1、第四章 常微分方程41 基本概念和一階微分方程甲 內容要點 一基本概念 1常微分方程 含有自變量、未知函數和未知函數的導數（或微分）的方程稱為微分方程，若未知函數是一元函數則稱為常微分方程，而未知函數是多元函數則稱為偏微分方程，我們只討論常微分方程，故簡稱為微分方程，有時還簡稱為方程。 2微分方程的階 微分方程中未知函數的導數的最高階數稱為該微分方程的階 3微分方程的解、通解和特解 滿足微分方程的函數稱為微分方程的解； 通解就是含有獨立常數的個數與方程的階數相同的解； 通解有時也稱為一般解但不一定是全部解； 不含有任意常數或任意常數確定后的解稱為特解。 4微分方程的初始條件 要求自變量取某定值

2、時，對應函數與各階導數取指定的值，這種條件稱為初始條件，滿足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。 5積分曲線和積分曲線族 微分方程的特解在幾何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程的積分曲線族。 6線性微分方程 如果未知函數和它的各階導數都是一次項，而且它們的系數只是自變量的函數或常數，則稱這種微分方程為線性微分方程。不含未知函數和它的導數的項稱為自由項，自由項為零的線性方程稱為線性齊次方程；自由項不為零的方程為線性非齊次方程。 二變量可分離方程及其推廣 1變量可分離的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中，習慣地把不定積分只求出它的一個原函

3、數，而任意常數另外再加） （2）方程形式： 通解 2變量可分離方程的推廣形式 （1）齊次方程 令， 則 （2） 令， 則 （3） 當情形，先求出的解 令， 則屬于齊次方程情形 當情形， 令 則 令， 則 屬于變量可分離方程情形。 三一階線性方程及其推廣 1一階線性齊次方程 它也是變量可分離方程，通解公式，（為任意常數） 2一階線性非齊次方程 用常數變易法可求出通解公式 令 代入方程求出 則得 3貝努利方程 令 把原方程化為 再按照一階線性非齊次方程求解。 4方程： 可化為 以為自變量，為未知函數 再按照一階線性非齊次方程求解。 四全微分方程及其推廣（數學一） 1全微分方程 ，滿足 通解：， 其

4、中滿足 求的常用方法。 第一種：湊全微分法 把常見的一些二元函數的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； 第二種：特殊路徑積分法（因為積分與路徑無關） 第三種：不定積分法 由得 對求導， 得， 求出積分后求出 2全微分方程的推廣（約當因子法） 設不是全微分方程。 不滿足 但是存在 使得為全微分方程， 也即滿足 則稱為約當因子， 按全微分方程解法仍可求出 通解。 這種情形，求約當因子是關鍵。乙 典型例題5432考研論壇（）友情提

5、供下載 一變量可分離方程及其推廣 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） 例2求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）令，則，原方程化為 ， （注：） （2）； 令，則 ， （3），令，則 ， （4）令，則， 例3求微分方程的通解。 例4求微分方程 例5求微分方程的通解。 例6求微分方程的通解。 例7求微分方程 例8求微分方程的通解 二一階線性方程及其推廣 例求下列微分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 解：（1）直接用常數變易法 對應的齊次線性方程為，通解 令非齊次線性方程的通解為 代入方程得 ， 故所求方程的通解為 （2）直接用通解公式（先化標準形式）

6、 ， 通解 （3）此題不是一階線性方程，但把看作未知函數，看作自變量， 所得微分方程 即 是一階線性方程 ， （4）此題把看作未知函數，看作自變量所得微分方程為 ， 42 特殊的高階微分方程（數學四不要）甲 內容要點 一可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達式通解令，則，原方程一階方程，設其解為，即，則原方程的通解為。令，把看作的函數，則把，的表達式代入原方程，得一階方程，設其解為即，則原方程的通解為。 二線性微分方程解的性質與結構 我們討論二階線性微分方程解的性質與結構，其結論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。 二階齊次線性方程 （1） 二階非齊次線性方程 （2） 1若，為二階齊次線性

