1、第四章 最小二乘法與組合測(cè)量1 概述最小二乘法是用于數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)中的一個(gè)很得力的數(shù)學(xué)工具。 對(duì)于從 事精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們來說， 應(yīng)用最小乘法來解決一些實(shí)際問題， 仍是目前必不 可少的手段。 例如，取重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為測(cè)量的結(jié)果， 就是依據(jù)了 使殘差的平方和為最小的原則， 又如，在本章將要用最小二乘法來解決一類組合 測(cè)量的問題。 另外，常遇到用實(shí)驗(yàn)方法來擬合經(jīng)驗(yàn)公式， 這是后面一章回歸分析 方法的內(nèi)容，它也是以最小二乘法原理為基礎(chǔ)。最小二乘法的發(fā)展已經(jīng)經(jīng)歷了 200 多年的歷史，它最先起源于天文和大地測(cè) 量的需要， 其后在許多科學(xué)領(lǐng)域里獲得了廣泛應(yīng)用， 特別是近代矩陣?yán)碚撆c電子

2、計(jì)算機(jī)相結(jié)合，使最小二乘法不斷地發(fā)展而久盛不衰。本章只介紹經(jīng)典的最小二乘法及其在組合測(cè)量中的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用， 一些深 入的內(nèi)容可參閱專門的書籍和文獻(xiàn)。2 最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋求最可信賴值的問題。 對(duì)某 量 x測(cè)量一組數(shù)據(jù) x1,x2, ,xn ，假設(shè)數(shù)據(jù)中不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布，它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差依次為： 1, 2, n記最可信賴值為 x ，相應(yīng)的殘差 vi xi x 。測(cè)值落入 (xi ,xi dx)的概率。Pi2i 2 exp( 2vii2)dx根據(jù)概率乘法定理，測(cè)量 x1,x2, ,xn 同時(shí)出現(xiàn)的概率為1 1 vPPi1 n e

3、xp 1 ( i )2 (dx)nii ( 2 )n2 i i顯然，最可信賴值應(yīng)使出現(xiàn)的概率 P 為最大，即使上式中頁指數(shù)中的因子達(dá)最小，即2vii2 Mini i2權(quán)因子： wio2 即權(quán)因子 wi 12 ， 則 ii22 wvvwiv i Min再用微分法，得最可信賴值 xnwi xi即加權(quán)算術(shù)平均值i1xnwii1這里為了與概率符號(hào)區(qū)別，以 i 表示權(quán)因子。特別是等權(quán)測(cè)量條件下，有：vvvi2Min以上最可信賴值是在殘差平方和或加權(quán)殘差平方和為最小的意義下求得的， 稱之為最小二乘法原理。它是以最小二乘方而得名。為從一組測(cè)量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，還可使用其它原理 例如(1) 最小絕對(duì)殘差和法

4、：vi Min(2) 最小最大殘差法： max vi Min(3) 最小廣義權(quán)差法： maxvi min vi Min以上方法隨著電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用才逐漸引起注意，但最小二乘法便于解析，至今仍用得最廣泛 3. 線性參數(shù)最小二乘法 先舉一個(gè)實(shí)際遇到的測(cè)量問題，為精密測(cè)定三個(gè)電容值 : x1,x2,x3 采用的測(cè) 量方案是，分別等權(quán)、獨(dú)立測(cè)得 x1,x2,x1 x3,x2 x3, 列出待解的數(shù)學(xué)模型。x1=0.3x2 =-0.4x1 + x3 =0.5x2 + x3 =-0.3 這是一個(gè)超定方程組，即方程個(gè)數(shù)多于待求量個(gè)數(shù)，不存在唯一的確定解， 事實(shí)上，考慮到測(cè)量有誤差，記它們的測(cè)量誤差分別為 v1

5、,v2,v3,v4 ，按最小二乘 法原理vi2 Min 分別對(duì) x1,x2 ,x3 求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零， 得如下的確定性方程 組。( x1 -0.3)+( x1+x3 -0.5)=0( x2 +0.4)+( x2 +x3 +0.3)=0( x1+x3 -0.5)+( x2 +x3 +0.3)=0可求出唯一解 x1=0.325, x2 =-0.425, x3 =0.150 這組解稱之為原超定方程組 的最小二乘解。以下，一般地討論線性參數(shù)測(cè)量方程組的最小二乘解及其精度估計(jì)。一、正規(guī)方程組設(shè)線性測(cè)量方程組的一般形式為：yiai1x1 ai2 x2ait xt(i 1,2, ,n)y1 a11 x

