1、第二章 一元函數微分學內容及基本要求：1理解導數和微分的概念，理解導數的幾何意義及函數的可導性與連續性之間的關系。2會用導數描一些物理量。3掌握導數的四則運行法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數雙曲函數的公式，了解微分四則運算法則和一階微分形式不變法。4了解高階導數的概念。5掌握初等函數一階、二階導數的求法。6會求隱函數和參數式所確定的函數的一階、二階導數，會求反函數的導數。學習重點：導數和微分概念；導數的四則運行法則和復合函數的求導法，基本初等函數、雙曲函數的公式；初等函數一階、二階導數的求法；隱函數和參數式所確定的函數的一階、二階導數。學習難點：復合函數的求導法；隱函數和參數式所確定的

2、函數的導數。第一節 導數的概念一. 導數的定義1.問題的引入（以物理學中的速度問題為例，引入導數的定義）自由落體運動的瞬時速度已知作自由落體運動的物體的位移與其時間的函數關系是，求該物體在時刻的瞬時速度 （以均勻代替非均勻）首先從物體的內的平均速度入手； 令物體移動時間從變化到； 在這個時間段物體的位移為； 物體在這個時間段內的平均速度為.（以極限為手段）然后得到瞬時速度. 易見愈小，時間內的平均速度的值就愈接近時刻的速度； 因此，當時，的極限自然定義為物體在時刻的瞬時速度，即定義 .由此可見，物體在時刻的瞬時速度是函數的增量與自變量增量比值當的極限. 推廣到一般，可以歸結為一個函數的增量與自

3、變量的增量之比，當趨于零時的極限這種類型的極限我們稱其為導數2.導數的定義(1) 函數在一點處導數定義 設函數在內有定義，當自變量在處取得增量(點仍在該鄰域內)時；相應地函數取得增量；如果與之比當時的極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數，記為，即 . 也可記為 , 或 也稱函數增量與自變量增量之比是函數在以及為端點的區間上的平均變化率，導數是函數在點處的變化率，即瞬時變化率(2) 函數在一點處導數導函數將處導數定義中的換成，如果與之比當時的極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數，記為，即 .顯然，當 在某區間內變化時，是的函數. 因此稱之為導函數.

4、 導函數的記號還有, 或 (3)處導數與導函數的關系函數在點的導數是導函數在點處的函數值即 .通常，導函數簡稱為導數例1 求函數的導數以及在點的導數.3.不可導的情形由可導定義，如果的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數在點處不可導（1）=； （2）無穩定的變化趨勢.例2 （1）求函數在處的導數.（2）求函數在處的導數.4. 導數定義的不同形式（1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例3 （1）已知存在，求.（2）已知，在處連續，求.（3） 計算極限.二. 導數的幾何意義1. 導數的幾何意義設曲線的方程為 , 是曲線上的一點，求曲線在點處的切線方程（1）在曲線上另取一點，如圖3所

5、示，連接,兩點，得割線割線對軸的傾角為，其斜率為 ； 圖3（2）當時，點沿曲線趨向點，割線的極限位置為曲線在點處的切線此時 =，其中是切線關于軸的傾角從而曲線在點處的切線斜率為=由此可知，函數在點處的導數在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即其中是切線的傾角因此曲線在點處的切線方程為；當時，法線方程為特殊地，當時，曲線在點的切線平行于軸當時，曲線在點的切線垂直于軸此時，切線的傾角為例4 求在點處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程 （答案 切線的斜率為，切線方程為；法線的斜率為 ，法線方程為 ）三.可導與連續的關系1.可導必連續設函數在點可導，即存在，由極限與無窮小量的關系知，其中

6、是時的無窮小量上式兩端同乘以，得 由此可見，當時， 即函數在點連續 2. 連續未必可導例如，函數在點處連續（圖1），但由例題2（1）知，在點處不可導 同樣，函數在點處連續（圖2），但由例題2（2），中，在點處不可導. 由上面的討論可知，函數連續是函數可導的必要條件，但不是充分條件，所以如果函數在某點不連續，則函數在該點必不可導 圖1 圖22.函數在某點可導與該點存在切線的關系（1）可導必有切線；因為函數在某點可導，則在該點切線的斜率存在，自然存在切線. （2）有切線未必可導.例如，曲線在點處有垂直于軸的切線（圖2），但它在不可導四.科學技術中的導數問題舉例變化率 當因變量隨自變量均勻變化時，是

