1、試 卷 一一（33%）填空題（表示單位矩陣）：1 設，則 ； ；2 設矩陣，則行列式 ；3 若向量組，則當參數 時，線性相關；4 矩陣的伴隨矩陣= ；5 設矩陣及均可逆，則 ；6 分塊矩陣的逆矩陣為 ；7 設矩陣。若齊次線性方程組的解空間是2維的，則齊次線性方程組的解空間是 維的；8 與向量，均正交的一個單位向量為 ；9 已知矩陣，則當數滿足條件 時，是正定的；10 若實對稱矩陣有兩個不同的特征值, 且則當參數滿足條件 時，矩陣是正定的。二（12%）求矩陣方程的解，其中，三（12%）設3階方陣有特征值，是其相應于特征值 的特征向量，是其相應于特征值的特征向量。1. 求。2. 若3階實對稱矩陣的

2、特征值也是，證明：與必定相似。四（12%）設線性方程組1 問：當參數滿足什么條件時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？2 當方程組有無窮多解時，求出其通解（寫成向量形式）。五（12%）矩陣。1. 求一2. 問：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？六（12%）設實對稱矩陣1. 求參數；2. 求一正交矩陣七（7%）證明題：1 設 是矩陣的兩個互異的特征值，是的屬于的線性無關的特征向量，是的屬于的特征向量。證明：線性無關。2 已知階方陣相似于對角陣，并且，矩陣的特征向量均是矩陣的特征向量（注：，的特征值未必相同）。證明試 卷 二一 （24%）填空題：1 假設矩陣，則。2 假設向量組A：，則當參數滿足

3、條件 時，向量組A的秩為1； 時A的秩為2； 時A的秩為3。3 若向量是矩陣的特征向量，則。4 設矩陣，且，則參數滿足條件 。5 若矩陣與對角陣相似，則滿足條件 。6 若是正交矩陣，則滿足條件 。7 若對滿足條件的實對稱矩陣， 都是正定矩陣，則實數必定滿足條件 。二 （8%）求矩陣的行列式的值。三 （15%）已知矩陣，向量。1 若是線性方程組的解，試求的值，并求這時的通解；2 若有無窮多組解，但不是的解，求的值。四 （15%）解矩陣方程 。其中，。五 （15%）設二次型1 寫出二次型的矩陣；2 求正交變換將化成標準形，并寫出相應的標準形。六 （12%）設3階矩陣的特征值是（二重）和，且，是的相

4、應于特征值2的特征向量，是的相應于特征值是4的特征向量。求矩陣及。七 （5%）已知矩陣，。問：當參數滿足什么條件時，矩陣方程有解，但無解？八 （6%）證明題：1 已知向量組可以由線性表示。若向量組的秩為2，證明：線性無關。2 設2階方陣，且，。若不全為零，證明：不與任何對角陣相似。試 卷 三一 （27%）填空題1 若矩陣,，且，則的值分別為；2 設對任意列向量，則矩陣 ；3 設階方陣， 。若的行列式 ，則矩陣的行列式 ；4 設為階可逆方陣，階矩陣的逆矩陣為 ；5 齊次線性方程組的一個基礎解系為 ；6 若二次型是正定的，則參數的取值范圍是 ；7 若是正交矩陣, 則參數的值分別為 ；8 假設階矩陣

5、的特征值為。則行列式的值為 ；9 若實二次型的矩陣分別為，則的正慣性指數相同，負慣性指數也相同的充分必要條件是參數滿足 。二（14%）假設階矩陣滿足。1 證明矩陣及均可逆，并分別求及；2 證明：若，矩陣肯定不可逆。三（14%）假設矩陣，。已知線性方程組有無窮多組解。試求參數的值，并求方程組的通解（要求用的一特解及相應的齊次線性方程組的基礎解系表示）。四（15%）已知矩陣相似于對角陣。1 求參數的值，并求的特征值及相應的特征向量；2 求一可逆矩陣，使得為對角陣，并寫出相應的對角陣；3 問：是否存在正交矩陣，使得為對角陣？試說明你的理由。五（12%）已知矩陣，矩陣，求矩陣，使得。六（12%）假設3

6、維向量；。已知向量組與向量組等價。1 求的秩及其一個最大線性無關組，并求參數的值；2 令矩陣，求滿足的矩陣。七（6%）假設階矩陣滿足。1 證明：關于矩陣的秩有等式，并且相似于對角陣；2 若，試求行列式的值。試 卷 四一 （30%）填空題1. 設, 則 ；2. 若矩陣滿足，則的逆矩陣 ；3. 若向量組的秩為2，則參數滿足條件 ；4. 假設3階矩陣的特征值為，矩陣，其中，是的伴隨矩陣，則的行列式 ；5. 相似于對角陣的充要條件是滿足條件 ；6. 若與相似，則 ； 7. 設是3階實對稱矩陣的相應于某個非零二重特征值的特征向量。若不可逆，則的另一個特征值為 ，相應的一個特征向量為 ；8. 3元非齊次線