6、1a12x2a1t xty 2 a 21 x1a22x2a2t xtyn an1x1 an2x2ant xt式中，有 n個(gè)直接測(cè)得值 y1,y2, ,yn，t 個(gè)待求量 x1,x2, , xt 。nt, 各 yi等權(quán)，無系統(tǒng)誤差和粗大誤差固 yi 含有測(cè)量誤差， 每個(gè)測(cè)量方程都不嚴(yán)格成立， 故有相應(yīng)的測(cè)量殘差方程tvi yiaij xj (i 1,2, , n)j1yi 實(shí)測(cè)值x j 待估計(jì)量，最佳估計(jì)值，最可信賴值taij x j 最可信賴的“ y”值。j1按最小二乘法原理，待求的 x j 應(yīng)滿足n n tvvvi2 yiaij xj 2 Mini1 i1 j 1上式分別對(duì) xj 求偏導(dǎo)數(shù)，

7、且令其等于零，經(jīng)推導(dǎo)得a1a1x1a1a2 x2a1at xta1 ya2a1x1a2a2x2a2 at xta2 yata1x1ata2x2atat xtat y式中，aj， y分別為如下列向量aja1 j a2 jyy1y2an jynalak和aj y分別為如下兩列向量的內(nèi)積：al ak =a1l a1k a2la2kanl ankaj y=a1j y1 a2j y2anj yn正規(guī)方程組有如下特點(diǎn)：（1）主對(duì)角線系數(shù)是測(cè)量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。（2）其它系數(shù)關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱3）方程個(gè)數(shù)等于待求量個(gè)數(shù)，有唯一解由此可見，線性測(cè)量方程組的最小二乘解歸結(jié)為對(duì)線性正規(guī)方程組的求解。

8、為了便于進(jìn)一步討論問題，下面借助矩陣工具給出正規(guī)方程組的矩陣形式。記列向量Yyy1y2Xx1x2v1L=ll122Vv2ynxtvnln和 n t 階矩陣a11a12a1tAa21a22a2 tan1an 2ant則測(cè)量方程組可記為：AX = Y般意義下的方程組測(cè)量殘差方程組記為當(dāng)估計(jì)出的 xj 已經(jīng)是最可信賴的值，則 AX 是 yi 的最佳結(jié)果最小二乘原理記為(L- AX)T(L- AX) Min利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有(V TV ) 2 V V xx2( LxT(XTxAT)(L- AX)xx2 AT ( L - AX )2ATL- 2ATAX令 （V TV ） 0 ，得正規(guī)方程組的矩陣形

9、式。 xAT AX = AL展開系數(shù)矩陣 AT A和列向量 ATL ，可得代數(shù)形式的正規(guī)方程組。上述和矩陣的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，因此，我們來分析“矩陣最小二乘法”、矩陣最小二乘法1. 矩陣的導(dǎo)數(shù)設(shè)n t 階矩陣a11a12a1tAia21a22a2tani an2ant(aij ) (A1A2 At)n 階列向量（ n+1 階矩陣） V 和 t 階列向量 Xv1x1Vv2Xx2vnxtV 與 X 的轉(zhuǎn)置（行向量）記為 V T 與 X T .關(guān)于向量 X 的標(biāo)量函數(shù)。( X) (x1x2 xt)定義如下幾個(gè)導(dǎo)數(shù)（1）矩陣對(duì)標(biāo)量 x 的導(dǎo)數(shù)矩陣內(nèi)A元素aij是x的函數(shù)，對(duì)矩陣 AX的導(dǎo)數(shù)，定義為各元素對(duì) x