7、方程的兩個特解，則它們的線性組合（，為任意常數）仍為同方程的解，特別地，當（為常數），也即與線性無關時，則方程的通解為 2若，為二階非齊次線性方程的兩個特解，則為對應的二階齊次線性方程的一個特解。 3若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應的二階齊次線性方程的任意特解，則為此二階非齊次線性方程的一個特解。 4若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應的二階齊次線性方程的通解（，為獨立的任意常數）則是此二階非齊次線性方程的通解。 5設與分別是與 的特解，則是 的特解。 三二階和某些高階常系數齊次線性方程 1二階常系數齊次線性方程 其中，為常數， 特征方程 特征方程根的三種不同情形對應方程通解的

8、三種形式 （1）當，特征方程有兩個不同的實根， 則方程的通解為 （2）當，特征方程有二重根 則方程的通解為 （3）當，特征方程有共軛復根， 則方程的通解為 2階常系數齊次線性方程 其中為常數。 相應的特征方程 特征根與方程通解的關系同二階情形很類似。 （1）若特征方程有個不同的實根 則方程通解 （2）若為特征方程的重實根 則方程通解中含有 （3）若為特征方程的重共軛復根 則方程通解中含有 由此可見，常系數齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對應的高階常系數齊次線性方程的通解。 四二階常系數非齊次線性方程

9、 方程： 其中為常數 通解： 其中為對應二階常系數齊次線性方程的通解上面已經討論。所以關鍵要討論二階常系數非齊次線性方程的一個特解如何求？ 我們根據的形式，先確定特解的形式，其中包含一些待定的系數，然后代入方程確定這些系數就得到特解，常見的的形式和相對應地的形式如下： 1，其中為次多項式 （1）若不是特征根，則令 其中為待定系數。 （2）若是特征方程的單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令 2其中為次多項式，為實常數 （1）若不是特征根，則令 （2）若是特征方程單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令 3 或 其中為次多項式，皆為實常數 （1）若不是特征根，則令 其中 為待定系數 為待定

10、系數 （2）若是特征根，則令 五歐拉方程（數學一） ，其中為常數稱為階歐拉方程。令代入方程，變為是自變量，是未知函數的微分方程，一定是常系數齊次線性微分方程。 注意下面變換公式： ， ， ， ， 。乙 典型例題 一可降階的高階微分方程 例1求下列微分方程的通解 （1） （2） 解：（1）令，則，原方程化為 屬于貝努里方程 再令 則有 通解： （2）令，則，原方程化為 屬于一階線性方程 例2求下列微分方程的通解 （1） （2） 二常系數齊次線性微分方程 例1求下列微分方程的通解。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）特征方程 ，即 特征根 ， 微分方程通解 （2）特征方程 ，即 特征根 二

11、重根 微分方程通解 （3）特征方程 特征根 微分方程通解 （4） 特征方程 即 特征根 二重根， 微分方程通解 例2設方程，求滿足，的特解。 三二階常系數非齊次線性微分方程 例1求微分方程的一個特解。 解：這是二階線性常系數非齊次方程，其自由項呈的形狀，其中，。而該微分方程的特征方程是： 特征根是，。由于不是特征根，故設特解為 為了確定和，把代入原方程，經化簡，可得 令此式兩端同次冪系數相等，有 由此解得，因此特解為 例2求微分方程的通解。 答案：最后得原方程通解為 例3求的通解。 答案：因此原方程的通解為 例4求方程的通解。 答案：原方程的通解為 例5求的通解。 答案：原方程的通解為 例6求

12、方程的通解。 答案：原方程的通解為 例7求微分方程的通解。 答案：原方程的通解為：。第五章 向量代數與空間解析幾何（數學一）51 向量代數甲 內容要點 一空間直角坐標系 從空間某定點作三條互相垂直的數軸，都以為原點，有相同的長度單位，分別稱為軸，軸，軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標系，稱為坐標原點。 1兩點間距離 設點，為空間兩點，則這兩點間的距離可以表示為 2中點公式 設為，聯線的中點，則 二向量的概念 1向量 既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個幾何性質，它反映在兩點之間從一點到另一點的順序關系，而兩點間又有一個距離。常用有向線段表示向量。點叫起點，點叫終點，向量的長度叫做模

