1、1第四節第四節2定義定義 若向量組若向量組1T中的每一個向量都可由向量組中的每一個向量都可由向量組 1,iT線性表示，則稱線性表示，則稱向量組向量組可由向量組可由向量組線性表示線性表示。1212,1,2, .iiissikkirk和和一、等價的向量組一、等價的向量組2T1T2T若向量組若向量組 1T2T可相互線性表示，則稱兩個可相互線性表示，則稱兩個向量組向量組等價等價?？捎上蛄拷M可由向量組向量組向量組 1T2T線性表示是指：線性表示是指：112212, , ,rs T：T：3即即12r矩陣矩陣sr使使,s rK11121212221212,rrssssrkkkkkkkkk可由可由即向量組即向

2、量組 1T2T表示等價于存在表示等價于存在1212.rsK4若若1T和和 等價，等價，2Ts rK則存在矩陣則存在矩陣和和 ,r sM使使 1212.srM1212;rsK向量組的等價關系具有下列三個性質：向量組的等價關系具有下列三個性質： （1 1）自反性自反性：（2 2）對稱性對稱性：（3 3）傳遞性傳遞性： 和和1T2T等價，等價， 則向量組則向量組也和也和2T1T等價。等價。若向量組若向量組和和1T2T等價，等價，若向量組若向量組和和2T3T等價，等價，和和1T3T也等價。也等價。則向量組則向量組一個向量組與其自身等價。一個向量組與其自身等價。5311232123 , ,Re e ee

3、 e e取 中向量組 T：和 T：， 證證例例112312=,e , 1,2,3. .Tib b biTT其中則向量組 和等價123123123, ,e e ee e ee e e首先即是12312,e e eTT的一個部分組.因此 可由線性1123000 ;eeee2112 TTTT所以又可由 線性表示，故 和等價.表示,如又1 12 23 3,beb eb e6定理定理 設設線性相關線性相關 .nR中兩個向量組中兩個向量組若向量組若向量組則向量組則向量組.rs且且可由向量組可由向量組線性表示線性表示.rs則必有則必有112212, , ,rs T：T：可由可由1T2T線性表示，線性表示，1

4、T推論推論1 若向量組若向量組12, r 12,s 線性無關，線性無關，又已知又已知12, r 推論推論2 若兩個線性無關的向量組相互等價，若兩個線性無關的向量組相互等價， 則它們則它們所含的向量個數相等所含的向量個數相等. .7二、向量組的極大線性無關組二、向量組的極大線性無關組定義：定義：T的一個部分組的一個部分組（2 2）12,r 若滿足若滿足線性無關；線性無關；是向量組是向量組T T 的一個的一個極大線性無關組極大線性無關組. .設向量組設向量組則稱則稱12,rT （1 1）向量組向量組T T 中每一個向量均可由中每一個向量均可由12,r 線性表示線性表示. .12,r 注：注： （1

5、 1）一個向量組的極大線性無關組不唯一；一個向量組的極大線性無關組不唯一；（2 2）一個向量組與其任何一個極大線性無關一個向量組與其任何一個極大線性無關組都組都等價；等價；一個向量組的各個極大線性無關組所含一個向量組的各個極大線性無關組所含向量向量（3 3）的個數相等的個數相等.8例例21231,2,41,2,0,0,4,4,TTT 解：解：10,故部分組故部分組的極大線性無關組的極大線性無關組. 1線性無關線性無關.312,又又又又線性無關線性無關.求向量組求向量組所以部分組所以部分組和和12對應的分量不成比例，對應的分量不成比例，12, 故故123, 線性相關線性相關. 從而，從而，12,

6、 是向量組的是向量組的極大線性無關組極大線性無關組.由此可見，由此可見，向量組的極大無關組不是唯一的向量組的極大無關組不是唯一的.同理可驗證同理可驗證 1323, 也是也是向量組的極大線性無關組向量組的極大線性無關組.9例例3nR解：解： 已知已知的一個極大線性無關組的一個極大線性無關組.12,ne ee中基本向量組中基本向量組1 122.nnx ex ex e又又線性無關，線性無關，求向量組求向量組中任一中任一n n 維向量維向量nR12,Tnx xx是是的一個極大線性無關組的一個極大線性無關組.nR都可表示為都可表示為12,ne eenR例如：例如：2n 平面平面時，時，中任何兩個不共線的

