1、導數公式:(tgx) = sec x(ctgx)二-csc x(secx) = secx tgx (cscx)二-cscx ctgx (axf-axln a1(log ax)-xln a高等數學公式(arccos x)=(arctgx)二11 - x211x2(arcctgx)二11x2基本積分表：Jtgxdx= In cosx +C ctgxdx = l nsinx C secxdx 二 In secx tgx C = sec2 xdx = tgx C cos x二 csc2 xdx - -ctgx C sin xJ cscxdx = In cscx ctgx + Csecx tgxdx 二

2、 secx Cdxa2x2dxdx1x -alnC2ax - a1a x 小lnC2aa x2 2 a -x2 2x -a1丄xarctg C a a=arcsi n° Ccscx ctgxdx - -cscx Cxx a a dxCIn ashxdx = chx Cdxa2 -x2chxdx 二 shx Cdx；22=ln(x + lx ±a )+C.x2 _a2In2=sinn xdx =02cos0, 2 氏x2 +a2dx = xx2 +a2 +£ln(x + % x2 +a2) +C L 2 2 j 2 ,r ' 22. x2 ar22vx ad

3、x= x -a -ln x 十yx -a 十C2 2, j 2Wa2 -x2dx =xa2 -x2 + arcsin +C'22a三角函數的有理式積分:2usin x 2,1+ucosx1 -u2u=tgf,21+u雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切xx. e e :shx =2x_x, e +e:chx =2x-xX1 shx e -e:thxx xchx e+ esinxlim1j xlim （1 丄） = e = 2.718281828459045 xarshx 二 In（x. x2 1）archx 二 ln（x . x2 -1）,1, 1+xarthx In21-x三角函數公式:-和差角

4、公式:-誘導公式:、'、函數角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° acos asin actg atg a90 ° acos a-sin a-ctg a-tg a180 °asin a-cos a-tg a-ctg a180 °a-sin a-cos atg actg a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 ° a-cos asin a-ctg a-tg a360 ° a-sin acos a-tg a-ctg a360 ° asin

5、 acos atg actg a-和差化積公式:cos（ 二 l ） =cos-，cos ：sin-：sinsin（ 二 l ）=sin jcos L 二cos： sin :in Ptg（： ） = S -tg1+tga tgP丄/ 丄 R、 ctg ctg P 斗 1ctgQ 二1； ）=ctg P 土 ctg aRa + P a - Psin ： sin - - 2 sincos2 2R a + P a - Psin:-sin - = 2 cossin2 2R a + P a - Pcos： cos - = 2 cos cos2 2R a + P a -Pcos：- -cos - =2 s

6、insin2 2倍角公式:sin2： = 2sin ： cos：2 2cos2： =2cos - T =12sin :2cos2:2sin :sin3：ctg2 -=2ctg a 12ctg:3cos3 - 4cos - -3cos：tg2：-2tg：21 -tg -tg3：二33tg： -tg :1 -3tg2-半角公式:.:-1 cos :-sin 2 21 cos :1 cos :sin :tg2, 1 cos、£ si n.工1 cos .；l正弦定理：bc 2Rsin A sinB sinC反三角函數性質：arcs in x二一 -arccosx2高階導數公式萊布尼茲(Le

7、ibniz )公式:1 cos:cos 一2 . 21 cos 芒 1 - cos u sin 芒 ctg2, 1 -cos:sin :1 -cos :2 2 2余弦定理： c = a b - 2ab cosCarctgx =一arcctgxn(n)k (n k)(k)(uv)Cn u( v(0二 u (n)v2!u- v. n(n_1)(n_k1)u(n_k)v(k)k!uv(n)中值定理與導數應用:拉格朗日中值定理：f (b) f (a) = f)(b -a)柯西中值定理:f(b) - f(a) f () F(b) -F(a) F ()當F(x) =x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲

8、率：弧微分公式：ds = . 1 y $ dx ,其中y = tg :-平均曲率： F =空 .Act :從M點到M點，切線斜率的傾角變AsM點的曲率：K =0學=咚=. Asds Ju+y，2)3直線：K =0;半徑為a的圓：K = 1.a定積分的近似計算：化量；.:s： MM弧長。矩形法:梯形法:bf(x)abf(x)abfc n(y0 y1ynA)b - a1 /.(y。 yn) y1 亠 亠yn n 2拋物線法:bf (x)ba3n(yo yn)2( y2 y4yn J4(yy3yn)定積分應功：W水壓力:用相關公式：=F sF 二 p A引力：F二k呼,k為引力系數r函數的平- 1

9、bF 均值：yf(x)dxb-aa均方根:1. f2(t)dt,b -a aa多元函數微分法及應用全微分：dz=dx+dydu =dx+dy + 竺 dz；：x全微分的近似計算：:yx:yzlz : dz = fx(x,y)二x fy(x, y) = y多元復合函數的求導法dz ；z ；:u ；z ；:vdT =7U T TV Tz = fu(x, y), v(x, y).:z；z；x:u；:u；:x；:(F ,G)：(u,x)"F,G)：(u,y)ju 1 ：(F,G)：v _1J：(y,v):yJ多元函數的極值及其求法:du 二'u dxu dyL、J:x:ydvdxdy