13、，記為。 模為的向量稱為單位向量。 2向量的坐標表示 若將向量的始點放在坐標原點，記其終點，且點在給定坐標系中的坐標為。記以三個坐標軸正向為方向的單位向量依次記為，則向量可以表示為 稱之為向量的坐標表達式，也可以表示為 稱分別為向量在軸，軸，軸上的分量。稱分別為向量在軸，軸，軸上的投影。 記與軸、軸、軸正向的夾角分別為，則 方向余弦間滿足關系 描述了向量的方向，常稱它們為向量的方向角。的?？梢员硎緸?與向量同方向的單位向量可以表示為。與向量平行的單位向量可以表示為。 向量同方向上的單位向量常記為。 三向量的運算 1加法。 減法。 2數乘。（是常數） 向量的加、減和數乘運算統稱線性運算。 3數量

14、積。 其中為向量間夾角 為數量也稱點乘。 表示向量在向量上的投影，即 4向量積也稱為叉乘。 的方向按右手法則垂直于所在平面，且 是向量，。等于以為鄰邊的平行四邊形的面積。 5混合積：定義，坐標公式 幾何意義表示以為棱的平行大面體的體積。 四兩向量間的關系 設 關系向量表示向量坐標表示間夾角與垂直與平行乙 典型例題 例設為兩個非零向量，為非零常數，若向量垂直于向量，則等于（ ）。 （A） （B） （C） （D） 分析：所給向量為抽象向量，宜用向量運算公式。如果垂直于向量，因此應有 即 由于為非零向量，因而應有，故應選（B）。52 平面與直線甲 內容要點 一空間解析幾何 1空間解析幾何研究的基本問

15、題 （1）已知曲面（線）作為點的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。 （2）已知坐標和間的一個方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。 2距離公式 空間兩點與間的距離為 3定比分點公式 是的分點：，點的坐標為，則 當為中點時， 二平面及其方程 1法（線）向量，法（線）方向數。 與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標稱為法（線）方向數。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個，但它所指的方向只有兩個。 2點法式方程 已知平面過點，其法向量，則平面的方程為 或 其中 3一般式方程 其中不全為零。前的系數表示的法線方向數，是的法向量。 特別情形： ，表示通過原點的平面。 ，

16、平行于軸的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4三點式方程 設，三點不在一條直線上，則通過的平面方程為 5平面束 設直線的一般式方程為，則通過的所有平面方程為，其中。 6有關平面的問題 兩平面為 與間夾角垂直條件平行條件重合條件 設平面的方程為，而點為平面外的一點，則到平面的距離： 三直線及其方程 1方向向量、方向數 與直線平行的非零向量，稱為直線的方向向量，方向向量的坐標稱為方向數。 2直線的標準方程（對稱式方程）。 其中為直線上的點，為直線的方向數。 3參數式方程 為參變量。 4兩點式 設，為不同的兩點，則通過和的直線方程為 5一般式方程（作為兩平面的交線）： ，方向向量 6有關直線的

17、問題 兩直線為 與間夾角垂直條件平行條件 四平面與直線相互關系 平面的方程為： 直線的方程為：與間夾角（）與垂直條件與平行條件與重合條件上有一點在上乙 典型例題5432考研論壇（）友情提供下載 例1已知直線，若平面過點且與垂直，求平面的方程。 分析：由題意可知，直線的方向向量必定平行于所求平面的法線向量，因此可取 利用平面的點法式方程可知 即 為所求平面方程。 或寫為一般式方程。 例2設平面過點且與平面平行，則平面的方程為_。 例3通過點且與直線：， 垂直的平面方程為_。 例4求點到平面的距離。 例5試確定過，及三點的平面方程。 例6求通過坐標原點且垂直于直線的平面方程。 例7求通過點且垂直于

