>3n.12 22n2%(n =1) -e S 、g【命題意圖】本試題主要考查數列基本公式an =<'的運用，數列極限和數列不Sn -Sn(n -2)等式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力 【參考答案】=lim(l - 一 七=I liw 一2limB lini"- = i一 $ 一h+ 1 3 3所以II)當時，a=5廣6>3； 當時.。幺一區I1 21 n1,山匕9I1 21/當用去1時.4【點評】2019年高考數學全國I、n這兩套試卷都將數列題前置

17、 ，一改往年的將數列結合不等 式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方 法基本技能，重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數列的考查主要涉及數列的基本公式、基本性質、遞推數列、數列求和、 數列極限、簡單的數列不等式證明等，這種考查方式還要持續上的一點，AE=3EB1.(I)證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線;(19)如圖，直三棱柱 ABCABC1中，AC = BC , AA, = AB , D為BB1的中點，E為AB1(n)設異面直線 AB1與CD的夾角為45° ,求二面角Ai ACi B的

18、大小.【命題意圖】本試題主要考查空間的線面關系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計算的能力.【參考答案】(19)解法一：(I)連接AiB,記AiB與AB的交點為F.因為面 AAiBB為正方形，故AiBAB,且AF=FB,又AE=3EB,所以FE=EB,又D為BB的中點,故 DE/ BF, DEI AB. 3 分作CGLAB, G為垂足，由 AC=BC®, G為AB中點.又由底面 ABCL面AABiB.連接DG則DG/ AB,故DE! DG 由三垂線定理，得 DE! CD.所以DE為異面直線 AB與CD的公垂線.(II )因為DG/ AB,故/ CD助異面直線 AB與CD的夾角，

19、/ CDG=45設 AB=2 貝U AB=, DG= ,AC作BiHIX AC, H為垂足，因為底面 AiBiGXm AACC,故BiHIX面AACiC.又作H。AC, K為垂 足，連接BK,由三垂線定理，得 BiKXAC,因此/ BiKH為二面角Ai-ACi-Bi的平面角.故 DEIB. DEZDC.所以DE為沖面汽線gg CD的公垂線.UI ）因為87 ,加等f異面直線CD的央角，故林反聞I.辰kos45。272 xV? + 2x = 4,，故撫。,6又祈匚麗（。2M所以於M而，詞上（-12氏.設平面僅G的法向我為葉G國則 mAG H0, E*雙=0即 t + 2)+ V5e = O 且

20、2y=0.令工.五,MZ* 1» y = 0故(0.0.1). 設平面AG的法向量為hm(P闖M),則 叱入£；=0.n-BjA-O.即 一"% + &r = 0 2p-4=0,令pH丘，則q=&* r = T,故界=（6技T）.所以由"=潦號癥由）等干二面角A - 4G -q的平面角.所以一面角A " AC）-4的大小為uccos*【點評】三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一，是高考的的熱點，它是處理線線垂直問題的有效方法，同時它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過引入空間向量，用向量代數形式來處理立體幾何問題，淡化了傳統幾

21、何中的“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化，這是用向量解立體幾何問題的獨到之處（20）（本小題滿分12分）如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為Ti,T2,T3,T4,電流能通過Ti,T2,T3的概率都是p,電流能通過 的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立.已知Ti, T2, T3中至少有一個能通過電流的概率為 0.999 .（I）求 p;（n）求電流能在 m與N之間通過的概率;（出）3表示Ti, T2, T3, T4中能通過電流的元件個數，求 自的期望.N【命題意圖】本試題主要考查獨立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及數學期望，考查分類討論的思想

22、方法及考生分析問題、解決問題的能力【參考答案】記4表示事件；電濠能通過/ =1.2,3.4.4表示事件手加看中至少仃 個能通過電流.S表示事件：電流能在M與N之間通過.（I）4 = 46- A，A，A相互獨立，麗 嗝工代小代不陽小-0-P），X汽辦=1-汽4） = 1-0.999 =0,001,故 Q_p）" =0001* p = 0,9.（11） 片二人 + 4*4*3，4*4%.P（切4工A*4+五.雇A ）+一不：4 4）+代心彳劣） 二代人）+p（A）p（ A）戶（4）+汽工/（彳）依人）P（4） M 0.9 + 04x 09x09 + 0J X。xO.9xO.9= 09891 .<ui>由于電流能通過各元件的概率都足09且電流能否通過多元fl相互獨; 故6 （4,0.9）.號 « 4x 0.9 3.6 【點評】概率與統計也是每年的必考題，但對考試難度有逐年加強的趨勢，已經由原來解答題的前3題的位置逐漸后移到第 20題的位置，對考生分析問題的能力要求有所加強，這應引 起高度重視.（21）（本小題滿分12分）2 X 己知斜率為1的直線l與雙曲線C: wab2= 1（a>0, b>0）相交于R D兩點，且BD的中點為M (1,3(I)求C的離心率；(n)設C