7、的線性函數，改變單位長度時的改變量，即總是一個常數，它反映了隨變化的快慢程度，叫做變化率。求函數在點處變化率的方法可以歸納為以下兩步：（1） 局部均勻化求近似值；（2） 利用求極限得精確值設作變速直線運動的質點的運動方程為，質點在0時刻的瞬時速度是在點的導數值例5 物體做直線運動的方程為，求（1）物體在秒時的速度；（2）物體運動的速度函數第二節 求導的基本法則一.函數和、差、積、商的求導法則設在點處有導數,則法則1:兩個可導函數之和(差)的導數等于這兩個函數的導數之和(差),即證明 設,則所以 例1 求的導數.解 例2 設,求及.解 ,(注意:),所以注意: =0.法則2:兩個可導函數乘積的導

8、數等于第一個因子的導數與第二個因子的乘積加上第一個因子與第二個因子的導數的乘積.即推論1:推論2:法則2可推廣到有限個函數乘積的導數計算.如例3 求的導數.解 例4 設,求.解 .例5 設為連續函數,求.解 錯誤解法:所以 =.錯誤的原因是:不一定可導.法則3:兩個可導函數之商的導數,等于分子的導數與分母的乘積減去分母的導數與分子的乘積,再除以分母的平方.即. 例5 設,求.解 .例6 設,求.解 .例7 設,求.解 .同理可得:同理可得:.二. 反函數的導數定理（反函數的求導法則）設在處有不等于零的導數,且其反函數在相應點處連續,則存在,且,或.即反函數的導數等于直接函數的導數的倒數.證明

9、的反函數.當的自變量取得增量時,因變量取得相應的增量.當時,必有.事實上,如果則,但是一一對應的,故,則與的假設矛盾.所以當時,有,又在相應點處連續,所以時,.由,得.例8 設,求.解 設為直接函數,則為其反函數.在內單調,可導,且.在對應的區間內有.又,所以.同理可得:.例9 設,求.解 設為直接函數,則為其反函數.在內單調,可導,且.在對應的區間內有.又,所以.同理可得:.三. 復合函數的求導定理（復合函數求導法則）設即是的一個復合函數:.如果在處有導數在對應點處有導數,則在處的導數存在,且或.如果,則的導數為.例10 設,求.解 設,則.例11 求的導數.解 設,則.例12 設,求.解

10、設,則.例13 設,求.解 ,.例14 設,求.解 .例15 求的導數.解 .例16 設,求.解 .例17 設,求.解 例18 設,求.解 ,則.所以.例19 設,求.解 設,則.所以.四. 高階導數一階導數:.二階導數: .三階導數:.四階導數:.階導數:.1. 二階導數例20 設,求.解 .例21 證明函數滿足關系式.證明 ,所以.例22 設二階可導,求.解 .例23 設,求.解 ,所以 .2. 高階導數例24 設,求.解 例25 設,求.解 同理一般地,有如求的階導數,由于,則例26 設,求.解 .如求的階導數.例27 設,求.解 .第三節 隱函數與由參數方程所表示的函數的求導一. 隱函

11、數及其求導法顯函數:等號左邊是因變量,右邊是含有自變量的代數式.隱函數:非顯函數,形如.如:為顯函數,而為隱函數.將隱函數化為顯函數稱為隱函數的顯化,但不是所有隱函數都可以顯化.如:就不可以顯化.不用顯化直接由方程求隱函數的導數稱為隱函數的求導.例1 由方程確定是的函數,求.解 方程兩邊對求導,有所以 .例2 由確定是的函數,求其曲線上點處的切線方程.解 方程兩邊對求導,有所以.所以切線方程為,即 .例3 設,其中為可微函數,求.解 .二. 由參數方程所表示的函數的求導設參數方程為確定,則.即.例4 設求.解 .例5 設其中為二階可導,求.解 則.例6 證明曲線上任一點的切線與軸的交點至切點的

12、距離為常數.證明 設切點坐標為,對應的參數為.由,得,所以切線方程為.切線與軸的交點為.所以.三、相關變化率變量與都隨另一變量而變化，即，而與之間又有相互依賴關系：，研究兩個相關變化率與之間關系的問題稱為相關變化率問題。解決這類相關變化率問題可采用以下步驟：1. 建立變量與之間的關系式；2. 將中的與均看成是的函數，利用復合函數鏈導法則，等式兩端分別對求導；3. 從求導后的關系式中解出所要求的變化率。第四節 微分一.微分的概念1.定義 設在內有定義,.如果函數的增量可表示成則稱在處可微的,稱為在處相應于自變量的增量的微分,記作,即.2.函數可微的條件定理 在處可微在處可導,且即.證明 在處可微

