1、16.8 6.8 時諧電磁場時諧電磁場 在時變電磁場中，如果場源以一定的角頻率隨時間在時變電磁場中，如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧呈時諧( (正弦或余弦正弦或余弦) )變化，則所產生的電磁場也以同樣變化，則所產生的電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為變化的電磁場，稱為時諧電磁場時諧電磁場或或正弦電磁場正弦電磁場。在工程。在工程上，應用最多的是時諧電磁場。同時，任意的時變場在上，應用最多的是時諧電磁場。同時，任意的時變場在一定的條件下都可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率一定的條件下都可通過傅里葉分析方

2、法展開為不同頻率的時變場的疊加。因此，研究時諧電磁場具有重要的意的時變場的疊加。因此，研究時諧電磁場具有重要的意義。義。一、時諧電磁場的復數表示一、時諧電磁場的復數表示 設設 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間呈時諧變化的標量隨時間呈時諧變化的標量函數，其瞬時表示式為函數，其瞬時表示式為( , )u r tm( , )( )cos( )u r turtr2m( , )( )cos( )u r turtr式中式中 為振幅，它僅為空間坐標的函數。為振幅，它僅為空間坐標的函數。 為角頻為角頻率。率。 是與時間無關的初相位是與時間無關的初相位。 ( ) rm( )ur( )( , )Re( )Re

3、( )jrj tj tmu r tur eeu r e( )( )( )jrmu rur e式中式中( , )F r t ( , )u r t稱為稱為復振幅復振幅，或稱為，或稱為 的復數形式。的復數形式。 任意時諧矢量函數任意時諧矢量函數 可分解為三個分量可分解為三個分量 ，每一個分量都是時諧標量函數，即，每一個分量都是時諧標量函數，即( , )(, , )iF r t ix y z( , )( )cos( )(, , )iimiF r tFrtrix y z利用復數取實部表示方法，利用復數取實部表示方法，可將上式寫成可將上式寫成cossinjzezjz3( , )( )cos( )(, ,

4、)iimiF r tFrtrix y z它們可用復數表示為它們可用復數表示為其中其中( )( , )Re( )(, , )ijrj tiimF r tFr eeix y z( , )( , )( , )( , )xyzxyzF r te F r te F r te F r t ( )( )( )Re( )( )( )yxzjrjrjrj txyzxmymzme Fr ee Fr ee Fr ee( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxyzxmymzmFe Fr ee Fr ee Fr e時諧矢量函數時諧矢量函數 的復矢量。的復矢量。( , )F r t Re( )j tmFr

5、 e瞬時矢量瞬時矢量 與復矢量與復矢量 的關系的關系( , )F r t ( )mFr4電磁場隨時間作正弦變化時，電場強度的三個分量電磁場隨時間作正弦變化時，電場強度的三個分量可用余弦函數表示可用余弦函數表示, , , ,cosxxmxEx y z tEx y zt, , , ,cosyymyEx y z tEx y zt, , , ,coszzmzEx y z tEx y zt用復數的實部表示用復數的實部表示ReRexjtj txmxxmEE eEeReReyjtj tymyymEE eEeReRezjtj tzmzzmEE eEexyzjxmxmjymymjzmzmEE eEE eEE e

6、時諧電場的復振幅時諧電場的復振幅5在時諧場中，電場強度可表示為在時諧場中，電場強度可表示為同理，可得同理，可得xyzxyzEe Ee Ee EReReRej tj tj txmymzmxyzeEeeEeeEeRej tmE eReReReReRejtjtmmjtjtmmjtmDDeJJeHHeeBBe 式中式中mxxmyymzzmEe Ee Ee E稱為稱為時諧電場的復矢量時諧電場的復矢量666(2) ( , , , )120 cos210(23)34240 sin210(23)36xzE x y z tetxyzetxyz例例1 1：將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式。：將下列場矢量的瞬時