7、性方程組的系數矩陣的秩為2, 已知是它的3個解向量,其中,則該方程組的通解是 ；9. 若4階矩陣的秩都等于1，則矩陣的行列式 。二 （10%）計算下述行列式的值。三 （15%）設線性方程組 。問：當參數取何值時, 線性方程組有唯一解？當參數取何值時，線性方程組有無窮多組解？當線性方程組有無窮多組解時，求出其通解（用向量形式表示）。四 （12%）假設矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求。五 （10%）已知向量組線性無關，問：參數滿足什么條件時，向量組線性相關？六 （15%）已知二次型，1. 寫出二次型的矩陣； 2. 求一正交變換，將變成其標準形； 3. 求當時的最大值。七 （8%）證明題：1.

8、設向量組中，線性相關，線性無關，證明：能由線性表示。2. 設是階正定矩陣,證明：矩陣也是正定矩陣。試 卷 五一(30%)填空題1. 設3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；2. 與向量及都正交的單位向量為 ；3. 矩陣的伴隨矩陣 ；4. 假設，則= ；= ；5. 若為方陣，則方陣的逆矩陣 ；6. 已知矩陣，若不可逆，則參數滿足條件 ，這時，的秩為 ； 7. 假設階方陣滿足，則是可逆的，且 ；8. 假設矩陣相似于對角陣，并且2是的一個二重特征值，則參數的值分別等于 。二（12%）已知矩陣。1. 求的行列式的值；2. 根據的不同的值，求的秩及列向量組的極大線性無關組。三（12%）假設，。求矩陣方程

9、的解。四（14%）假設矩陣，。1. 問：當參數取什么值時，線性方程組有唯一解、有無窮多組解、無解？2. 當線性方程組有無窮多組解時，求出其通解。五（14%）已知三階方陣與矩陣相似，求參數的值，并求一可逆矩陣，使得。六（12%）設二次型1. 求一可逆線性變換將變成其標準形；2. 根據參數的不同取值，討論的秩及正、負慣性指數；3. 問：當參數取什么值時，是正定二次型？七（6%）假設是階正交陣。若是實對稱矩陣，證明：的特征值只能是1和，并且，若，則肯定是的特征值。試 卷 六一、 填空題1. 設3階方陣A滿足AT = -A (其中AT表示A的轉置), 則行列式|A| = . 2. 矩陣的伴隨矩陣= .

10、 3. 向量組, , , 的秩為 , 它的一個最大線性無關組是 。4. 設A為可逆矩陣, 則矩陣方程2XA + 3B = C的解X = . 5. 設矩陣A = 是正交矩陣, 則x, y的值分別為 . 6. 二次型f(x1, x2, x3) = 2+- 3+ 4x1x2 - 6x2x3的矩陣是 .二、 選擇題1. 設A是4階方陣, 則下列條件中 D 與“秩(A) = 3”等價. (A) A的列向量組線性無關, (B) 行列式|A| = 0, (C) A的3階子式都不為零, (D) 齊次線性方程組Ax = 0的基礎解系中僅含有1個解向量. 2. 設A, B都是2´3的矩陣, 它們的轉置分

11、別記為AT 和 BT, 則下列等式中恒成立的是 B . (A) (ATB)T = ABT, (B) 行列式| ATB | = 0, (C) 秩(A+B) = 秩(A) +秩(B), (D) . 3. 下列矩陣中不能相似對角化的是 A . (A) , (B) , (C) , (D) .4. 下列陳述中正確的是 B . (A) 若兩個矩陣等價, 則它們的行列式相等, (B) 若兩個矩陣等價, 則它們的秩相等, (C) 若兩個矩陣相似, 則它們有相同的特征向量, (D) 若兩個矩陣合同, 則它們有相同的特征值. 三、 計算題1. 計算行列式的值.2. 求矩陣A = 的逆矩陣. 3. 對于方程組 來說

12、, (1) 當參數a與b滿足什么條件時無解?(2) 當參數a與b滿足什么條件時有唯一解? (3) 當參數a與b滿足什么條件時有無窮多解?并在此條件下求出其通解.4. 設a =, b =, 用Schimidt正交化方法求一個與向量組a, b等價的正交向量組x1, x2. 并用x1, x2把b線性表示出來.5. 設矩陣A = , (1) 求A的特征多項式和特征值. (2) 求正交矩陣P使P -1AP為對角矩陣. (3) 矩陣A的正慣性指數是多少? 矩陣A是否為正定矩陣? 四、 證明題設n階方陣A滿足A2 = A, E為n階單位矩陣. 證明:(1) A + E和A - 2E都可逆, (2) A的特征