13、,則,所以得在處可導,且在處可導,則,所以 ,故,而所以 ,即在處可微,且例1 求函數當時的微分.解 ,所以當時的微分為3.函數的微分函數在任意點處的微分,稱為函數的微分,記作或,即.當時,稱為自變量的微分,故函數的微分又可記作.由此有從而導數又稱為”微商”.例2 設,求.解 ,所以.二.微分的幾何意義1.微分在近似計算中的理論基礎當在處可導時,則.當時,有,即 ,所以稱為的線性主部,且所以得由此有,當時,.2.微分的幾何意義MNT） P 三. 微分的運算.1.基本初等函數的微分公式.2.函數和,差,積,商的微分.3.復合函數的微分法則微分形式不變性,則.又所以.由此,不論為自變量還是中間變量

14、,微分形式不變,稱為微分形不變性.例3 設,求.解 例4 設,求及.解 ,兩邊微分,有所以例5 由確定是的函數, 求及.解 ,得,即,解得且四.微分在近似計算中的應用當時,有.即或令,則.運用此近似公式計算函數的近似值時,要求(1)很小;(2)易于計算.由以上兩點,關鍵是點的選取.特別地,如果取,則.由此有工程上的幾個近似公式(類似于時的等價無窮小):(1)(2)(3)例6 求的近似值.解 .取,則例7 求的近似值.解 第五節 平面曲線的曲率一. 曲率的概念曲率是用來反映曲線彎曲程度的量.比值,即單位弧度切線轉過的角度稱為弧段的平均曲率,記作,即=.而極限稱為曲線在點處的曲率,記為,即當存在時

15、,則.下面給出曲率的計算公式.設曲線方程為,且具有二階導數.由一階導數的幾何意義知兩邊微分,得,所以.又由弧微分公式所以有,故曲率的計算公式為.如果曲線的參數方程為則曲率的計算公式為.例1 試問拋物線上哪一點處的曲率最大?解 .所以曲率.當,即時,曲率最大,此時對應著拋物線的頂點,即拋物線在頂點處的曲率最大.二. 曲率的計算 例2解：顯然, 例3 證：如圖在緩沖段上,實際要求三. 曲率半徑與曲率中心定義：注意:1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數. 2.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲

16、率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).例4解：如圖,受力分析(視飛行員在點o作勻速圓周運動, （為O點處拋物線軌道的曲率半徑）得曲率為曲率半徑為即:飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.第六節 微分學中值定理一. Rolle定理如果(1)在上連續;(2)在內可導;(3)則證明 因為在上連續,則在上必取得最大值和最小值.(1),此時所以從而可取內的任一點作為,有.(2).不妨設,則必存在.往證.由的存在,可得存在.對于和.顯然 .當時, ,從而,即.（1）當時, ,從而,即.（2）由(1)與(2)得即.注意 Rolle定理主要應用在證明的導函數有零點.例1 設在上連續,

17、在內可導,且.證明在內至少有一點.分析: 即要證明的導函數在內有根.證明 令,顯然在上連續, 在內可導,且從而在上滿足Rolle定理的條件,故存在,即所以.例2 設,證明函數在內必有一根.證明 令,顯然在上滿足Rolle定理的條件,且.由Rolle定理得,使得即所以在內必有一根.例3 設在上連續,在內可導,且.證明方程在內恰有一根.證明 (1)先證在內有一根.令,則在上連續,且,由零點定理,即在內有一根.(2)往證在內只有一根.反證法:設在內有兩個根,則在上滿足Rolle定理的條件,所以,使得但,故假設不成立.由(1)與(2)知, 在內恰有一根.二.Langrage中值定理(也稱有限增量定理或

18、微分中值定理)如果函數(1)在上連續;(2)在內可導;則 (*)注意 (1)當時,公式(*)仍成立.公式(*)稱為Langrage中值公式.(2)公式(*)的等價形式:令,則 在與之間.從而,所以 (*)或 (*)即由Langrage中值公式,可得函數增量的精確表達式,從而該定理又稱為有限增量定理,有時也稱為微分中值定理.推論 如果在區間上的導數恒為零,則在區間上是一個常數.證明 ,不妨設,顯然在上滿足Langrage中值定理的條件,故存在,使得 又,所以即.由的任意性知:注意 此處的區間可以是任何類型的區間.例4 證明當時,.證明 (分析 .令,則在區間上滿足Langrage中值定理的條件,