7、值形式寫為復數形式。解：（解：（1 1）由于由于(1) ( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz()()2Reyxjt kzjt kzxxmyyme E ee E e( , )Re( )j tmE z tEz e()()2( )yxjkzjkzmxxmyymEze E ee E e()2yxjjjjkzxxmyyme E ee E ee7()2()yxjjjjkzxxmyymme E ee E eeEz()2yxjjjjkzxxmyyme E ee E eee2cos()

8、sin()22jejj ()yxjjjkzxxmyyme E ee jE ee66(2) ( , , , )120 cos210(23)34240 sin210(23)36xzE x y z tetxyzetxyz66( , , , )120 cos210(23)34240 cos2102(23)36xzE x y z tetxyzetxyzsincos()2xx866120 cos210(23)334240 cos210(23)3xzetxyzetxyz(23)(23)3433( , , )120240jxy zjxy zmxzEx y zeeee66( , , , )120 cos210(

9、23)34240 cos210(23)362xzE x y z tetxyzetxyz9例例2 2：已知一磁場分量的復數形式為：已知一磁場分量的復數形式為(2)34120jxy zyHje(2)342120jxy zjyHe e2cos()sin()22jejj(2)34120jxy zyHe8( , , , )120 cos810(2)34yHx y z ttxyz, ,寫出其對應的瞬時表達式。寫出其對應的瞬時表達式。頻率為頻率為84 10fHz解：解：10二、麥克斯韋方程的復數形式二、麥克斯韋方程的復數形式對于時諧場，對于時諧場，故由麥克斯韋方程組微分形式，可得故由麥克斯韋方程組微分形式，

10、可得Rej tmEjE etRej tmBjB et 0DHJtBEtBD ()()()()0()j tj tmmmj tj tmmj tmj tj tmmHeJjDeE ejB eB eD ee 110HJj DEj BBD 為簡化書寫，將為簡化書寫，將 寫做寫做 ，而，而 項則省略不寫，則項則省略不寫，則方程變為方程變為mB B j te麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組的復數形式的復數形式說明：說明：1)方程中各場量形式上是實數用源量，均應為復數形方程中各場量形式上是實數用源量，均應為復數形式式(為簡化書寫而略寫為簡化書寫而略寫)；2)方程中雖然沒有與時間相關的因子，時間因子方程中雖然沒有與時

11、間相關的因子，時間因子 為缺省式子，有時沒有寫出來；為缺省式子，有時沒有寫出來；3)麥克斯韋方程組復數形式只能用于時諧場。麥克斯韋方程組復數形式只能用于時諧場。j te12三、復數形式的波動方程三、復數形式的波動方程亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程。時諧場所滿足的波動方程即為亥姆霍茲方程。在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規律變化，則在時諧場中，由于場量隨時間呈正弦規律變化，則則無源空間的波動方程變為則無源空間的波動方程變為222222,EHEHtt 22222200EEtHHt222200EEHH 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程222200Ek EHk H令：令： 則亥

12、姆霍茲方程變為則亥姆霍茲方程變為22k 說明：亥姆霍茲方程的解說明：亥姆霍茲方程的解為時諧場場量表達式為時諧場場量表達式13四、復介電常數和復磁導率四、復介電常數和復磁導率 媒質在電磁場作用下呈現三種狀態：媒質在電磁場作用下呈現三種狀態：極化極化、磁化磁化和和傳導傳導，它們可用一組宏觀電磁參數表征，即，它們可用一組宏觀電磁參數表征，即介電常數介電常數、磁導率磁導率和和電導率電導率。在靜態場中這些參數都是實常數；而。在靜態場中這些參數都是實常數；而在時變電磁場作用下，反映媒質電磁特性的宏觀參數與在時變電磁場作用下，反映媒質電磁特性的宏觀參數與場的時間變化有關，對正弦電磁場即與頻率有關。場的時間變

