1、一、考試內(nèi)容（一）一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用1、平面圖形的面積2、旋轉(zhuǎn)體體積注：利用平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體體積公式時(shí)，有時(shí)可借助參數(shù)方程或極坐標(biāo)表示3、曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)三不要求）4、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（數(shù)三不要求）（二）重積分計(jì)算法則1、記憶以下二重積分奇偶對(duì)稱性性質(zhì)：（1）當(dāng)積分域?qū)ΨQ于軸時(shí)，令是關(guān)于軸某一側(cè)的部分，則有上述性質(zhì)可類似地應(yīng)用于關(guān)于軸的對(duì)稱性與函數(shù)關(guān)于的奇偶性（3）當(dāng)積分域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，若，則有（4）若將互換，積分域不變，（關(guān)于對(duì)稱）則（輪換性）2、記憶以下三重積分奇偶對(duì)稱性性質(zhì)：（數(shù)一）（1）當(dāng)積分域?qū)ΨQ于面時(shí)，令是關(guān)于面某一側(cè)的部分，則有上述性質(zhì)可類似地應(yīng)用于關(guān)于其它坐標(biāo)面的對(duì)稱性與

2、函數(shù)的奇偶性（2）若將互換，積分域不變， 則（輪換性）3、記憶重積分算法對(duì)，對(duì)，對(duì)，特別地，對(duì)，為在面的投影則，此為先二后一法（數(shù)一）對(duì)繞軸（）的旋轉(zhuǎn)體區(qū)域，為在處的橫截面區(qū)域，則，此為先一后二法（數(shù)一）特別地，截面面積為已知的立體體積對(duì)由球面與錐面所圍成的區(qū)域，可利用球坐標(biāo)法計(jì)算：（數(shù)一）二、典型例題（一）一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用例1、如圖，連續(xù)函數(shù)在上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則有（C）（A） (B)（C）（D）提示：，故選（C）.例2、求由曲線及在上半平面圍成圖形的面積及周長(zhǎng).解：，或.例3、設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D

3、繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，則提示：，例4、求曲線和直線所圍成圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)一周的.解：.例5、位于第一象限的圖像與軸、軸所圍區(qū)域的面積為提示：面積例6、曲線的弧長(zhǎng)提示：例7、過上一點(diǎn)做切線，問為何值時(shí)所作切線與拋物線所圍區(qū)域的面積最小？解：易得兩曲線交點(diǎn)，易知時(shí)例8、設(shè)D是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域，（1）求區(qū)域D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積;（2）當(dāng)為何值時(shí)，最小?提示：(1)(2)（二）二重積分計(jì)算例1、換序.例2、設(shè)連續(xù)，則.例3、.例4、設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則提示：對(duì)稱奇偶性與二重積分的幾何意義例5計(jì)算，其中解：令，由二重積分奇偶對(duì)稱性性質(zhì)知，.例6、設(shè)是的第象限的部分

4、，記，則（B）（A）（B）（C）（D）提示：由輪換性知由不等式性質(zhì)知例7、設(shè)，則.（輪換性）例8、設(shè)連續(xù)，其中為圖中陰影部分，則.提示：注意相對(duì)于直（極）標(biāo)為常數(shù)，則例9、求.解 如圖, 原式.例10、可導(dǎo)，為其反函數(shù)，證明：提示：令，則左右（三）三重積分計(jì)算(僅數(shù)一打印)例1、，其中由錐面與平面（）圍成的區(qū)域.【解1】原式.【解2】原式.【解3】原式.例2、，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域.【解1】因區(qū)域具有輪換性，則故原式.【解2】原式.【解3】原式.例3、計(jì)算，由平面以及曲面圍成，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)面.解： 原式.例4、計(jì)算，其中解：例5、求上的連續(xù)函數(shù)，使提示：令，則三、課后

5、練習(xí)（一）一元積分學(xué)的幾何應(yīng)用1（A）、曲線與軸所圍成圖形的面積可表為（C）（A）（B）（C）（D）2（A）、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則曲線夾在之間的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為（B）3（A）、如圖，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分等于（C）（A）曲邊梯形面積（B）梯形面積（C）曲邊三角形面積（D）三角形面積4（A）、由曲線和直線及在第一象限中所圍圖形的面積為5（A）、假設(shè)曲線，軸和軸所圍成區(qū)域被曲線分為面積相等的兩部分，則6（A）、過原點(diǎn)作的切線，其與及軸所圍區(qū)域?yàn)椋瑒t的面積為，繞旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為7（A）、已知曲線與曲線在點(diǎn)處有公切線，求常數(shù)及切點(diǎn)；兩曲線與軸所圍平面區(qū)域的面積