19、故存在,使得即, 又,所以.注意 從例4的證明可以看出用Langrage中值定理證明不等式的基本思路是:(1)構造輔助函數:這可以從待證不等式分析出輔助函數的構造;(2)由Langrage中值定理, 在與之間估計,從而得待證不等式.例5 設在內可導,且與存在,證明.證明 在上滿足Langrage中值定理的條件,故有, ,所以.三.Cauchy中值定理Cauchy中值定理 如果函數與在在連續,在內可導.且在內不為零,則存在,使得.例6 設與是可導函數,且當時,證明當時,有.證明 (分析:由知顯然與滿足Cauchy中值定理的條件,所以存在,有, .即.又,所以,且,故.注意 從例6可以看出,在證明

20、關于兩個函數之間的不等式或關系時,往往用Cauchy中值定理.第七節 羅必塔法則羅必塔法則主要用于解決未定式(型,型)的極限.一.(型),其中.定理 設(1) ;(2)在內與都存在,且;(3)存在(或為無窮大).則有.證明 因為當時,的極限與和無關,不妨設=0,所以與在內連續,任意,則與在以為端點的區間上滿足Cauchy中值定理的條件,所以, 在與之間.即,從而.注意 (1)定理表明:如果未定式型滿足羅必塔法則的條件,則未定式的極限可用對分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限.如果還是型,可再用一次羅必塔法則,直至不是未定式型為止.即.(2) 羅必塔法則對時的未定式型也適用.對或的未定式型

21、也適用.即.型型不是型.型型不是型(3)如果不是未定式,則不能用羅必塔法則.例1 例2 例3 注意(4) 在運用羅必塔法則的過程中,如果出現極限不為零的因子,可將其因子的極限先計算;如果出現極限為零的因子.可用其等價無窮小來代替,以簡化求極限的計算.例4 例5 設,則例6 (為正整數,由以上兩例得當時,.二.其他未定式1.型.型型型即=或 .例7 型例8 或原式2.型先通分(或作變換),化成分式后為未定式“”型,即.例9 .例10 3.冪指函數的未定式:.未定式,求極限有兩種方法(類似于求冪指函數的導數):方法一:設,兩邊取對數,有取極限,有則.方法二:因為,所以.例11 求, (型).解 方

22、法一:令,兩邊取對數,有所以,故方法二: 例12 求型. 方法一:令,兩邊取對數,有所以.方法二: .例13 求,.型.解 令,兩邊取對數,得,所以.注意 特別地,對于型,有下面的簡單的計算方法:設,則.如上例,有.最后指出,羅必塔法則在求未定式極限時也不是萬能的.如例15 求.解 .如果用羅必塔法則,有不存在,原因是不存在,不滿足羅必塔法則的條件.第八節 函數性態的研究一. 函數單調性的判別法1. 定理 設在上連續,在內可導,且(1)若在內,則在上單調增加;(2) 若在內,則在上單調減少.證明 任取.不妨設.在上滿足Lanrange中值定理的條件,則存在,使得(1)如果,則,所以,即在上單調

23、增加.(2)如果,則,所以,即在上單調減少.注意 (1)如果將定理中的閉區間換成其他任何區間,結論也成立;(2)如果在其定義區間上連續,除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續.用的點(稱為函數的駐點)和導數不存在的點劃分定義區間為一些小區間,則在這些小區間內符號恒定,從而在這些小區間上分別單調增加(或減少).(3)由(1)和(2)得求的單調區間的基本步驟是:.求的定義域;(如果給定所討論的范圍,此步省 );.求的點和不存在的點;.將2.中的點插入1.中得一些小區間,在這些小區間上分別討論的符號,從而確定的單調區間.例1 求下列函數的單調區間:(1) (2).解(1),令,得,在上無不可導點.