10、的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)成新的導(dǎo)數(shù)矩陣。若 aij 是變量 x 的函數(shù)，則定義dAdaijdx ( dx )(E-1)（2）標(biāo)量函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù) ，對(duì)列向量 X 的導(dǎo)數(shù)，等于標(biāo)量函數(shù)xi（i 1 t）的導(dǎo)數(shù)組成的列向量（行向量的轉(zhuǎn)置）對(duì)向量 X 的組成元素yx ( xy xyxy)Txx1 x2xt(E-2)標(biāo)量函數(shù) ，對(duì)行向量 XT 的導(dǎo)數(shù)，等于標(biāo)量函數(shù)對(duì)向量 X 的組成元素xi（i 1t） 的導(dǎo)數(shù)組成的行向量yxT( y yyx1 x2xt) ( yx)Tx(E-3)（3）行（列）向量對(duì)列（行）向量的導(dǎo)數(shù)V T （v1v2 vn）行向量V T對(duì)列向量 X的導(dǎo)數(shù)等于行向量各組成元素，對(duì)列向量各組成

11、元素分別求得Vv1T(Txv2TxxvTn )Txvx11v1 xt v2 xtV T TXv2x1Xxvnvnxixt(E-5)v1x2vnx1vi v2xxvnxvnx2(E-4)vn關(guān)于矩陣的導(dǎo)數(shù)有如下性質(zhì)：1）矩陣 A和B乘積對(duì)標(biāo)量 x 的導(dǎo)數(shù)d(AB) AdB dA Bdx dx dx(E-6)(E-7)(E-8)(VTV)x=2VTVx(E-9)(VXTTV) 2VTVXT(E-10)2）常數(shù)陣的導(dǎo)數(shù)為零矩陣。dA 0dx3）向量關(guān)于自身轉(zhuǎn)置向量的導(dǎo)數(shù)為單位方陣X T = dXX = dX T4）向量與向量轉(zhuǎn)置乘積的導(dǎo)數(shù)5）關(guān)于常數(shù)矩陣與向量乘積的導(dǎo)數(shù)T(X TA) A(E-11)

12、XT (ATX)= AT(E-12)XTT(VTAV)= 2 V AV XX(E-13)T (V T AV ) = 2V T A T(E-14)XX利用（E-1）、（E-4）、和（ E-5）三個(gè)定義式，容易證明式（ E-6）、（E-7）、E-8）、和（ E-11）、（E-11）成立。 以下證明式（ E-9）注意到式（ E-2）和式（ E-4）即，標(biāo)量對(duì)列向量求導(dǎo)x(x1 x2T ) xt(E-2)行向量對(duì)列向量求導(dǎo) VXv1 v2vn1 2Xn )(1XXx2x2(E-4)xtxt2v1 vx12vn vxnx1x1式( E-9) 左 ( vi2 )x2v1 vi2vn vnxtxtv1vnx

13、1x1v1vnv12 VT Vxxtxtvn類似地，可以證得式（ E-10）成立。 再證明式（ E-13）注意到V T AV 是關(guān)于 x的標(biāo)量函數(shù)，由式（ E-2）知，只需證明(VTAV ) 2 V T AVxixia11 v1 a12 v2a1n vn由于 VT (AxVi ) (v1v2 vn)xixixivann vinxian1 v1an2 v2xixiv1vna11v1a1nv1xian1 v1 vnaxixivnnnvnaxi( vi v2vx1 xiv1xiv1an1vnxivna11v1a1nv1xivn annvnxna11v1a1nv1n)an1vnannvnxiVT AV

14、xi所以式（ E-13）左 V AV +VxiT (AV) 2 VT AV 右xixi2. 正規(guī)方程設(shè)線性測(cè)量方程組與基殘差方程組分別為AX = YL - AX = V(E-15) (E-16)式中A為n t階常數(shù)矩陣，X 為t 階待求向量，L是已知的n階的測(cè)量向量， 注意 l1,l2, ln均是已測(cè)量所得），V 是 n階殘差向量。由最小二乘原理VTV = (L- AX)T(L- AX) Min(VTV ) 2 V VXX矩陣性質(zhì) (E-9) 式)2( L(X A )(L AX )XX注意到式( E-7)即常數(shù)陣的導(dǎo)數(shù)為零矩陣。LTX注意到式( E-11)即 (X TA) A，故X(X XA