13、化有關，對正弦電磁場即與頻率有關。 對時諧電磁場中的導電媒質，有對時諧電磁場中的導電媒質，有HEjE cj式中式中等效介電常數等效介電常數或復介電常數或復介電常數對于存在電極化損耗的電介質對于存在電極化損耗的電介質cj復介電常數復介電常數()jjE cjE14cjj其中：其中：僅與媒質本身介電常數有關；僅與媒質本身介電常數有關；與媒質本身電導率和波的頻率有關。與媒質本身電導率和波的頻率有關。 導電媒質的導電媒質的電導率電導率和和介電常數介電常數的總效應可用一個等效的總效應可用一個等效復介電常數表示，即復介電常數表示，即 cjtan為了方便為了方便描述導電媒質的損耗特性描述導電媒質的損耗特性，引

14、入，引入媒質損耗角媒質損耗角正切正切（用表示）的概念。定義（用表示）的概念。定義tan()arct15tan對于導電媒質，有對于導電媒質，有/tan 對于存在磁化損耗的磁介質，有對于存在磁化損耗的磁介質，有cj復磁導率復磁導率描述了導電媒質中的傳導電流與位移電流的振幅之比。描述了導電媒質中的傳導電流與位移電流的振幅之比。11 ()100通常取時，稱弱導電媒質或良絕緣體1 (100)通常取時，稱為良導體16五、位函數的復數形式五、位函數的復數形式對于時諧電磁場，對于時諧電磁場，洛侖茲條件變為洛侖茲條件變為達朗貝爾方程變為達朗貝爾方程變為由洛侖茲條件，可將標量位表示為由洛侖茲條件，可將標量位表示為

15、1HAEj A Aj 22Ak AJ 22k 22k Aj 21()HAAAEjj AjAk 17六、復坡印廷矢量六、復坡印廷矢量對正弦電磁場，當對正弦電磁場，當場矢量場矢量用復數表示時：用復數表示時： *1( )Re2jtjtjtE tEeEeE e*1( )Re2jtjtjtH tHeHeH e從而從而坡印廷矢量瞬時值坡印廷矢量瞬時值可寫為可寫為 ( )( )( )S tE tH t*1122jtjtjtjtEeE eHeH e*2*21()4jtjtEHEHEHeEH e*211ReRe22jtEHEHe*2*21()211()22jtjtEHeEeEEHHH18它在一個周期它在一個周期

16、T=2/內的內的平均值平均值為為 01( )TavSS t dtT式中：式中： *12SEH*1Re2EHRe S*1Re2avSEH平均坡印廷矢量為平均坡印廷矢量為稱為稱為復坡印廷矢量復坡印廷矢量，它與時間，它與時間t t無關，表示復功率流無關，表示復功率流密度，其實部為平均功率流密度密度，其實部為平均功率流密度( (有功功率流密度有功功率流密度) )，虛部為無功功率流密度。注意式中的電場強度和磁場強虛部為無功功率流密度。注意式中的電場強度和磁場強度是復振幅值而不是有效值；度是復振幅值而不是有效值； 稱為稱為平均能流密度矢量平均能流密度矢量或或平均坡印廷矢量。平均坡印廷矢量。 S*,EHE

17、H是是的的共共扼扼復復數數，avS19類似地可得到類似地可得到電場能量密度電場能量密度、磁場能量密度磁場能量密度和和導電損導電損耗功率密度耗功率密度的表示式：的表示式： 1( )( )( )2ew tD tE t*,1Re4av ewE D1( )( )( )2mwtB tH t( )( )( )p tJ tE t*211ReRe44jtE DE De*211ReRe44jtB HB He*211ReRe22jtJ EJ Ee *,1Re4av mwB H*1Re2avpJ E 20例例3: 3: 已知無源已知無源( (=0, =0, J J=0)=0)的自由空間中，時變電磁的自由空間中，時變電磁場的電場強度復矢量場的電場強度復矢量式中式中k k、E E0 0為常數。求：為常數。求：(1)(1)磁場強度復矢量；磁場強度復矢量； (2)(2) 坡印廷矢量的瞬時值；坡印廷矢量的瞬時值；(3)(3) 平均坡印廷矢量。平均坡印廷矢量。 jkzyeEezE0)()/(mV解：解： (1) (1) 01( )( )H zE zj 0EjH 001()jkzzyee E ejz 00jkz