24、列表討論:所以在上,在上.(2) 的定義域為.,令得,無不可導點.列表討論:12+0-0+所以在上,在上.例2 討論的單調性.解 ,所以在上.注意4 一般地,如果在某區間內有限或無限個點(無限個點不構成一個區間)處,而其余各點處恒為正(或負),則在該區間上是單調增加(或減少)的.2. 單調性的應用.證明不等式基本思路是:令如果則,從而同理可得的證法.令且.證例3 證明不等式(1)當時,;證明 令所以,即.(2)當時,令所以,得,故即.證明方程在某區間上只有一根.思路是:如果在上連續,在內可導.若在內單調有根,則只有一根.例3 證明方程只有一根.二. 函數的極值1.極值的概念定義 設在內有定義,

25、.如果存在,有 (或)則稱為的一個極小值(或極大值).函數的極大值與極小值統稱為函數的極值,使函數取得極值的點稱為函數的極值點.注意 (1)函數的極值是局部性的概念,而不是整體性的概念,即要區別函數的極值與最值.極大值不一定是最大值;極小值也不一定是最小值.(2)函數的極值點是區間的內點(即在區間的內部),從而區間的端點必不是極值點.2.函數取得極值的必要條件定理 設在處可導,且在處取到極值,則必有.證明 不妨設是的極小值.由導數的定義,有.當時,所以,故同理可得所以.注意(1)使的點稱為的駐點.(2)由極值的必要條件知:函數的極值點必包含在駐點和不可導點內,即函數的可能極值點為:1.駐點;2

26、.不可導點.但函數的駐點和不可導點不一定是函數的極值點.下面介紹怎樣判別函數的可能極值點為函數的極值點.3.函數極值點的判別準則定理(第一充分條件)設在內連續,在內可導,且是的駐點或不可導點.(1) 如果時,;當時, ,則在處取得極大值;(2) 如果時, ;當時, ,則在處取得極小值;(3) 如果當時,恒為正(或負),則在處無極值.注意(1) 第一充分條件實質上是用函數的單調性判斷函數的極值.(2)由函數極值的第一充分條件,可得判斷函數極值的基本步驟:.求的定義域(如果給定的范圍,此步省略); .求.求的駐點和不可導點;.將3.中的點插入1.,分成一些小區間,列表討論在每個小區間上的符號,從而

27、確定函數的極值點及極值(是極大值還是極小值).例4 求的極值.解 (1)函數的定義域為:(2) (3)令得駐點:;無不可導點.(4) 列表討論:-極大值極小值由表可知, 在處有極大值;在處有極小值.例5 求的極值.解 函數的定義域為,無駐點,不可導點為.列表討論:+不存在-極大值有表可知, 在處有極大值.下面用二階導數判斷在駐點處是否有極大值或極小值.定理(第二充分條件)設在處有二階導數,且為駐點,則(1) 當時, 在處有極大值;(2) 當時, 在處有極小值;(3) 當時,不能判斷.改用第一充分條件.注意(1)第一充分條件與第二充分條件的應用范圍:第一處分條件可用來判斷1.駐點,2.不可導點,

28、是否為極值點;第二充分條件只能用來判斷駐點是否為極大(小)值點.(2)如果只判斷某一駐點為極值點,一般用第二充分條件.例6 如在例1中:是駐點,而.因為所以為極大值點, 在處有極大值.因為所以在處有極小值.三. 最值問題1.閉區間上連續函數的最值的求法假設在上連續,在內可導,且至多在有限個點處導數為零.下面討論求在上的最值.(1) 在上必有最大值與最小值;(2)如果在內取到最大值(或最小值),則最大(小)值必是的極大(小)值,從而最值點必是的駐點.由以上分析可得求的最值方法為:(1) 求得的 點:;(2) 最大值最小值例7 求在上的最大值與最小值.解 ,令,所以駐點.因為,所以,.在求函數的最

29、值時,特別值域的一種情形是在區間上只有一個駐點的情況.如果該駐點為極大值點,則為的最大值;如果駐點為極小值點, 則為的最小值.(此時判斷該駐點為極大(小)值點,一般用第二充分條件).例8 求函數在何處取到最大值.解 ,令,得,只有唯一駐點,而,因為,所以函數在處取得最大值.2.實際問題的最值在實際問題中,由實踐問題的性質可判斷有最大(小)值,且在定義區間內部取得.如果在定義區間內部只有一個駐點,則必是最大(小)值.3.最值(或極值)的應用證明不等式例9 設,且,證明.分析 只須證.分析 由,得如果令,為的唯一駐點,又為極小值,得為最小值.證明 連續,由,得,所以,故.令,且.,且,所以為的駐點.所以為的極小值點,且,從而只有一個駐點,故為的最小值.所以即.四. 曲線的凹凸性與拐點1. 曲線的凹凸性與拐點定義 設在區間上連續,有,(或)則稱在區間上的圖形是(上)凸(凹)的,或簡稱凸弧(或凹弧).我們可用二階導數的符號來判斷曲線的凹凸性.定理 設在上連續,在內可導,則(1)如果有,則曲線在上是凹的;(2)