10、l、r%J:x:y隱函數的求導公式：隱函數F (x, y) =o,dyFxd l ' (x,y)dc Dy,2dxF ydx(- :x>:)+ /Fx ) dyFydx隱函數 F (x, y,z) =o,dzFxdz, ；:xFz；:yFyFz當 u =u(x, y), v =v(x,y)時,隱函數方程組：F(x, y,u,v) =0G(x, y,u,v) =0空一丄；'(F,G) 蘭_ _丄；:xJ ；:( x, v);xJfxy(Xo, yo ) = B, f yy (xo, yoC設fx(Xo, yo) = fy(Xo,yo) =0,令：fxx(Xo,y°

11、) = A,-B2 >0時；人""。"。)為極大值'A>o,(xo,yo)為極小值貝V： AC-B? co時，無極值ac_b2=o時,不確定重積分及其應用:11 f (x, y)dxdy = f(rcos v,rsin Jrdrd rDD '曲面z = f (x, y)的面積M xD平面薄片的重心:x：、(x, y)d；二Il ' (x,y)d-Dy："x, y)d匚D平面薄片的轉動慣量：對于x軸lx二y2(x,y)d二，對于y軸ly二x2(x,y)d二DD平面薄片(位于xoy平面)對 z軸上質點 M (o,o,a),

12、 (a o)的引力：F二Fx,Fy,Fz，其中:f ;、(x,y)xd 匚D3 (x2 y2 a2)2Fy".'(x,y)ydS ,D 2.2.22(x y a )2Fzfa.沁曲冷D 2.2 .22(x y a )2常數項級數:等比數列：1 q q2 -qn=1 q1 -q等差數列：(n 1) n1亠2亠3亠 亠n =2調和級數：1 11丄是發散的23nn級數審斂法:1正項級數的審斂法設：1 =lim n un，n_w根植審斂法（柯西判9<1時，級數收斂P =1時，級數發散P=1時，不確定別法）：2、比值審斂法:設：Q =lim Un護U': 1時，級數收斂

13、仏，則 r .1時，級數發散 Jn? =1時，不確定3、定義法：sn = u1 - u:u un ； lim sn存在，則收斂；否則發nJpc交錯級數 U|U2 U3U4（或-U1 UU3 - "散。,Un 0）的審斂法 萊布尼茲定理:Un _ Un 1|imu =0,那么級數收斂且其和S蘭U1,其余項的絕對值n|EUn平 n絕對收斂與條件收斂：（1）U1 U如果交錯級數滿足丿（2）uJ "|u2如果（2）收斂，如果（2）發散，2川補un .，其中Un為任意實數;十.+Un調和級數：a級數：U3則（1）肯定收斂，且稱為絕對收斂級數;而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數。1

14、發散，而7 C山收斂；nn丄收斂；nUnp級數：a 2'P 一1時發散nppA1時收斂幕級數:x3xn -對于級數(3)ao aix數軸上都收斂，則必存x ：1時，收斂于 （11 -XJx 一1時，發散-anxn ，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全x| J R時收斂在R，使 x R時發散，其中R稱為收斂半徑。x二R時不定a2x2求收斂半徑的方法：設an 1anf P羊0 時，R = "1二幾其中an，an 1是（3）的系數，貝yJ=0時，R =:'- 時，R =0(1 x)m=1 mxm(1)x22!m(m-1)(m_n +1) nn!(一 1：: x <1)

15、35x 丄x sin x = x 3!5!2n 二nd x(-1)(2n-1)!歐拉公式:ixe cosx i sinx三角級數:ix 丄 _ixe +ecosx =或2ix_ixe -e sinx 二I 2f(t)二 A0 二 An sin(n，t ：；應；)=勺一二(an cosnx bn sin nx) n -12 na° 二 aAo，a* = An sin ；，bn 二 An cos 冷， 丄=x。其中，正交性：1,sinx,cosx,sin 2x,cos2xsinnx, cosnx 任意兩個不同項的乘積 在 上的積分=0。-二:傅立葉級數:a °Of (x)(an

16、 cos nx bn s inn x)，周期 =2二2 心1兀an = J f (x) cos nxdxI兀 _其中:1 -bnf (x)sinnxdx(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )正弦級數:余弦級數:621 1 -32521 1 2232421一丄丄一丄223242bn2-(相加)612an2 二f (x)sin nxdx二 0兀f (x)cos nxdxn =1,2,3n =0,1,2f (x) - 7 bn sin nx是奇函數f (x)=色亠二an cosnx是偶函數 2函數展開成幕級數:函數展開成泰勒級數：f(xrf(X0)(X_X0)f (x0)(X_X0)2f(n)