18、兩平面：和的平面方程。 53 曲面與空間曲線甲 內容要點 一曲面方程 1一般方程 2參數方程 （平面區域） 二空間曲線方程 1一般方程 2參數方程 三常見的曲面方程 1球面方程 設是球心，是半徑，是球面上任意一點，則，即 2旋轉曲面的方程 （1）設是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉得到旋轉曲面，設是旋轉面上任一點，由點旋轉而來（點是圓心）。 由得旋轉面方程是 或 由參數方程，得旋轉面的參數方程 ， （2）求空間曲線繞軸一周得旋轉曲面的方程 第一步：從上面聯立方程解出， 第二步：旋轉曲面方程為 繞軸一周或繞軸一周的旋轉曲面方程類似地處理。 5二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面旋轉拋物面橢圓拋

19、物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面 四空間曲線在坐標平面上的投影 1曲線的方程 曲線在平面上的投影 先從曲線的方程中消去得到，它表示曲線為準線，母線平行于軸的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲線方程。 曲線在平面上投影或在平面上投影類似地處理 2曲線的方程 則曲線在平面上的投影曲線方程為 曲線在平面上投影曲線方程為 曲線在平面上投影曲線方程為第六章 多元函數微分學61 多元函數的概念、極限與連續性甲 內容要點 一多元函數的概念 1二元函數的定義及其幾何意義 設是平面上的一個點集，如果對每個點，按照某一對應規則，變量都有一個值與之對應，則稱是變量，的二元函數，記

20、以，稱為定義域。 二元函數的圖形為空間一卦曲面，它在平面上的投影區域就是定義域。 例如 ， 二元函數的圖形為以原點為球心，半徑為的上半球面，其定義域就是平面上以原點為圓心，半徑為的閉圓。 2三元函數與元函數 空間一個點集稱為三元函數 稱為元函數 它們的幾何意義不再討論，在偏導數和全微分中會用到三元函數。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數。 二二元函數的極限 設在點的鄰域內有定義，如果對任意，存在，只要，就有 則記以或 稱當趨于時，的極限存在，極限值為，否則，稱為極限不存在。 值得注意：這里趨于是在平面范圍內，可以按任何方式沿任意曲線趨于，所以二元函數的極限比一元函數的極限復雜；但考

21、試大綱只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計算極限值，不像一元函數求極限要求掌握各種方法和技巧。 三二元函數的連續性 1二元函數連續的概念 若 則稱在點處連續。 若在區域內每一點皆連續，則稱在內連續。 2閉區域上連續函數的性質 定理1（有界性定理）設在閉區域上連續，則在上一定有界. 定理2（最大值最小值定理）設在閉區域上連續，則在上一定有最大值和最小值 （最大值），（最小值） 定理3（介值定理）設在閉區域上連續，為最大值，為最小值。若，則存在，使得乙 典型例題 一求二元函數的定義域 例1求函數的定義域 解：要求 即； 又要求 即 或 綜合上述要求得定義域 或 例2求函數的定義域 二有關二

22、元復合函數 例1設，求 解：設，解出， 代入所給函數化簡 故 例2設，求 例3設，當時，求函數和 例4設，當時，求函數和。 三有關二元函數的極限 例1討論 （常數） 解：原式 而 又 原式 例2討論 例3討論 例4討論 62 多元函數的偏導數與全微分甲 內容要點 一偏導數 1定義 設二元函數 若存在，則記以，或 或稱為在點處關于的偏導數。 同理，若存在，則記以，或 或稱為在點處關于的偏導數。 類似地，設 即 即 即 2二元函數偏導數的幾何意義 表示曲面與平面的截線在點處的切線關于軸的斜率；表示曲面與平面的截線在點處的切線關于軸的斜率 3高階偏導數 設的偏導數和仍是二元函數，那么它們的偏導數就稱