15、) AT所以TT(VTV) 2AT(L - A)X2(ATL- AT AX)令(V TV ) 0得正規(guī)方程組的矩陣形式XATA X = ATL(E-18)當(dāng) AT A 滿秩的情形，可求出T 1 TX (ATA) 1ATL(E-19)般地，可從式(E-15)出發(fā)，用穩(wěn)定的數(shù)值解法，計(jì)算 A 的廣義逆陣 A 1得(E-20)要進(jìn)一步去研究此問題，可參閱有關(guān)近代矩陣分析及其數(shù)值方法的專著3待求量 X 的協(xié)方差矩陣已知測(cè)量向量 L 協(xié)方差矩陣DL E( L EL)( L EL)T =式中， Dl ii為lii 的方差：Dlij 為li 與l j的協(xié)的方差：Dl 11Dl12 Dl1nDl 21Dl 2

16、2 Dl 2nDl n1Dl n2 Dl nn22Dlii E(li E(li )2i2Dlijij i j這里，假設(shè) l1,l2, ,ln 為等精度、獨(dú)立測(cè)量的結(jié)果，有DL2I利用式( E-19)待求量 X的協(xié)方差E(X EX )(X EX)TT 1 T T 1 T T 1 T T 1 T T E( AT A) 1ATL E(ATA)1ATL)(ATA)1ATL E(ATA) 1ATL)TT 1 T T T 1 T T(ATA) 1(ATE(L- EL)(L- EL)T(ATA) 1ATTT 1 T T 1 T(ATA) 1ATDLA(AT A) 1)TT1 T T1(ATA) 1 AT D

17、LA( AT A) 1T1 T 2 T1=(ATA) 1AT 2IA(ATA) 1所以T 1 2DX (AT A) 1 2(E-21)4. 最小二乘法解的最佳性可以證明，在等精度、 獨(dú)立和無系統(tǒng)誤差的測(cè)量條件下， 最小二乘法的解具 有唯一性、無偏性、有效性和充分性。證明：1 . 唯一性因測(cè)量方程相互獨(dú)立，且 nt, 則 AT A滿秩，式（ E-18）有唯一解2 . 無偏性對(duì) X 的估計(jì)式（ E-19 ）求數(shù)學(xué)期望。E(ATA)-1ATY) (ATA) 1ATEY (ATA) 1ATAx x 3 . 有效性 設(shè)另有 X 的無偏估計(jì)X* = GY則有EX GE Y GAX X故 G A I又DX*

18、 D(GY) GGTDY GGT I 2 GGT 2而DX (AT A) 1 2引入單位向量0i10其中第 i 行為 1，其它為 0 Xi* 與 Xi 的方差分別為i*2iGGT iT 2i*2i (AT A) iT 2以下證 i* 2i2T T 1 Ti(GGT (AT A) 1) iTi (ATA) 1 (AT A) 1ATGT GA( AT A) 1 GGT ) iTi (AT A) 1AT G)( A( AT A) 1 GT) iTCC T 0其中 第 一等 式利 用 了 GA I ， C i ( AT A) 1AT G) 是一 常數(shù) ，故C CT C2 。最后得證 X 的方差最小，即

19、 X 的有效性成立。4 . 充分性y 取到了測(cè)量樣本 y1, y2, ,yn 中的所有信息，故按( E-18)式求得 x的估計(jì) 量，顯然也是充分的。正是由于最小二乘法的解具有最佳性， 所以，最小二乘法在精密測(cè)量的各個(gè) 領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。三、精度估計(jì)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可信賴 值，還要確定其可信賴程度，即估計(jì)其精度。具體內(nèi)容包含有兩方面：一是估計(jì) 直接測(cè)量結(jié)果 y1, y2, , yn 的精度；二是估計(jì)待求量 x1,x2, ,xt 的精度。1直接測(cè)量結(jié)果的精度估計(jì)對(duì) t 個(gè)未知量的線性測(cè)量方程組 AX Y 進(jìn)行 n 次獨(dú)立的等精度測(cè)量，得 l1,l2, ,l