7、向量中任何兩個不共線的向量12, 均是均是的一個極大線性無關組的一個極大線性無關組.nRnR中的極大無關組也不是唯一的中的極大無關組也不是唯一的.nR10定理定理 一個向量組的極大線性無關組所含的向量的一個向量組的極大線性無關組所含的向量的個個 n 維向量一定線性相關維向量一定線性相關 .一個向量組的極大線性無關組所含的向量的一個向量組的極大線性無關組所含的向量的定義定義個數是唯一確定的數個數是唯一確定的數.個數，稱為個數，稱為向量組的秩向量組的秩.定理定理 等價的向量組秩相等等價的向量組秩相等. .結論結論任意任意1n秩相等秩相等的向量組不一定等價的向量組不一定等價. .注注是是nR12,n

8、e ee的一個極大線性無關組，的一個極大線性無關組，nR的秩為的秩為n11三、向量組的秩與矩陣秩的關系三、向量組的秩與矩陣秩的關系定理：定理：A的行初等變換不改變的行初等變換不改變1212,mmAB 行初等變換的列向量的列向量使使設矩陣設矩陣則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣AA行初等變換為其行標準型行初等變換為其行標準型B使使,PAB組的線性相關性和線性組合關系組的線性相關性和線性組合關系. .,P證明：證明：從而有列的關系從而有列的關系（1 1）若有不全為零的數若有不全為零的數兩邊左乘矩陣兩邊左乘矩陣P，有，有,1,2, .iiPim12,mk kk10,miiik11100, 0.mmmiii

9、iiiiiikk Pk即 （2 2）因此向量組因此向量組使使反之，反之，兩邊左乘矩陣兩邊左乘矩陣12,mk kk10.miiik若存在不全為零的數若存在不全為零的數有有1,P111100, 0.mmmiiiiiiiiikk Pk即 0,AX 12,m 0, PAX 線性相關線性相關12,m 線性相關線性相關若若A的列向量之間存在某種線性關系，的列向量之間存在某種線性關系，如一個列如一個列是其余列的線性組合等是其余列的線性組合等. . 它的一般形式是存在向量它的一般形式是存在向量X，使使左乘矩陣左乘矩陣P，有，有從而從而B的列向量之間也具有同樣的線性關系的列向量之間也具有同樣的線性關系. .反之

10、也成立反之也成立. .0BX .即即13例例4解：解：討論向量組討論向量組1234,A取矩陣取矩陣的線性關系的線性關系.1234011113030731A123412340111,13030731 12340111001200001000010100120000412302.1234, 123, 412302.123, 11,e 3r B 1234B故故B的列向量極大線性無關組為的列向量極大線性無關組為22,e33,e40, 1, 2,0T 且且所以所以B的列向量組線性相關的列向量組線性相關.A的列向量組的列向量組由定理，由定理，線性相關，線性相關，性無關組，性無關組，為其極大線為其極大線且且

11、15定理定理 矩陣矩陣A的秩等于矩陣的秩等于矩陣A的列（行）向量組的秩的列（行）向量組的秩. .設設A為為則則證明：證明：因此因此 12;mrrr B 12,re ee是是B的列向量的極大線性無的列向量的極大線性無 ,Tr Ar A由由m n矩陣，矩陣， ,r Ar1212,mmAB 行初等變換 ,r Br Ar1,iirm 可表示為可表示為的線性的線性組合組合. .12,re ee關組關組. 則則 12mrr Ar 可證明可證明A的秩等于行向量組的秩的秩等于行向量組的秩.16推論推論mn則有則有矩陣，矩陣，rm當當A的行向量組線性無關；的行向量組線性無關；時，時，設設A為為0.A 特別當特別

12、當A為為n階方陣時，階方陣時，A的列（行）向量組線性的列（行）向量組線性 .r Ar（1 1）rm當當A的行向量組線性的行向量組線性相關相關.時，時，rn當當A的列向量組線性無關；的列向量組線性無關；時，時，（2 2）rn當當A的列向量組線性的列向量組線性相關相關.時，時，無關的充要條件是無關的充要條件是17例例5設設123412104522,.115203612220 （1 1）1234, 討論向量組討論向量組的線性相關性；的線性相關性；（2 2）1234, 求求的極大線性無關組；的極大線性無關組；（3 3）把其余向量表示成極大線性無關組的線性把其余向量表示成極大線性無關組的線性組合組合.解

13、：解：1234,A取取12104522115203612220A1210012000010000000010300120.000100000000（1 1） 34 ,r An故故（2 2）123,e e eA的行標準形中，的行標準形中， 基本向量基本向量（3 3）其余向量為其余向量為由行標準形，由行標準形，124,. 1234, 線性相關線性相關.故故A是極大線性無關組為是極大線性無關組為在第在第1, ,2, ,4列列3,31232,31232.從而從而2012,nnR 設中的向量組線性無關,證明 證明：證明：例例6向量組nn當 為奇數時線性無關;當 為偶數時線性相關. 1212100011100001100=0001000011nnn n 12,n 向量組可以由向量組112223111=+,=+,=+,=+,nnnnn