1、第十四章穩定狀態模型雖然動態過程的變化規律一般要用微分方程建立的動態模型 來描述，但是對于某些實際問題，建模的主要目的并不是要尋求 動態過程每個瞬時的性態，而是研究某種意義下 穩定狀態的特征, 特別是當時間充分長以后動態過程的變化趨勢。譬如在什么情況 下描述過程的變量會越來越接近某些確定的數值，在什么情況下 又會越來越遠離這些數值而導致過程不穩定。為了分析這種穩定 與不穩定的規律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程 穩定性理論，直接研究平衡狀態的穩定性就行了。本章先介紹平衡狀態與穩定性的概念，然后列舉幾個這方面 的建模例子。 1微分方程穩定性理論簡介定義1稱一個常微分方程（組）是 自治的

2、，如果方程（組）號=F(x,t)二dtfi(x,t)(1)aN(X,t) j中的F（x,t）=F（x），即在F中不顯含時間變量t。下面僅考慮自治系統，這樣的系統也稱為動力系統 定義2系統dxdtF(x)(2)的相空間是以（Xi,X）為坐標的空間Rn，特別，當n=2時，稱相空間為相平面。空間Rn中的點集（Xi,，Xn） |為=Xi（t）滿足（2）,i = 1,n稱為系統（2）的軌線，所有軌線在相空間中的分布圖稱為相圖注:解（積分曲線與軌線的關系定義3相空間中滿足F（X）=O的點Xo稱為系統（2）的奇點 （或平衡點）。奇點可以是孤立的，也可以是連續的點集。例如，系統-167-叫ax+bydt（3）

3、皿 cx+dydt當ad -bc 0時，有一個連續的奇點的集合。當ad be = 0時，（0,0）是 這個系統的唯一的奇點。下面僅考慮孤立奇點。為了知道何時有 孤立奇點，給出下述定理：定理1設F（x）是實解析函數，且xo是系統（2）的奇點。若F（x）在點xo處的Jacobian矩陣J（X）=. CXj 一是非奇異（其行列式不為零）的，則xo是該系統的孤立奇點。定義4設X。是（2）的奇點，稱（i）Xo是穩定的，如果對于任意給定的；o，存在一個 o， 使得如果-x卜：，則|x（t,to，N）-X（t,t,xo）卜：；對所有的t都成立。（ii）Xo是漸近穩定的，如果它是穩定的，且lim |x（t）-

4、X。戶o。t ,這樣，如果當系統的初始狀態靠近于奇點，其軌線對所有的 時間t仍然接近它，于是說Xo是穩定的。另一方面，如果當：時 這些軌線趨于Xo，則Xo是漸近穩定的。定義5 一個奇點不是穩定的，則稱這個奇點是不穩定的。 對于常系數齊次線性系統（3）有下述定理（P133）。&=ax+by dt（ 3）皿 cx + dyl. dt定理2設x =x（t）是系統（3）的通解。貝S（i）如果系統（3）的系數矩陣A的一切特征根的實部都是 負的，則系統（3）的零解（點O （0, 0）是其一奇點）是漸近穩 定的。（實部全負）（ii） 如果a的特征根中至少有一個根的實部是正的，則系統（3）的零解是不穩定的。（

5、實部有正）（iii）如果a的一切特征根的實部都不是正的，但有零實部，（負或零）則系統（3）的零解可能是穩定的，也可能是不穩定的，-168-但總不會是漸近穩定的。（無正實部，但必有零實部）定理2告訴我們：系統（3）的零解是漸近穩定的 充分必要條 件是A的一切特征根的實部都是負的。（類似于Hurwitz判據）對于非線性系統，一般不可能找出其積分曲線或軌跡，也就 不可能直接導出奇點的穩定性。為克服這一困難，在奇點附近用一個線性系統來近似這個非線性系統，用這個近似系統的解來給 出這個奇點的穩定解。定義6設x0是系統（2） d = F（x）的一個孤立奇點。稱系統dt在X。點幾乎是線性的，如果F在xo的J

6、acobian矩陣是非奇異的， 即 detj（x0） =0。設F（x）在x = 0的某鄰域內連續，并有直到二階連續偏導數， 則由多元函數的Taylor公式，可將f（x）展開成F（x） = Ax 0（|xf）， 其中-：Xn：fnxn是一個常數矩陣，這樣得到的線性系統dx=Ax（ 4）dt稱為系統（2） dx=F（x）的線性近似。一開始，人們以為總可以用 dt線性近似系統來代替所研究的原系統。但后來人們發現，這種看 法是不對的，或至少說是不全面的，非線性系統中的許多性質， 在它的線性近似中不再保留。即使象零解穩定性這樣一個問題， 也要在一定條件下，才可用它的線性近似系統代替原系統來研究。 關于這