6、；該區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積8（A）、求曲線所圍圖形的面積，并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積（）9（A）、設(shè)，及軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為10（A）、設(shè)有曲線，過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線，切線及軸圍成的平面圖形繞軸一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積11（A）、求圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面面積，并求其繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積（，）12（A）、設(shè)位于曲線下方，軸上方的無界區(qū)域?yàn)?則繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積是13（A）、設(shè)L極坐標(biāo)方程為，則L所圍的區(qū)域面積為14（A）、設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，則該曲線上相應(yīng)于從0邊到的

7、一段弧與極軸所圍成的圖形面積為15（A）、與軸、軸圍成圖形的面積為16（B）、設(shè)，則其所示曲線與直線及軸，軸圍成的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體體積17（A）、求擺線一拱的弧長(zhǎng)18（A）、設(shè)曲線由確定，則該曲線對(duì)應(yīng)于的弧長(zhǎng)為19（B）、求心形線的全長(zhǎng)，其中 （）20（A）、已知曲線的斜率為，則該曲線在中的弧長(zhǎng)為21（A）、求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成圖形面積最小（）22（A）、設(shè)曲線與交于點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線與曲線圍成一平面區(qū)域，問為何值時(shí)，該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？最大體積是多少？（）23（A）、設(shè)與拋物線所圍面積為，它們與所圍面積為試確定，使達(dá)到最小，并求出

8、最小值;求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積24（B）、設(shè)，S表示夾在x軸與曲線y = F(x)之間的面積. 對(duì)任何t 0，表示矩形-txt，0 yF(t)的面積. 求(I) S(t) = S -的表達(dá)式；，t (0 , +).(II) S(t)的最小值是最小值25（B）、設(shè)及 ，若表示位于直線左下方部分的面積，則26（B）、曲線與直線,及圍成一曲邊梯形該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為,求；計(jì)算（ 2 1）27（B）、已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（凸的）（II）過點(diǎn)引L的切線，求切線的方程；（）（III）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于的部分

9、）及x軸所圍成的平面圖形的面積（）（二）二重積分計(jì)算1（A）、設(shè)連續(xù)，則可換序?yàn)?2（A）、設(shè)連續(xù)，則可換序?yàn)?3（B）、設(shè) 由所圍，如圖所示，將（0）化為極坐標(biāo)系下的二次積分. 4（A）、設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（D）（A）（B）.（C）（D）5（A）、設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分=（B）（A）（B）（C）（D）6（A）、設(shè)，其中，則按從大到小的排列次序?yàn)?7（A）、設(shè)是面上以為頂點(diǎn)的區(qū)域，是在第一象限的部分，則（A）（A）（B） （C）（D）8（A）、如圖，正方形被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域，設(shè)，則 (A)(A)(B)(C)(D)9（A）、(1)；（2）、求.10（A）、計(jì)算.11（B）、計(jì)算（

10、極坐標(biāo)）12（A）、設(shè)由及所圍，若，則.13（A）、設(shè)是由直線所圍成的平面區(qū)域，則14（A）、設(shè)D是由曲線所圍成，則15（A）、設(shè)區(qū)域，則=.16（B）、設(shè), .17（B）、設(shè)極標(biāo)域，則.18（A）、設(shè)由與及圍成，則.19（A）、設(shè)， 則.（對(duì)稱奇偶性）20（A）、設(shè)，則.（輪換性與對(duì)稱奇偶性）21（B）、設(shè)由與極軸圍成，則.（對(duì)稱奇偶性）22（B）、設(shè)是由和所圍，求.提示：，注意對(duì)稱奇偶性與分塊性.23（B）、設(shè)連續(xù)，求，由與所圍.提示：，注意對(duì)稱奇偶性與分塊性.24（B）、設(shè)連續(xù)，則（對(duì)稱奇偶性）25（A）、.（輪換性與對(duì)稱奇偶性）26（B）、.（分塊性）27（A）、設(shè)，則（分塊性）28（B）、設(shè)，計(jì)算.（分塊性）29（B）、設(shè)連續(xù)，求證：（換序與換元）30（B）、設(shè)連續(xù)，求證：（極標(biāo)）31（B）、設(shè)連續(xù),并設(shè)則（輪換性）32（A）、若.則（三）三重積分計(jì)算(僅數(shù)一打印)1（A）、錐面與平面圍成，連續(xù)，則（B）（A）（B）（C）（D）2（A）、設(shè)，則有(C)（A）(B)(C)(D)3（A）、若為平