23、為的二階偏導數，共有四種。 當，在處為連續則 也就是說在這種情況下混合偏導數與求導的次序無關。 類似地可以討論二元函數的三階及階偏導數。 也可以討論元函數的高階偏導數。 二全微分 1二元函數的可微性與全微分的定義 設在點處有全增量 若 其中不依賴于只與有關， 則稱在處可微，而稱為在處的全微分，記以或 2二元函數的全微分公式 當在處可微時 則 這里規定自變量微分， 一般地 3二元函數全微分的幾何意義 二元函數在點處的全微分在幾何上表示曲面在點處切平面上的點的豎坐標的增量。 4元函數的全微分公式 類似地可以討論三元函數和元函數的可微和全微分概念，在可微情況下 三偏導數的連續性、函數的可微性，偏導數

24、的存在性與函數的連續性之間的關系5432考研論壇（）友情提供下載 設，則連續存在 四方向導數與梯度（數學一） 1平面情形 在平面上過點沿方向的方向導數 在點處的梯度為 而方向導數與梯度的關系為 由此可見，當的方向與的方向一致時，為最大，這時等于又方向導數與偏導數的關系為 這相當用兩向量的點乘的坐標公式 2空間情形（略）63 多元函數微分法甲 內容要點一復合函數微分法鎖鏈公式 模型 1， ； 模型2， 模型3， 模型4， 還有其它模型可以類似處理二隱函數微分法 設 （1）確定則； （2）確定則； （3）確定則；乙 典型例題 例1設有連續的一階偏導數，又函數及分別由下列兩式確定 和，求 答案： 例

25、2設，是由和所確定的函數，其中具有一階連續導數，具有一階連續偏導數，求 答案：64 多元函數的極值和最值甲 內容要點 一求的極值 第一步 求出駐點 第二步 令 若 則不是極值 若 則不能確定（需從極值定義出發討論） 若 則是極值 進一步 若 則為極小值 若 則為極大值 二求多元函數條件極值的拉格朗日乘子法 求的極值 約束條件 作 求出是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含義確定其充分性。這種方法的關鍵是解方程組的有關技巧。 三多元函數的最值問題乙 曲型例題 一普通極值問題 例1求函數的極值 解：， 要求，得 故知，由此解得三個駐點 ， 又， 在點處 ， 又， 是極小值點 極小值 在點處 ，

26、。 ，也是極小值點 極小值 在點處 ，。 不能判定。 這時取，（其中為充分小的正數）則而取時，由此可見不是極值點。 例2求函數的極值 二條件極值問題（在強化班再討論）第七章 多元函數積分學71 二重積分甲 內容要點一二重積分的概念與性質 1定義 設是定義在有界閉區域上的有界函數，如果對任意分割為個小區域對小區域上任意取一點都有 存在，（其中又表示為小區域的面積，為小區域的直徑，而） 則稱這個極限值為在區域上的二重積分 記以，這時就稱在上可積。 如果在上是有限片上的連續函數，則在上是可積的。 2幾何意義 當為閉區域上的連續函數，且，則二重積分表示以曲面為頂，側面以的邊界曲線為準線，母線平行于軸的

27、曲頂柱體的體積。 當封閉曲面它在平面上的投影區域為，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區域的體積為 3基本性質 （1）（為常數） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊。 （4）若，則 （5）若，則 其中為區域的面積。 （6） （7）積分中值定理 設在有界閉區域上連續，為的面積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 4對稱區域上奇偶函數的積分性質 定理1設在有界閉區域上連續，若關于軸對稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 定理2設在有界閉區域上連續，若關于軸對稱，則 其中為在軸的右半平面部分。 定理3設在有界閉區域上連續，若關于原點對稱，則 其中為的上半平面或右半平

28、面。 定理4設在有界閉區域上連續，若關于直線對稱，則 若，分別為在的上方與下方部分，則 二在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題 模型：設有界閉區域 其中，在上連續，在上連續。 則 模型：設有界閉區域 其中，在上連續，在上連續。 則 關于二重積分的計算主要根據模型或模型把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復雜的區域，如果既不符合模型中關于的要求，又不符合模型中關于的要求，那么就需要把分解成一些小區域，使得每一個小區域能夠符合模型或模型中關于區域的要求，利用二重積分性質，把大區域上二重積分等于這些小區域上二重積分之和，而每個小區域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。