7、個問題，我們有下述定理：定理3如果系統（4）的零解是漸近穩定的，或不穩定的，則原系統的零解也是漸近穩定的或不穩定的。然而，如果系統（4）的零解是穩定的，則原系統的零解是不定的，即 此時不能從線性 化的系統來導出原系統的穩定性。dXW _ax 丄 by系統（3） 0，O是不穩定焦點;（viii）人,2 士 Pg=0，o是穩定、非漸進穩定中心定理5設非線性系統dxdt=axby (x,y)by - (x,y)(5)中的和滿足條件:（i）在點O的某鄰域內存在連續的一階偏導數。（ii）存在常數0，使得四愛=四如丸，（fE）0 r0 r又設系統（5）的一次近似系統（3）的特征方程的根沒有零實部, 則（5

8、）式與（3）式的奇點O的類型相同，并有相同的穩定性或 不穩定性。關于李雅普諾夫函數(V函數)(P137)求非線性系統的最重要方法， 最大缺點-難以構造V函數! 2再生資源的管理和開發漁業資源是一種再生資源，再生資源要注意適度開發，不能 為了一時的咼產“竭澤而漁”，應該在持續穩產的前提下追求最咼 產量或最優的經濟效益。這是一類可再生資源管理與開發的模型，這類模型的建立一 般先考慮在沒有收獲的情況下資源自然增長模型，然后再考慮收 獲策略對資源增長情況的影響。2.1資源增長模型考慮某種魚的種群的動態。在建立模型之前，做如下的基本 假設：(i) 魚群的數量本身是離散變量，談不到可微性。但是，由 于突然

9、增加或減少的只是單一個體或少數幾個個體，與全體數量 相比，這種增長率是微小的。所以，可以近似地假設魚群的數量 隨時間連續地，甚至是可微地變化。(ii) 假設魚群生活在一個穩定的環境中，即其增長率與時 間無關。(iii) 種群的增長是種群個體死亡與繁殖共同作用的結果。(iv) 資源有限的生存環境對種群的繁衍，生長有抑制作用, 而且這一作用與魚群的數量是成正比的。x(t)，我們可以得到x(t)所滿足的(6)記時刻t漁場中魚量為Logistic 模型：X x(t石)5Nx(0) = No其中r是固有增長率，N是環境容許的最大魚量。由分離變量法 求得方程(6)解為x(t)=N1 e*(N -No)/N

10、。(6)式有兩個平衡點，即花=0 , X2二N，其中花是不穩定的，x2 在正半軸內全局穩定。2.2資源開發模型建立一個在捕撈情況下漁場魚量遵從的方程，分析魚量穩定 的條件，并且在穩定的前提下，討論如何控制捕撈使持續產量或 經濟效益達到最大。設單位時間的捕撈量與漁場魚量x(t)成正比，比例系數k表示 單位時間捕撈率，k可以進一步分解分解為k=qE，E稱為捕撈強 度，用可以控制的參數如出海漁船數來度量；q稱為捕撈系數，表示單位強度下的捕撈率。為方便取q，于是單位時間的捕撈量為h(x)二Ex(t)。h(x)常數，表示一個特定的捕撈策略，即要求 捕魚者每天只能捕撈一定的數量。這樣，捕撈情況下漁場魚量滿

11、 足方程xx(t) =rx(1 )-Ex( 7)N這是一個一階非線性方程，且是黎卡提型的。也稱為Scheafer模型。希望知道漁場的穩定魚量和保持穩定的條件，即時間t足夠長以后漁場魚量x(t)的趨向，并且由此確定最大持續產量。在平衡 點處有dx =0，方程(7)有兩個平衡點x0，X2二N(1-上)。顯然，dtr它們均是方程的解。在E : r的情況下，X2是一正平衡點。(7)式可改寫為x(t) =-x(x-X2)(8)易知，當0 x ： x2時，x(t) 0 ； x x2時，x(t) ： 0，即平衡解X!是 不穩定的，而X2是穩定平衡解。即在捕撈強度E r的情況下，漁 場魚量將穩定在X2的水平，

12、因此產量(單位時間的捕撈量)也將 穩定在EX2的水平，即此時可獲得持續收獲量。當然，當E r時，x(t) :：: 0，漁場魚量將逐漸減少至X0，這 時的捕撈其實是“竭澤而漁”，當然談不上獲得持續產量了。如何才能做到漁資源在持續捕撈的條件下為我們提供最大的 收益？從數學上說，就是在 x(t) =0或rx(t)(-也)二Ex(t)的條件下N極大化所期望的“收益”，這里的“收益”可理解為產量h=Ex(t)， 則問題就可以數學地敘述為下述優化問題：hmax 二 maxEx(t)約束條件為rx(t)(1-X)_Ex(t) =0。(兩邊同除r*X(t)N這里它可以歸結為E的二次函數h(E) = NE(1*