20、n其殘余誤差 v1,v2, ,vn標(biāo)準(zhǔn)偏差 。如果 vi服從正態(tài)分布，那么vv 2服 從 2分布，其自由度 n-t ，有 2變量的數(shù)學(xué)期望 E vv/ 2 n t，以 S代 。即有令 t=1 ，由上式又導(dǎo)出了 Bessel 公式2待求量的精度估計(jì)按照誤差傳播的觀點(diǎn)，估計(jì)量x1,x2, ,xt 的精度取決于直接測(cè)量數(shù)據(jù)l1,l2, ,ln 的精度以及建立它們之間聯(lián)系的測(cè)量方程組。可求待求量的協(xié)方差（見二 3）DX(AT A) 1 2矩陣d11d12d1tT1d21d22d2t( AT A )dt1dt2dtt各元素 dij可由矩陣 ATA 求逆得，也可由下列各方程組分別解得。a1a1d 11 a

21、1a2d12a1atd1t 1a2a1d11 a2a2d12a2atd1t 0ata1d11 ata2d12atatd1t 0a1a1d 21 a1a2d22a1atd2t 1 a2a1d21 a2a2d22a2at d2t 0at a1d21 ata2d22atat d2t 0a1a1d t1 a1a2dt2a1at dtt 1(5-51)(5-52)a2a1dt1 a2a2dt 2a2at dtt 0ata1dt1 ata2dt2atat dtt 0是直接測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按S vv 估計(jì)nt待求量 xj 的方差22x2j d jj 2 (j 1,2, ,t)矩陣(AT A) 1中對(duì)角元

22、素 d jj就是誤差傳播系數(shù)。待求量 xi 與 xj 的相關(guān)系數(shù)。dijij (i, j 1,2, ,t)diid jj現(xiàn)在，可以解決本節(jié)開始提出的測(cè)量問題例 5-1 為精密測(cè)定 1 號(hào)、2 號(hào)和 3 號(hào)電容器的電容 x1, x2, x3 ，進(jìn)行了等權(quán)獨(dú) 立、無系統(tǒng)誤差的測(cè)量。測(cè)得 1號(hào)電容值 C1 =0.3 ，2 號(hào)電容值 C2=-0.4 ，1 號(hào)和 3 號(hào)并聯(lián)電容值 C3 =0.5 ， 2 號(hào)和 3 號(hào)并聯(lián)電容值 C4 =-0.3 。試用最小二乘法求x1, x2, x3及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：列出殘差方程組v1 0.3 x1v2 0.4 x2v3 0.5 (x1 x2)v4 0.3 (x2 x3)

23、為計(jì)算方便，將數(shù)據(jù)列表如下：iai1ai2ai3yiai1ai1ai1ai 2ai1ai3ai1yiai2ai2ai2ai 3ai2yiai3ai3ai3yi11000.31000.3000002010-0.4000010-0.40031010.51010.500010.54011-0.3000011-0.31-0.32010.821-0.720.2按上表計(jì)算正規(guī)方程組各系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)后，列出正規(guī)方程組2x1 0x2 x3 0.80x1 2x2 x3 0.7x1 x2 2x3 0.2解出 x1 =0.325, x2 =-0.425, x3 =0.150 代入殘差方程組，計(jì)算v1 v2v3 v40

24、.025vv v12 v22 v32 v42 0.00250.00250.05 按式( 5-51 )，求出d11 =0.75, d22 =0.75, d33 =1 按式( 5-52 )，求出 xj d jjx1 0.0433， x2 0.0433 ， x3 0.050 最后得 1 號(hào)、2號(hào)和 3 號(hào)電容器的精密電容值x1 0.325 3 x1, x20.425 3 x2 ， x30.150 3 x3也可以用矩陣形式，這里顯然：10A0100110.30.4Y0.50.3這樣可求得 AT ,AT A,( AT A) 1求逆陣：則 X (ATA) 1ATY由 Y AX V 求得V vi (i 14

25、)由 D (ATA) 1，djj 可得d11,d22,d33 xjd jj 寫出結(jié)果 4 非線性參數(shù)的最小二乘法在例 5-1 中，除了進(jìn)行 4 次測(cè)量外，又對(duì) 1 號(hào)和 2 號(hào)電容器的串聯(lián)電容 x1x2 /(x1 x2) 進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得 y5 ，方差仍為 2 ，那么如何處理呢？簡(jiǎn)單的辦法 是把它線性化。所謂線性化，就是在未知量的附近，按泰勒級(jí)數(shù)展開取一次項(xiàng)，然后按線性參數(shù)最小二乘法進(jìn)行迭代求解。線性化的具體步驟如下：設(shè)測(cè)量殘差方程組yii (x1,x2, ,xt ) vi(4-1)(4-2)取xj 的初始近似值 Cj記j xj Cj則有yii (x1,x2, ,xt ) vii (C 1,C2