13、值只能為0或1, (3) A相似于一個對角矩陣. 2006-2007學年第3學期(上)線性代數試卷一. (18%)填空題(E表示單位矩陣). 1. 假設a = (1, 3), b = (1, -1), 則(aTb)100 = _. 2. 矩陣A =的逆矩陣A-1 = _. 3. 若3´3矩陣A = (a, b, g)的行列式等于2, 矩陣B = (b, g, a), 則矩陣A + B的行列式|A+B| = _. 4. 齊次線性方程組3x + 2y - 5z = 0的一個基礎解系是_. 5. 向量組a1 = (1, 2, 3, 4)T, a2 = (2, -1, 1, 0)T, a3

14、= (1, -3, -2, -4)T, a4 = (3, 1, 4, 1)T的一個極大線性無關組_. 6. 若矩陣, 合同, 則參數a, b滿足條件_. 二. (12%)選擇題. 1. 假設A, B是同階方陣, 數k ¹ 0, 則正確的命題是( ). (A) |A + B| = |A| + |B|; (B) |kA| = k|A|;(C) r(A + B) = r(A) + r(B); (D) r(kA) = r(A). 2. 假設矩陣A =, 則不與A相似的矩陣為( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) .3. 假設A, B都是非零矩陣且AB = O, 則正確的命題是(

15、 ). (A) A的行向量組線性相關; (B) B的行向量組線性相關; (C) A, B的行向量組都線性相關; (D) A, B的列向量組都線性相關. 三. (16%)設線性方程組1. 參數k取何值時, 線性方程組有唯一解? k取何值時, 方程組沒有解? 2. 當k取何值時, 方程組有無窮多組解? 當方程組有無窮多組解時, 求其通解. 四. (16%)設P =, L =, 并且AP = PL, 求A及A2008. 五. (14%)已知向量h =是矩陣A =的一個特征向量.1. 求參數a, b的值, 并求A的相應于特征向量h的特征值; 2. 問: 矩陣A是否相似于對角陣? 說明你的理由. 六.

16、(14%)已知矩陣A =, 求一正交矩陣Q使得QTAQ為對角陣. 七. (10%)假設n維實行向量a = (a1, a2, ., an), b = (b1, b2, ., bn), 矩陣A = aTb. 1. 證明: A是對稱矩陣當且僅當a, b線性相關; 2. 當a, b線性相關時, 求實數k的取值范圍, 使得kE + A是正定矩陣. 解析幾何題一 填空題1 四點共面的充要條件為 ；2 設實二次型，則當滿足條件 時，是橢球面；當滿足條件 時，是柱面。3 空間四點，共面的充要條件是 ；4 點到直線的距離為 ；5 若向量，共面，則參數滿足 .6 過點且包含軸的平面方程為 .7 以，為頂點的三角形

17、的面積為 ；8 直角坐標系中向量與的向量積為 ；9 過點且與直線垂直的平面的方程為 ；10 若表示一單葉雙曲面，則滿足條件 ；二 計算題1. 記為由曲線繞軸旋轉所產生的旋轉曲面,為以與平面的交線為準線，母線平行于-軸的柱面。試給出曲面，并畫出所截有界部分在平面上的投影區域的草圖（應標明區域邊界與坐標軸的交點）。2. 求經過直線且與平面垂直的平面方程.3. 求直線在平面上的垂直投影直線方程4. 用正交變換化簡二次曲面方程求出正交變換和標準形）并指出曲面類型5. 設為由平面中的直線，直線及拋物線圍成的平面區域將繞軸旋轉一周得旋轉體（）畫出平面區域的圖形；（）分別寫出圍成的兩塊曲面的方程；（）求的交線在平面上的投影曲線的方程；（）畫出和，的圖形6. 已知二次曲面的方程為：，的方程為：。問：，分別是哪種類型的二次曲面？求與的交線在平面上的投影曲線方程；畫出由及所圍成的立體的草圖.7. 已知直線過點，與平面平行，且與直線 相交。求直線的方向向量，并寫出直線的方程。8. 假設二次曲面的方程為：；平面的方程為：。(1) 與的交線向平面作投影所得的投影曲線的方程為 ；(2) 該投影曲線繞軸旋轉所得的旋轉曲面的方程為 。(3) 在坐標系中畫出投影曲線的草圖（請給坐標軸標上名稱）；(4) 在坐標系中畫出與所圍成的立體的草圖（請