29、在直角坐標系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區域，然后根據再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。三在極坐標系中化二重積分為累次積分 在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區域的不同類型，也有幾種常用的模型。 模型：設有界閉區域 其中，在上連續，在上連續，則 模型：設有界閉區域 其中在上連續，在上連續，則 模型：設有界閉區域 其中在上連續，在上連續，則 模型：設有界閉區域 其中在上連續，在上連續，則 四二重積分在幾何上的應用 1空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上

30、投影區域為上半曲面，為下半曲面。 2空間曲面的面積 其中為曲面在平面上投影，曲面的方程乙 典型例題一直角坐標系中二重積分的計算 例1計算，其中是由曲線，所圍區域。 解： 例2計算其中是以，和為邊的平行四邊形區域。 例3計算其中是由擺線，的第一拱和軸所圍區域。 例4計算 例5計算 例6計算，其中由，和軸所圍區域。 例7計算其中由和所圍區域。二極坐標系中二重積分的計算 例1計算其中由與軸圍成上半圓區域。 解：在極坐標系里， 三交換積分順序 例1交換的積分順序 解：原式 其中由，和所圍的區域。 按另一積分順序把二重積分化累次積分 原式 例2交換的積分順序 例3交換的積分順序 例4交換的積分順序 例5

31、交換的積分順序 四二重積分在幾何上的應用 1求空間物體的體積 例1求兩個底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積 答案： 例2求球面和圓柱面所圍（包含原點那一部分）的體積 解：根據對稱性可知 其中為平面上與軸所圍平面區域用極坐標系進行計算 例3求曲面，所圍立體的體積。 72 三重積分（數學一）甲 內容要點一三重積分的概念與性質 1定義 設是定義在空間有界閉區域上的有界函數，如果對任意分割為個小區域且對小區域上任意取一點都有存在（其中又表示為小區域的體積，為小區域的直徑，而）則稱這個極限值為在空間區域上的三重積分，記以。這時就稱函數在上是可積的。 上的連續函數一定是可積的。 2基本性質 （1）（為常數

32、） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊 （4）若，則 （5）若，則 其中V為區域的體積 （6） （7）積分中值定理 設在空間有界閉區域上連續，為的體積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 3對稱區域上奇偶函數的積分性質 定理：設在空間有界閉區域上連續，而關于平面對稱，則 其中是在平面上方的那一部分區域。 至于關于平面對稱，或關于平面對稱有類似的結果。二三重積分的計算方法 1直角坐標系中三重積分化為累次積分 （1）設是空間的有界閉區域， 其中是平面上的有界閉區域，在上連續，函數在上連續，則 （2）設 其中為豎坐標為的平面上的有界閉區域，則 2柱坐標系中三重積分的計算 相當于把

33、化為極坐標而保持不變。 3球坐標系中三重積分的計算 然后再根據把三重積分化為關于的累次積分。 乙 典型例題（強化班時再討論）5432考研論壇（）友情提供下載73 曲線積分（數學一）甲 內容要點一第一類曲線積分（對弧長的曲線積分） 1定義 平面情形：設平面上逐段光滑曲線上定義函數把曲線任意分割為段，在上任取一點，如果對任意分割，任意取點，下列極限皆存在并且相等。 （這里又表示第段曲線的弧長，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分也稱為對弧長的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，則記以 空間情形：空間一條逐段光滑曲線上定義函數，把曲線任意分割為段，在上任取一 點，如果對任意分割，任意取點，下列

34、極限皆存在并且相等。 （這里又表示第段曲線的弧長，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分，也稱為對弧長的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，也記以 2參數計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設空間曲線的參數方程， 則 （假設和，皆連續）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算。二第二類曲線積分（對坐標的曲線積分） 1定義 平面情形：設平面一條逐段光滑有定向的曲線，函數和皆在上有定義，把任意分成段，在上起點坐標為，終點坐標為（按的定向決定起點和終點）令， ，再在上任取一點，考慮極限 其中仍然是段弧長中的最大值，如果對任意分割，任意取點，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為和對曲線的第二