17、(x0)(x_X0)n2!n!余項：1(n盯/Rn二- -(X -x0) , f (x)可以展開成泰勒級數的 充要條件疋：lim Rn = 0(n +1)!n-x0 =0時即為麥克勞林公式：f(x) =f (0) f (0)x Xx2 川川 f Qxn 2!n!些函數展開成幕級數:周期為2l的周期函數的傅立葉級數:、向量代數1、向量的有關概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數軸上的投影向量的坐標 a = ax, ay,a = axi ay j azk在相應坐標軸上的投影模長:2 2ayaz方向余弦:axax 2 2 2| a | axayazcosayay|a|cos 二 aza

18、z|a |,a； ay ' aZ0單位向量 a-COS： ,cos : ,cos /2、向量的運算：線性運算：加法a b、減法a"-b '、數乘乘積運算：數量積、向量積向量的數量積a ba b cost - axbx ayby azb幾何意義；a = a a在b上的投影T aT TT T(2) a b =0= a _ baxbxaybyazbz 二 0微分方程的相關概念：一階微分方程：y"=f(x, y) 或 P(x, y)dx+Q(x, y)dy = O可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy = f(x)dx的形式，解法：g(y)dy二

19、f(x)dx 得：G(y)二F(x)，C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成 勺=f (x, y)二(x, y)，即寫成的函數，解法：dxx設u=，貝U史 ux , u，"du= (u), 魚du一 分離變量，積分后將 代替u,x dxdx dxx (u)-ux即得齊次方程通解一階線性微分方程:1、一階線性微分方程：dy - P(x)y=Q(x)dx當 Q(x) =0時,為齊次方程，y =Ce "皿當 Q(x)=0 時，為非齊次方程，y=( Q(x)e Qxdx C )e_ P")dx2、貝努力方程：dy P(x)y =Q(x)yn,(n -0,1) d

20、x全微分方程：如果P(x,y)dx Q(x,y)dy=0中左端是某函數的全微 分方程，即：u；udu(x, y)二 P(x,y)dx Q(x, y)dy =0，其中：一 =P(x, y) - Q(x, y) excy.u(x, y)=C應該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：d2y dx2P(x*Q(x)y = f(x)，f (x)三0時為齊次f(x) =0時為非齊次二階常系數齊次線性微分方程及其解法:(*) y py qy =0，其中p,q為常數；求解步驟：1、寫出特征方程:：)r2 pry=0,其中r2，r的系數及常數項恰好是(*)式中y,y,y的系數;2、求出(可式的兩個根甘23、根據

21、r,r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解:r-i， r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(p2 4q>0)rix ir2xy=c-e+c?e兩個相等實根(p24q0)y =(Ci +c2x)erix一對共軛復根(p2 4q c0) 幾+護，r2-iPp， J4q-P222y =(g cos Px + c2 sin Px)二階常系數非齊次線性微分方程y py qy 二 f(x)，p,q為常數f(x) e xPm(x)型，為常數；f (x)二e XR(x)cosFn (x)sin，x型:、空間解析幾何（一）空間直角坐標系（三個坐標軸的選取符合右手系）空間兩點距離公式 PQ = (x2

22、 - xj2 (y2 - yj2 (z2 -乙)2(二)空間平面、直線方程1、空間平面方程a、 點法式 A(x-Xo) B(y - y°) C(z-Zo) = 0b、一般式 Ax By Cz D = 0c、截距式 =1a b c|Ax0 + By0 + Cz()+ Dd、 點到平面的距離 d =,=UA2+B2 +c22、空間直線方程A1x+B1y+C1z + D1 =0a、一般式1"11A2x+B2y+C2z + D2 =0b、點向式（對稱式）X - X°Iy-y° Zo （分母為0，相應的分子也理解為nIt mtz = z0 + kt3、空間線、面間

23、的關系a、兩平面間的夾角:兩平面的法向量T匕的夾角二（通常取銳角）兩平面位置關系:T T二 1 二 2 = n1 / n2 uA1B1A2B2 C1C2A1A2 ' B1B2 ' C1C2 = 0平面二1與二2斜交，b、兩直線間的夾角：兩直線的方向向量的夾角二（取銳角）r r l1 m1 n1 兩直線位置關系：L/L? ：= a1 / a2'12 m2 n2t tLi _ L2 = a a2 = l1l2 m1m22 = 0b、平面與直線間的夾角線面夾角：當直線與平面不垂直時，直線與它在平面上的投影直線之間的夾角（取銳角）稱為直線與平面的夾角。當直線與平面垂直時，（爐二

24、2 2T f線面位置關系：L二=a _ n二IA mB nC = 0L_= a心丄 m nA住)=竺 ' (an cosn-X bn sin2 n厶l1 1f(x)cosl丄1 1.f (x)sin dxl ll亍），周期=21an其中l dX(n =01,2 )bn(n =1,2,3)物理學執學1、PVRT； P"kT；一，kT ；2”£=分2、麥氏分布:f vdN，表示單位速度間隔的分子數占總分子數的百分比。Ndv最概然速率;平均速率J =16. RT ;方均根速率.v2 =1.7 RT3、2 平均碰撞次數 Z - 一2二d vn ；平均自由程工1-2二d2n4、Vp等溫過程PV=C ；等壓過程廠C ；等容過程二C