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文檔簡介
1、三角形的五心-A(角分線心)內心與旁心 陶平生三角形的五心是指內心、外心、重心、垂心與旁心;在數學競賽中占有十分重要的位置從賽題統計方面來看,其中又以角分線心的問題最為突出,必須熟悉其基本性質,基本構形,常用輔助線以及基本定理的應用本講座介紹內心與旁心問題的內心為,而邊外的旁心分別為;分別是三條內角平分線,交三角形外接圓于,交外接圓于,交于,顯然,三角形過同一頂點的內、外角平分線互相垂直,并且有、;、;、;、;、;、;(稱為對稱比定理)、,(俗稱“雞爪”定理)(注意,中最后一等式僅當外角分線與邊有交點時使用)、中,是的平分線,點分別在上,滿足,分別是的中點;證明:、是直角三角形斜邊上的高,()
2、,分別是的內心,的外接圓分別交于,直線交于點;證明:分別是的內心與旁心、四邊形中,自對角線的交點,作于,線段交于,交于,是線段上的任意一點.證明:點到線段的距離等于到線段、的距離之和.、的外心為,是的中點,直線交于,點分別是的外心與內心,若,證明:為直角三角形、如圖,四邊形內接于,而與外切于點,且都內切于,若對角線分別是、的內、外公切線;證明:點是的內心、如圖,是所在平面上的一點,設點關于該三角形的三條內角平分線的對稱點為;證明:三線共點、(年全國高中數學聯賽)內接于, 自作的切線, 又以為圓心,為半徑作交直線于,交直線于;證明:四邊形的四條邊所在直線分別通過的內心及三個旁心.、中,是角平分線
3、上的任一點,分別是延長線上的點,且,;若分別是的中點;證明:、中,內切圓切于,設是的直徑,若交于;證明:、(年東南賽)已知、分別是的外接圓和內切圓;證明:過上的任意一點,都可作一個三角形,使得、分別是的外接圓和內切圓、是內的一點,若,證明:、如圖,分別是的外心與內心,是邊上的高,在線段上;求證:的外接圓半徑等于邊上的旁切圓半徑(年全國高中數學聯賽)、(年中國數學奧林匹克試題)設銳角的三邊長互不相等,為其外心,點在線段的延長線上,使得,過點分別作,垂足分別為,作,垂足為,記的外接圓半徑為,類似地可得;求證:、設與的邊分別切于點,又與的外接圓相切于點;證明:線段過的內心(曼海因定理)、中,是內心,是的中點,角的平分線交三角形的外接圓于,是關于的對稱點(設點在圓內),延長交外接圓于;證明:三線段中,必有一線段是其余兩線段的和、中,于,分別是與的內心,直線交于,交于,若;證明:為直角、等腰梯形中,分別是的內心,是直線上的一點,的外接圓交的延長線于;證明: (美國-第屆)、如圖,四邊形內接于圓,的內心依次為;證明:是矩形、三角形中,是的中點,分別是邊上的點,且的外接 圓 交 線段于若點滿足:證明:、(第屆)如圖,兩個半徑不相等的圓與交于兩點,兩點分別在上,且線段以為中點;延長交于點,延長交于點;設線段的中垂線分別為;證明:、與相交;、若與的交點為,則三條線段能構成一個直角三角形、如圖,在
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