35、類曲線積分，也稱對坐標的曲線積分，記以 第二類曲線積分有時也用向量形式表示，這時向量 ，用向量點乘概念 另外，平面曲線是封閉曲線時，它的定向用逆時針方向或順時針方向加以指明。 空間情形：設空間一條逐段光滑有定向的曲線，函數，在上皆有定義，把任意分成段，在上起點坐標為，終點坐標（按的定向決定起點和終點）令，再在上任意一點考慮極限 其中仍是段弧長中最大值，如果對任意分割，任意取點，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為，和對空間曲線的第二類曲線積分，也稱對坐標的曲線積分，記以 它的向量形式為 其中 如果是空間封閉曲線也要說明的定向，在空間不能簡單地說逆時針方向或順時針方針，必須用其他方式加以說明。

36、 2參數計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設空間有向曲線的參數方程，起點對應參數為，終點對應參數為（注意：現在和的大小不一定）如果，皆連續，又，也都連續，則 這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個負號，而第一類曲線積分的值與定向無關，故曲線不考慮定向。三兩類曲線積分之間的關系 1平面情形 設平面上一個逐段光滑有定向的曲線，在上連續，則 其中，為曲線弧在點處沿定向到方向的切線的方向余弦。 2空間情形 設為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在上連續，則 其中，為曲線弧上點處沿定向到方向的切線的方向余弦。四格林公式 關于平面區域上的二重積

37、分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關系有一個十分重要的定理，它的結論就是格林公式。 定理1（單連通區域情形） 設平面上有界閉區域由一條逐段光滑閉曲線所圍成的單連通區域。當沿正定向移動時區域在的左邊，函數，在上有連續的一階偏導數，則有 定理2（多連通區域情形） 設平面上有界閉區域是連通區域（也即有個“洞”），它的邊界，其中的定向為逆時針方向，定向皆為順時針方向，仍符合沿的正定向移動時區域在它的左邊這個原則。 函數，在上有連續的一階偏導數，則 五平面上第二類曲線積分與路徑無關的幾個等價條件 設的分量，在單連通區域內有一階連續偏導數，則下面幾條彼此等價。 1對內任意一條逐段光滑閉曲線，都有 2任意在

38、內，則只依賴于起點和終點，與曲線的取法無關，稱為曲線積分與路徑無關。 3成立。 4內處處有成立。 5向量場是有勢場，即存在二元函數，具有，稱為勢函數，具有，。 乙 典型例題（強化班再討論）74 曲面積分（數學一）甲 內容要點一第一類曲面積分（對面積的曲面積分） 1定義 設為分塊光滑曲面，在上有定義，把曲面任意分成塊小曲面，在上任取一點，把小曲面的面積也記以，而表示各小塊曲面直徑的最大值。如果對任意分割和任意取點，下列極限皆存在且相等 則稱這極限值為在曲面上的第一類曲面積分，也稱對面積的曲面積分，記以 2基本計算公式 設曲面的方程，在上有連續偏導數。 在上連續，則 這樣把第一類曲面積分化為二重積分進行計算。二第二類曲面積分（對坐標的曲面積分） 1定義 設為分塊光滑有向曲面（已指定一側為定向)，皆在上有定義，把曲面任意分成個小曲面，而在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，又在上任取一點，令是各小塊曲面直徑的最大值，考慮極限 如果對任意分割，任意取點，極限值都存在并且相等，則這個極限限稱為，在有向曲面上的第二類曲面積分，也稱為對面積的曲面積分，記以 如果令， 則向量形式為 2基本計算公式 如果曲面的方程， 在上連續，在上連續，則 若曲面指定一側的法向量與軸正向成銳角取正號，成鈍角取負號。這樣把這部分曲面積分