1、第七章 參數估計1一 隨機地取8只活塞環，測得它們的直徑為（以mm計）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求總體均值及方差2的矩估計，并求樣本方差S2。解：，2的矩估計是 。2二設X1，X1，Xn為準總體的一個樣本。求下列各總體的密度函數或分布律中的未知參數的矩估計量。（1）其中c>0為已知，>1，為未知參數。（2）其中>0，為未知參數。（5）為未知參數。解：（1），得（2）（5）E (X) = mp令mp = ，解得3三求上題中各未知參數的極大似然估計值和估計量。解：（1）似然函數（解唯一故為極大似然估計量）（2）

2、。(解唯一)故為極大似然估計量。（5），解得 ，（解唯一）故為極大似然估計量。4四(2) 設X1，X1，Xn是來自參數為的泊松分布總體的一個樣本，試求的極大似然估計量及矩估計量。解：（1）矩估計 X ( )，E (X )= ，故=為矩估計量。（2）極大似然估計，為極大似然估計量。（其中5六 一地質學家研究密歇根湖湖地區的巖石成分，隨機地自該地區取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數。假設這100次觀察相互獨立，并由過去經驗知，它們都服從參數為n=10，P的二項分布。P是該地區一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計值，該地質學家所得的數據如下樣品中屬石灰石的石

3、子數012345678910觀察到石灰石的樣品個數016723262112310解：的極大似然估計值為=0.499四(1) 設總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0<<1)為未知參數。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x3=1，試求的矩估計值和最大似然估計值。解：（1）求的矩估計值 則得到的矩估計值為（2）求的最大似然估計值似然函數 ln L( )=ln2+5ln+ln(1)求導 得到唯一解為8九(1) 設總體X N（， 2），X1，X1，Xn是來自X的一個樣本。試確定常數c使的無偏估計。解：由于=當。十 設X1，X2， X3， X4是來自均值為的指數分布總體的

4、樣本，其中未知，設有估計量 （1）指出T1，T2， T3哪幾個是的無偏估計量；（2）在上述的無偏估計中指出哪一個較為有效。解：（1）由于Xi服從均值為的指數分布，所以E (Xi )= ,D (Xi )= 2,i=1,2,3,4由數學期望的性質2°，3°有即T1，T2是的無偏估計量（2）由方差的性質2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4獨立，知D (T1)> D (T2)所以T2較為有效。14.十四 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。設干燥時間總體服從正態分

5、布N （，2），求的置信度為0.95的置信區間。（1）若由以往經驗知=0.6（小時）（2）若為未知。解：（1）的置信度為0.95的置信區間為（），計算得（2）的置信度為0.95的置信區間為（），計算得，查表t0.025(8)=2.3060.16.十六 隨機地取某種炮彈9發做試驗，得炮彈口速度的樣本標準差為s=11(m/s)。設炮口速度服從正態分布。求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為0.95的置信區間。解：的置信度為0.95的置信區間為其中=0.05, n=9查表知 19.十九 研究兩種固體燃料火箭推進器的燃燒率。設兩者都服從正態分布，并且已知燃燒率的標準差均近似地為0.05cm/s，取樣本容量為n1=n2=20.得燃燒率的樣本均值分別為設兩樣本獨立，求兩燃燒率總體均值差12的置信度為0.99的置信區間。解：12的置信度為0.99的置信區間為其中=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20, 20.二十 設兩位化驗員A，B獨立地對某中聚合物含氯兩用同樣的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為分別為A，B所測定的測定值總體的方差，設總體均為正態的。設兩樣本獨立