1、天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§1.1參考答案一填空題1. ， 2 ； 2. ， 120 .二選擇題1. (A).三計(jì)算題1. 解：原式.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§1.21.3參考答案一填空題1. ； 2. 2或3 ； 3. ； 4. ； 5. .二選擇題1. (D). 三計(jì)算題(1) 解：原式；(2) 解：.(3) 解：；(4) 解：將第二、三、四列加到第一列上，得原式；(5) 解：.(6) 解：.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§1.4參考答案一填空題1. 0 ， 0 .二選擇題1. (C). 三計(jì)算題1. 解：齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即有

2、故或.2. 解：，故，.天津科技大學(xué)線性代數(shù)第一章自測(cè)題參考答案一填空題1. ； 2. 0； 3. ； 4. ； 5. 0； 6. 3； 7. .二計(jì)算題1. .2. (1) . (2) . (3) 原式.(4) 或 .天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.12.2參考答案一填空題1. ； 2. ，； 3. ； 4. ；5.二選擇題1. (C)； 2. (D)； 3. (D)； 4. (B).三計(jì)算題1. 解：.2. 解：，.四證明題證：由，知. 故的充要條件是，即.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.3參考答案一填空題1. ； 2. . 二選擇題1. (B)； 2. (D).三計(jì)算

3、題1. 解：(1) ； (2) 天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.42.5參考答案一填空題1. ； 2. 2 ； 3. .二選擇題1. (A)； 2. (C)三計(jì)算題1. 解：(1) ，故 .(2) ，故 .(3) ，故 .2. 解：，因此.（注：應(yīng)先判斷矩陣的可逆性，再得出）四證明題證：由，知 ，故可逆，且 .天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.6參考答案一填空題1. 0 ； 2. .二選擇題1. (D).三計(jì)算題1. 解：(1)，故可逆，且(2)，故不可逆.(3)，故可逆，且.2. 解：，故可逆，且.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§2.7參考答案一填空題1. ； 2.

4、3 . 二選擇題1. (D)； 2. (A)； 3. (B)； 4. (B).三計(jì)算題1. 解：對(duì)進(jìn)行初等行變換化為行階梯形，得，故.2. 解：對(duì)進(jìn)行初等行變換化為行階梯形，得故. 3. 解：，從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.天津科技大學(xué)線性代數(shù)第二章自測(cè)題參考答案一填空題1. ； 2. ； 3. 0或1 .二選擇題1. (B)； 2. (D)； 3. (A)； 4. (C).三計(jì)算題1. 解：由 ，故可逆，且 .2. 由，得. 再由知可逆，且.四證明題1.證：由，故(1) ；(2) ().2. 證：“”若，則，記，則顯然；若，則存在可逆矩陣、使得，或，記，則.“”由，知.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題

5、67;3.1參考答案一填空題1. ； 2. ； 3. ； 4. .二選擇題1. (C)； 2. (C).三計(jì)算題1. 解：對(duì)增廣矩陣施行初等行變換：，故方程組有唯一解：.2. 解：由，故方程組有無(wú)窮多解. 由 得，其中為自由未知量，所以方程組的通解為，.3. 解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換，得由，故方程組有非零解，由知該方程組的通解為：，.4. 解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換，得由方程組只有零解，故，從而，即僅當(dāng)時(shí)方程組只有零解.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.2參考答案一填空題1. .二選擇題1. (A)；2. (D).三計(jì)算題1. 解：故能由向量組線性表示，且表示法唯

6、一，其表示式為.2. 解：故能由向量組線性表示，且表示法唯一，其表示式為.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.3參考答案一填空題1. 有非零解 ； 2. ； 3. 無(wú)關(guān) ； 4. ； 5. .二選擇題1. (B)； 2. (C).三計(jì)算題解：由，知，故向量組線性相關(guān).四證明題1. 證：設(shè)，則由向量組線性無(wú)關(guān)，知，解方程組得，故向量組，線性無(wú)關(guān).2. 證：設(shè)，則. 由為可逆矩陣，知. 再由線性無(wú)關(guān)，知，即向量組線性無(wú)關(guān).天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.43.5參考答案一填空題1. 2或3 ； 2. ； 3. ； 4. 1 .二選擇題1. (B).三計(jì)算題1. 解：對(duì)進(jìn)行初等行變換