26、, ,Ct)1 x1 C xtt viCyi yii (C1,C2, ,Ct )(4-3)ai1C ，ai2xiC ， aitxt(4-4)于是得線性化殘差方程組yiai1 1ai2 2ait t vi(4-5)作法：按線性參數(shù)最小二乘法解得 j，以至 xj，將此 xj作為新的 Cj，按式4-2 ），式（ 4-3 ），式（ 4-4 ）和式（ 4-5 ）進(jìn)行反復(fù)迭代求解，直至 j 符合精 度要求為止。例 5-2 在例 5-1 的基礎(chǔ)上，再增加一次測(cè)量串聯(lián)電容 x1x2/（x1 x2） ，測(cè)得 y5 =0.14 。試用最小二乘法求 x1, x2 , x3及其標(biāo)準(zhǔn)差解：先列出測(cè)量方程組x1 =0.3

27、x1+x3 =0.5x2 =-0.4x2 +x3 =-0.3x1x2(x1 x2)0.14對(duì)前4個(gè)線性測(cè)量方程組，按例 5-1 求出解，作為初次近似解C1(1) 0.325, C2(1)0.425, C3(1) 0.150在(0.325,-0.425,0.150) 附近，取泰勒展開的一階近似，y1 0.3 0.325 0.025, a111, a12 a13 0x1y2 0.4 0.425 0. 025, a21 a23 0, a 22 1y 3 0.5 (0.325 0.150) 0.025, a31 a33 1, a 32 0y4 0.3 ( 0.425 0.150) 0.025, a 4

28、1 0, a42 a43 1 0.325 0.425y5 0.14 ( ) 1.241255 0.325 0.4252a51x2 2 18.062551 (x1 x2 )22a5210.5625,x1(x1 x2 )2寫出線性化殘差方程組ALV1000.025v101010.025v210120.025v301130.025v418.062510.562501.24125v5整理得正規(guī)方程組328.254 190.785 1122.4201190.785 113.566 1213.11071 1 230解出1 0.0473, 2 0.0363, 3 0.0418取xj 的二次近似值C1(2)

29、C1(1) 1 0.2777, C2(2) C2(1) 2 0.4613, C3(2) 0.1918 重復(fù)上述過程再求出 1, 2 和 3 。依次迭代結(jié)果如表所示迭代次數(shù)123x1x2x300000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.00105-0.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.001420.001270.160-0.4950

30、.26860.0003150.000419-0.0003670.160-0.4950.267可見，經(jīng) 6 次迭代，精度已達(dá) 10-3，滿足要求即可結(jié)束迭代 5 組合測(cè)量問題所謂組合測(cè)量， 是指直接或間接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值， 從它們相互 組合所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中， 確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。 組合測(cè)量的問題 常用最小二乘法， 以上兩節(jié)所舉精密測(cè)量電容值的問題就是一例。 本節(jié)再介紹幾 個(gè)實(shí)例，以進(jìn)一步說明組合測(cè)量方法的特點(diǎn)。例 4-3 如圖所示，要求檢定線紋尺 0,1,2,3 刻線間的距離 x1,x2,x3。已知用組 全測(cè)量法測(cè)得圖所示刻線間隙的各種組合量。L1=1.01, L2=0.98, L3=1.02L4=2.02,L5=1.98,L6=3.03解：按前述方法，可以解得x1=1.028(0.011)，x2=0.983(0.011)，x3=1.013(0.011)這里，著重說明組合測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)。本例對(duì)刻度間隔 x1,x2與 x3分別測(cè)了 3 次，總共測(cè)量 6次若不采用組合測(cè)量， 按每刻度間隔重復(fù)測(cè)量 3次計(jì)，共需作 9 次測(cè)量，比組 合測(cè)量法多測(cè) 3 次