13、)的最大值問r題。簡單的推導不難得到最大持續捕撈強度為Emax =1，最大持續2產量為hmax =叫。捕撈強度Emax是得到最大持續捕魚量的策略。42.3經濟效益模型當今，對魚類資源的開發和利用已經成為人類經濟活動的一 部分。其目的不是追求最大的漁產量而是最大的經濟收益。因而 一個自然的想法就是進一步分析經濟學行為對魚類資源開發利用 的影響。如果經濟效益用從捕撈所得的收入中扣除開支后的利潤來衡 量，并且簡單地設魚的銷售單價為常數p，單位捕撈強度(如每條出海漁船)的費用為常數c，那么單位時間的收入T和支出S分 別為T = ph(x)二 pEx， S = cE單位時間的利潤為R = T - S =

14、 pEx - cE利潤是漁民所關注的焦點。因此在制定管理策略時所期望極 大化的“收益”，這時就應理解為經濟利潤或凈收入而不是魚的產 量h。因而所討論的問題就變成了在使魚量穩定在x=x2=N(1-衛)r 的約束條件下的Rmax。即求-173-R（E）二 pNE（1 _衛）_cE的最大值。容易求出使R（E）達到最大的捕撈強度為rcEmax（1）2pN最大利潤下的漁場穩定魚量N cxmax22p最大利潤下漁場單位時間的持續產量為h ErN （1c2）hmax EmaxXmax （ 1 丿4 p N最大可持續凈收益RmaxprN4(1cpN-I74-與前一模型相比較可以看出，在最大效益原則下捕撈強度和

15、 持續產量均有減少，而漁場的魚量有所增加。并且，減少或增加 的比例隨著捕撈成本c的增長而變大，隨著銷售價格p的增長而變 小，這顯然是符合實際情況的。2.4種群的相互競爭模型有甲乙兩個種群，當它們獨自在一個自然環境中生存時，數 量的演變均遵從Logistic規律。記花風是兩個種群的數量,幾上是它們的固有增長率, 于是，對于種群甲有N2是它們的最大容量- %xW)其中，因子（1-互）反映由于甲對有限資源的消耗導致的對它本身Ni增長的阻滯作用，互可解釋為相對Ni而言單位數量的甲消耗的食Ni物量（設食物總量為1）。當兩個種群在同一自然環境中生存時， 考察由于乙消耗同一種有限資源對甲的增長產生的影響，可

16、以合 理地在因子（1-xi）中再減去一項，該項與種群乙的數量 X2 （相對Ni于N2而言）成正比，于是，種群甲增長的方程為-I74-Xi（t） = riXi（1-；1 2）（9）Ni N2這里匚i的意義是，單位數量乙（相對N2而言）消耗的供養甲的食 物量為單位數量甲（相對NJ消耗的供養乙的食物量的倍，類 似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應該是X2（t） =r2X2（1 -；2）（ 10）N1 N2對二2可作相應的解釋。在兩個種群的相互競爭中，是兩個關鍵的指標。從上面對它們的解釋可知，G .1表示在消耗供養甲的資源中，乙的消耗 多于甲，對2 1可作相應的理解。一般來說，6,6之間沒有

17、確定的關系，在此我們僅討論 J；相互獨立的情形。目的是研究兩個種群相互競爭的結局，即t：時，X1（t）,X2（t） 的趨向，不必要解方程組（9）和（10），只需對它的平衡點進行 穩定性分析。為此我們解代數方程X1X2f(X1，X2)(1 一dg(x1,x2)= 4x2(1 - 二X1X22廟(11)得到四個平衡點分別為R（N1,0），F2（O,N2）, Psd112 ），1口1口21。1口2P4（0,0）。為分析這些點的穩定性，需使用相空間的技巧。首先找出在X1X2平面上使Xi（t） 0或Xi （t）： 0 （i = 1,2）的區域。注意到，當佟（1-互-二1生）0時X1（t） 0,但要使X1

18、 0和X1（t） 0，當且僅當 N1N2x1X211 -丄 0, x10N1N2類似地兀仇廠：0，當且僅當1： 0, x10N1 N2這樣我們得到在X1X2平面中，直線:=1生=0（12）N1 N2把平面劃分為Xi（t） 0和Xi （t） : 0兩個區域。類似地，對X2進行分析 得到（i）X2（t） 0，當且僅當1 -c2 -X1 乞 0, x2 0N1 N2（ii）X2（t廠：o，當且僅當X1X21 - ；2- 一 ： 0, X20NiN2（iii）直線，i 七2 互-生=0（ 13）N1 N2將X1X2平面劃分為X2 （t） 0和X2（t） : 0兩個區域。兩直線（12）和（13）之間的位

