1、高中數(shù)學(xué)正方體中直線與平面的垂直（高三）教學(xué)課例分析一、教學(xué)設(shè)計(jì)我校高三理（2）、文（2）兩班，是高三年級(jí)的普通班，特別是文（2）班，多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣，甚至抱有放棄的態(tài)度，為改變這一狀態(tài)，使每個(gè)學(xué)生通過高三總復(fù)習(xí)，能最大程度地提高數(shù)學(xué)成績(jī)，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，我參加了貴州省的“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)實(shí)驗(yàn)。在“立體幾何”中，空間的直線與平面的垂直關(guān)系，是一類重要的問題，也是培養(yǎng)學(xué)生空間想像能力的重要素材，復(fù)習(xí)該內(nèi)容時(shí)，我用學(xué)生熟悉的正方體，設(shè)置了如下數(shù)學(xué)情境：正方體的8個(gè)頂點(diǎn)及12條棱的中點(diǎn)共20個(gè)點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)作直線，任取不共線三點(diǎn)作平面，對(duì)這些點(diǎn)、線、面，引導(dǎo)學(xué)

2、生提出問題，圍繞問題進(jìn)行探討學(xué)習(xí)，我確立這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1、使學(xué)生掌握空間直線與平面的位置關(guān)系的判斷和證明；2、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想像能力；3、提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生置疑提問的意識(shí)和解決問題的能力二、教學(xué)實(shí)施（課前發(fā)給每個(gè)學(xué)生一張答卷，上面寫明了數(shù)學(xué)情境，并畫好10個(gè)備用正方體）師：同學(xué)們對(duì)正方體非常熟悉，它有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，取各棱的中點(diǎn)與頂點(diǎn)共20個(gè)點(diǎn)（出示圖1），在這20個(gè)點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)作一條直線，會(huì)取不共線3點(diǎn)作一平面。請(qǐng)同學(xué)們找出一條直線和與該直線垂直的一個(gè)平面，并在答卷上，盡可能多地舉出例子。（學(xué)生們積極思考，在答卷上畫出若干圖形，教師從中挑選了幾衢較代表

3、性的圖形畫在黑板上）生1:AA1面A1C1（圖2）；生2：A1C1面BD1（圖3）生3：BD1面AB1C（圖4）；生4：HJ面PFH（圖5）生5：BD1面FGM（圖6）圖6（圖形畫出后，學(xué)生們議論紛紛，有的肯定，有的否定，有的補(bǔ)充，課堂氣氛漸漸熱烈起來）師：對(duì)已畫出的圖形，請(qǐng)大家進(jìn)行評(píng)判，看圖中的直線與平面是否垂直，并說明理由。（學(xué)生口答，教師板書于圖下）生 6：圖2是正確的，理由是生7：圖3正確，理由是（部分學(xué)生反對(duì)）生8：BD與B1D1平行，不符合線面垂直判定定理中的條件，應(yīng)找兩條相交直線。由 BB1面A1C1可以推出BB1A1C1和A1C1B1D1，所以A1C1面BD1。生9：圖4正確。

4、于是BD1面AB1C。因?yàn)?BD1在面AC上的射影是BD，又BDAC，故BD1AC（三垂線定理）.同理可證BD1面AB1，圖6與圖4類似，也正確.生10：圖5是錯(cuò)誤的.因?yàn)镴H與IH不垂直，所以IJ與平面IHFP不垂直.師：那么與平面IHFP垂直的直線該如何找呢？生10：在平面11上與IH垂直的直線，可找A1C1或HK.線面判定線面性質(zhì)師：幾位同學(xué)判斷的很有道理，下面我們對(duì)證明直線與平面垂直的方法做歸納總結(jié).（板書） 線面垂直面面判定面面性質(zhì)面面垂直師：圖5涉及直線與平面不垂直的問題，由直線與平面垂直的定義知，平面的垂直線與不平面內(nèi)所有的直線都垂直，如果在平面上找到一條直線例外，就可以判斷直線

5、與平面不垂直。師：除了以上幾種，同學(xué)們畫出的圖形還有許多，但仔細(xì)觀察，有些是重復(fù)的，只是畫圖的角度選取的不同，為了便于尋找，避免重復(fù)情況，建議大家先考慮：由這20個(gè)點(diǎn)可以確定哪些不同的直線？可按某一規(guī)律分類尋找。師：如果按直線在正方體面上與不在面上分類，可以找出哪些不同的直線？（學(xué)生們積極思考，經(jīng)大家討論后畫出以下10條直線，圖7、圖8）師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)僬页銎渌闹本€與直線的垂面。（學(xué)生們繼續(xù)尋找其他情形）生11：A1F面 FGC。（圖9）生12：不對(duì)，因?yàn)锳1F與FG不垂直師：那么應(yīng)該如何找直線 A1F的垂面呢？生12：可以先在平面ABB1A1上找 AGA1F，再在平面 ABCD上找AF的

6、垂直線。因?yàn)锳1F在平面AC上的射影是AB，又ADAB，因此ADA1F，由相交直線AG與AD確定的平面 AGLD與 A1F垂直。（圖10）師：方法簡(jiǎn)捷，理由充足，從上面的分析知道，要作直線的垂面，關(guān)鍵是要找出兩條與已知直線垂直的相交直線，運(yùn)用三垂線定理及逆定理，可將空間兩直線垂直的問題轉(zhuǎn)化為平面上兩直線垂直的問題，這是學(xué)習(xí)立體幾何的重要思想方法，即將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題解決。圖12圖11（學(xué)生們繼續(xù)研究，又畫出了幾種不同的圖形，圖11，圖12）師：師生同學(xué)在畫圖時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)同一條直線，畫出了不同的垂面，如圖4與圖6都是正方體對(duì)角線BD1的垂面，請(qǐng)大家觀察，平面ACB1與面FMG有什么關(guān)系？