7、，得于是向量組的秩為3，它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為，且有 ，.2. 對(duì)進(jìn)行初等行變換，得于是向量組的秩為3，它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為，且有 ，.3. 解：對(duì)進(jìn)行初等行變換，得由于向量組線性相關(guān)，即，必有.或由得.4. 解：，故向量組線性相關(guān)，為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并且。天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.6參考答案一填空題1. ； 2. ； 3. .二選擇題1. (A)；2. (A).三計(jì)算題1. 解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，得一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所求方程組的通解為，.2. 解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，得對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，所求方程組的一個(gè)特解為，于是所求所求方程組的通

8、解為，.3. 解：故方程組的通解為，.四證明題證：由齊次線性方程組的解的性質(zhì)知，均為方程組的解；又由是方程組的基礎(chǔ)解系，知方程組的解空間的維數(shù)為2（即方程組的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)解向量），故只需證明，線性無(wú)關(guān). 設(shè)，則. 由于是該方程組的基礎(chǔ)解系，故線性無(wú)關(guān)，因此，解之得，即，線性無(wú)關(guān)，從而，也是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§3.7參考答案一填空題1. ； 2. ； 3. ； 4. （答案不唯一）； 5. 3 .二選擇題1. (D)； 2. (C)； 3. (B).三計(jì)算題1. 解：取，再將它們單位化，得 ，則即為所求.2. 解：只需將標(biāo)準(zhǔn)正交化即可. 取，再

9、令，則即是所求的標(biāo)準(zhǔn)正交組.3. 解：設(shè)，則，故.天津科技大學(xué)線性代數(shù)第三章自測(cè)題參考答案一填空題1.； 2. 相關(guān)； 3. 無(wú)關(guān)； 4. 相關(guān)； 5. 2 ； 6. .二選擇題1. (C)； 2. (C)； 3. (C).三計(jì)算題1. 解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，得，因此基礎(chǔ)解系為. 將其正交化，得：，再標(biāo)準(zhǔn)化，得：，.2. 解：由，知線性無(wú)關(guān)，從而為的一個(gè)基，并且.四證明題證：設(shè)，則，即有，由知，于是. 又由線性無(wú)關(guān)，知，即線性無(wú)關(guān).天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§4.1參考答案一填空題1. 1，2，3 ； 2. ； 3. 4，1，0 .二選擇題1. (C)；2. (A)(

10、提示：；不可逆陣必有特征值0).三計(jì)算題1. 解：，所以矩陣的特征值為，.當(dāng)時(shí)，解方程：，得基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為 (不同時(shí)為0).當(dāng)時(shí)，解方程：，得基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為.2. 解：，所以矩陣的特征值為，.當(dāng)時(shí)，解方程：，得基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為 (不同時(shí)為0).當(dāng)時(shí)，解方程：，得基礎(chǔ)解系，所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為.3. 解：的特征值為，因而的特征值為即，故.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§4.2參考答案一填空題1. ； 2. ； 3. 充分 ， 充要 ； 4. 5 ， 6 .二選擇題1. (C) ； 2. (D).三證明題1. 證：由、均不

11、可逆，知行列式，從而有三個(gè)不同的特征值1、3、，因此可以對(duì)角化.2. 證：由可逆，知 ，即.四計(jì)算題1. 解：，特征值為，.對(duì)于，解方程組，即，得到特征向量，.對(duì)于，解方程組，即，得到特征向量.令，則可逆，且.2. 解：，特征值為，.對(duì)于，解方程組，得特征向量；對(duì)于，解方程組，得特征向量.令，則.天津科技大學(xué)線性代數(shù)檢測(cè)題§4.3參考答案一填空題1. ； 2. ； 3. 0 .二選擇題1. (A).三計(jì)算題1. 解：，特征值為.對(duì)于，解方程組，即，得特征向量，單位化，得；對(duì)于，解方程組，即，得特征向量，單位化，得.令，則為正交矩陣，且.2. 解：，特征值為，.對(duì)于，解方程組，得特征向量；對(duì)于，解方程組，得特征向量. 將單位化，得，. 于是令，則為正交矩陣，且，從而，于是.天津科技大學(xué)線性代數(shù)第四章自測(cè)題參考答案一填空題1. 0 ； 2. 24 .二選擇題1. (B)； 2. (C).三證明題1. 證：(反證法)假設(shè)是的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是，于是；而，從而，即.又由特征向量、屬于不同的特征值，知、線性無(wú)關(guān)，從而，得到，矛盾.因此必不是的特征向量.2. 證：(1) 設(shè)是