19、置關系可以由下圖的四種情 況來說明。每種可能性對應于平衡點的穩定性說明如下：仃1咗1嚴2 1，由圖（b）知，兩直線將平面（X10,X20）劃 分為三個區域：S：X1（t）0x（t）0（ 14）S2：X1（t）0,X2（t）0，表明 x-（t-）在t-達到極 小值，而這是不可能的，因為在 S中為0，即為（1|） 一直是增加 的。若軌線從S3出發，由（16）式可知軌線向左下方運動，那么 它或者趨向R點，或者進入S2，而進入S后，根據上面的分析最 終也將趨向R。綜合上述分析可以畫出軌線示意圖。因為直線（12） 式上dx- =0,所以在（12）式上軌線方向垂直于x軸；在（13）式 上dx? =0，軌線

20、方向平行于x-軸。（ii） 二-,-，類似的分析可知P2（0,n）穩定。（iii）-, 0時，方程（17）、（ 18）的軌線是一階方程dx = x1 (片 - 1x2)dx2X2（-22X1)的解曲線。用分離變量方法解得(x；2，2X1)(x211X2 c(20)其中c是任意常數。因此，方程（17），（ 18）的軌線是由式（20） 定義的曲線族，我們來證明這些曲線是封閉的。(20)(x；2e2xi)(x；1e1x2) = c引理1當x1,x2 0時，方程（20）定義了一組封閉曲線證明 我們首先來確定當x1,x20時函數（x1 X；2e2x1和屮（x2） = 乂；1/2的性狀。利用微積分方法可以

21、作出;和的圖形。如下圖所示您）若它們的極大值分別記作m和m，則不難確定X0 x2滿足（x0）= m，x0 二互（21）*2 （x- m，X2 =丘（22）X1 顯然，僅當（20）式右端常數c乞m時相軌線才有定義。當 c 二 m m時，x x， x2 = x2，將式（21 ）和（22）與 （佃）式比較可知（x0，x2）正是平衡點B，所以P2是相軌線的退 化點。為了考察C ：扁一；m時（C 0）軌線的形狀，我們只需考慮C八亠m的情況，其中0 ”m。首先注意到：方程x；2e 2X1具有一個解X = x x0和另一個解X*。因此，當x x1或x1x1時，方程(x2) = xeX2otM；2eX1-18

22、1-沒有解x2。當x = x1或x x；時，這個方程具有唯一的解 X2=x2,而對于xxx1,則具有兩個解x2(x1)和17)和(18)的具有初始條件x2 (x1)。較小的解x2 (x1)總是小于x2，較大的解總是大于x2。 當x1趨于x1或x1時， x2 (x1)和x2 (x1)都趨向于 x2。因此，當x1 和 x2是正數 時，由(20)所定義的曲線都 是封閉的。而且，這些封閉曲 線中的每一條(除x X0和x2二x2以外)，都不含(17) 和(18)的任何平衡點。所以(x1(0) 0，x2(0) 0的所有的解x1(t)，x2(t)都是時間的周期 函數。也就是說，(17)和(18)的具有初始條

23、件 X1(0) 0， x2(0) 0的每一個解x1(t)，x2(t)都具有這樣的性質： x1(t T)二 x1(t)，x2(t T)二 x2(t)，其中 T 是某一正數。DAncona所用的數據實際上是捕食者的百分比在每一年中 的平均值。因此，為了把這些數據同方程組(17)和(18)的結 果進行比較，對于(17)和(18)的任何解x1(t)，x2(t)，我們 必須算出X1(t)和X2(t)的“平均值”。值得注意的是，即使還沒有 準確地求得x1 (t)和x2(t)，我們仍然能夠算出這些平均值。引理2設x1(t)，X2(t)是(17)和(18)的周期解，其周 期T 0， x1(t) 和 x2 (t)的平均值定義為_1 T_1 TX1 二 0 X1 (t)dt，X2 二 0 X2(t)dt這時，乂1 = X0 , X2 = x2。換句話說，X（t）和X2（t）的平均值是 平衡解。證明 把（17）的兩端除以x1，得到Xl（t） = 口 - 必2，于Xi是由于 因此,1 TT 0 Xi(t)1 Tdt 二 0 ri - iX2(t)dtXgdtmegt)-183-1 T1 TT 0 1X2(t)d 0 r1dt 二 r1，r于是，x2類似地，把（18）的兩端除以Tx2（t），由0到T入1積分，我們得到X