7、生：平行.師：那么正方體對(duì)角線BD1的垂面還有哪些呢？（學(xué)生們繼續(xù)畫圖，很快畫出了圖13）生13：我覺得中間似乎還應(yīng)有一個(gè)平面，過HK作它們的平行平面，但不知怎么做？師：你的直覺很準(zhǔn)確，大家可以對(duì)這些問題繼續(xù)研究。師：下面你們一起對(duì)找直線與找與直線垂直的平面這一問題做小結(jié)，解決這類問題的思路：（板書）找直線找與已知直線垂直的兩條相交直線由兩相交直線作平面找平行平面。師：除了以上問題，還有什么問題呢？大家課后繼續(xù)研究。三、教學(xué)反思1、高三復(fù)習(xí) 讓學(xué)生思考更多的問題課雖然下了，但我常常為這節(jié)課堂上熱烈的氣氛、學(xué)生渴求知識(shí)的目光、深思的表情而激動(dòng)，這節(jié)復(fù)習(xí)課的功效有點(diǎn)出乎意料，課堂上，學(xué)生主動(dòng)參與，

8、全班每個(gè)學(xué)生都在答卷上畫出了多個(gè)圖形，最少的也有45個(gè)，雖然有些不對(duì)、有些重復(fù)，但學(xué)生自始至終都在積極地參與著、思考著、想像著，作為教師，真為學(xué)生能如此投入而感到欣慰！2、情境激趣 讓學(xué)生積動(dòng)主動(dòng)參與學(xué)生對(duì)“情”與提出問題”表現(xiàn)出極大的興趣積極的參與，課后一段時(shí)間，學(xué)生們還在繼續(xù)探討、研究，比如對(duì)課堂上提出的 “由這20個(gè)可以確定哪些不同的直線”這一問題，課堂上是該直線在正方體的面上與不在正方體的面上，進(jìn)行分為在尋找的。課后，有學(xué)生又提出了按從頂上噗出發(fā)與從棱的中點(diǎn)出發(fā)來分類尋找（圖14，圖15）。這樣的情形， 讓我感覺到學(xué)生真正成了學(xué)習(xí)的主體，教師起到了主導(dǎo)作用。3、反例證明 培養(yǎng)學(xué)生直覺判

9、斷能力這節(jié)課，對(duì)空間直線與平面垂直關(guān)系的復(fù)習(xí)，有了橫向、縱向的聯(lián)系、深入。教學(xué)中出現(xiàn)的反例證明，起到了事半功倍的效果。“看證明、想判定”，這是學(xué)生做證明題的思路，平時(shí)所做的題目往往是不需要為判斷是否垂直，只需要找出證明垂直的條件。這節(jié)課中，在培養(yǎng)學(xué)生的空間想像能力和直覺思維的同時(shí)，還幫助學(xué)生養(yǎng)成自問和反思的習(xí)慣，必要的反思正是培養(yǎng)和發(fā)展猜想與直覺能力的重要環(huán)節(jié)。正覺猜想是不正確，最好的方法則是尋找反例。反例證明問題培養(yǎng)了學(xué)生的能力，也可以說是學(xué)生高素質(zhì)的一種表現(xiàn)。教學(xué)中，我有意挑選了學(xué)生的一個(gè)錯(cuò)誤圖形（圖5），進(jìn)行“糾錯(cuò)教學(xué)”。在評(píng)判過程中 ，學(xué)生找出來“JH與IH不垂直，因此IJ與平面IHF

10、P不垂直”，這是聰明的學(xué)生。根據(jù)線面垂直的定義知：若直線垂直于平面，則直線垂直于平面上的每一條直線，其逆否命題為：若直線與平面上的一條線不垂直，則直線與平面不垂直。學(xué)生能從另一方面來運(yùn)用定義，發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)一步解決問題，這種“糾錯(cuò)教學(xué)”是成功的，這也是教師在課堂教學(xué)中要注意捕捉的亮點(diǎn)。4、教學(xué)反思 促進(jìn)教師素質(zhì)不斷提高對(duì)圖5中的平面，學(xué)生判斷出了IJ與平面IHFP不垂直，并在平面A1C1上找出了 A1C1或 HK與平面IHFP垂直時(shí)，我覺得課堂上在處理時(shí)顯得有些呆板。當(dāng)時(shí)，可順著學(xué)生的思路，適當(dāng)展開，形成系列問題。如（1）在平面A1B1C1D1上如何做平面IHFP的垂線 ，可作哪幾條？（2）在哪些平面上可以找出平面IHFP的第一線？（3）平面IHFP的垂線有多少條？這里沒有適當(dāng)展開，錯(cuò)過了一次訓(xùn)練學(xué)生觀察線線垂直、線線平行、面面平行的好機(jī)會(huì)，在“情境與問題解決”教學(xué)中，學(xué)生產(chǎn)生的許多意料不到的想法和問題，往往會(huì)偏離了教師課前的設(shè)計(jì)，這時(shí)，教師更需要采用賞識(shí)教育，保護(hù)學(xué)生的積極性與豐富的想像力，對(duì)意外情形還需借境發(fā)揮，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)合理的猜想，并使他們的直覺不斷得到發(fā)展和趨向精致，這就對(duì)教師的素質(zhì)有更高的要求，只要教師的高素質(zhì)，才能保證素質(zhì)教育的實(shí)施。5、同伴互助 把教學(xué)思考引向深入對(duì)正方體這一數(shù)學(xué)情境與提出問題的學(xué)習(xí)，師生均覺得意猶未盡，在這情境下這有許多問題在吸引著大家，