1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程y py qy 0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p、q均為常數(shù)如果yi、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解那么y Ciyi C2y2就是它的通解我們看看能否適當(dāng)選取r使y erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將y e,代入方程y py qy 0得(r2 pr q)erx 0由此可見只要r滿足代數(shù)方程r2 pr q 0函數(shù)y erx就是微分方程的解特征方程方程r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的兩個(gè)根口、r2可用公式p . p2 4qr1,22求出特征方程

2、的根與通解的關(guān)系(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根ri、r2時(shí)函數(shù)yi er1x、y er2X是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解這是因?yàn)閄函數(shù)y eiX、y2 er2X是方程的解 又 e(ri r2)x不是常數(shù)y er2X因此方程的通解為y CieriX C2er2X(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根ri r2時(shí)函數(shù)y erX、y2 XerX是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解這是因?yàn)閥 erX是方程的解又(XerX)p(Xe"X) q(XerX) (2r Xri2)eriX p(i XP|)eriX qXerXenX(2ri p) XerX(ri2 pr q) 0所以y2 xerix也是

3、方程的解且在 yi1x xe1x不是常數(shù)因此方程的通解為y Cierix C2xerix(3)特征方程有一對共軻復(fù)根ri, 2的復(fù)數(shù)形式的解函數(shù)y e xcos x、yi時(shí)函數(shù)y e(i )x、y e(i )x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)exsin x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解函數(shù)yi e( i*和y2e( i )x都是方程的解 而由歐拉公式 得yie(y2e(i )x e x(cos xi )x e x(cos xisinisinx)x)y1y22excosxx e cosyiy22iex_一sinx e xsini /、x 西(yi v2e xcosx、y2 e xsin x也是方

4、程解可以驗(yàn)證yi e xcos x、y2 e xsinx是方程的線性無關(guān)解因此方程的通解為y e x(Cicos x C2sin x )求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y py qy 0的通解的步驟為第一步寫出微分方程的特征方程r2 pr q第二步求出特征方程的兩個(gè)根ri、 r2第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況寫出微分方程的通解例1求微分方程y 2y 3y 0的通解解所給微分方程的特征方程為r2 2r 3 0 即(r i)(r 3) 0其根ri i r2 3是兩個(gè)不相等的實(shí)根因此所求通解為 y Cie x C2e3x例2求方程y 2y y 0滿足初始條件yk 0 4、y |x 0 2的特解解所

5、給方程的特征方程為r2 2r i 0 即(r i)2 0其根ri r2 i是兩個(gè)相等的實(shí)根因此所給微分方程的通解為y (Ci C2x)e x將條件y|x 0 4代入通解 得Ci 4從而將上式對x求導(dǎo)得y (C2 4 C2x)e x再把條件y |x0 2代入上式 得C2 2于是所求特解為x (4 2x)e x例3求微分方程y 2y 5y 0的通解解所給方程的特征方程為r2 2r 5 0特征方程的根為ri 1 2i r2 1 2i是一對共軻復(fù)根因此所求通解為y ex(Cicos2x C2sin2x)n階常系數(shù)齊次線性微分方程方程y(n) piy(n 1) p2 y(n 2)pn iy pny 0稱

6、為n階常系數(shù)齊次線性微分方程其中pi p2pn 1 pn都是常數(shù)階常系數(shù)齊次線性二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多項(xiàng)式L(D)=D n piDn 1 p2 Dn 2 pn iD pn則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn piDn 1 p2 Dn 2 pn iD pn)y 0 或 L(D)y 0注 D 叫做微分算子 D0y yDy y D2y y D3y yDny y(n)分析令y erx則L(D)y L(D)erx(rnpirn 1p2 rn2pnirpn)erxL(r)erx因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根 則ye僅

7、是微分方程L(D)y 0的解n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程L(r) rn pirn 1 p2 rn 2pn ir pn 0稱為微分方程L(D)y 0的特征方程特征方程的根與通解中項(xiàng)的對應(yīng)單實(shí)根r對應(yīng)于一項(xiàng)Cerx一對單復(fù)根r 12 i對應(yīng)于兩項(xiàng)e x(Cicos x C2sin x)k重實(shí)根r對應(yīng)于k項(xiàng)erx(Ci C»Ckxk 1)一對k重復(fù)根ri 2 i對應(yīng)于2k項(xiàng)e x(Ci C2xCkxk i)cos x (Di D2xDkxk i)sin x例4求方程y(4) 2y 5y 0的通解解這里的特征方程為r4 2r3 5r2 0 即 r2(r2 2r 5) 0它的根是ri2

8、 0和r3 4 1 2i因此所給微分方程的通解為y Ci C2x ex(C3cos2x C4sin2x)例5求方程y(4)4y 0的通解其中 0解這里的特征方程為r4 4 0它的根為r12、.2(1 D因此所給微分方程的通解為ye2 (C1cos-x C2sin一 x) e一x2 (C3cos x C4sin一 x)二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡介二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 方程y py qy f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中p、q是常數(shù)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解y Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y y*(x)之和y Y(x) y*(x)當(dāng)f

9、(x)為兩種特殊形式時(shí)方程的特解的求法一、f(x) Pm(x)ex 型當(dāng)f(x) Pm(x)ex時(shí)可以猜想 方程的特解也應(yīng)具有這種形式因此 設(shè)特解形式為y* Q(x)ex將其代入方程得等式Q (x) (2 p)Q(x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)(1)如果不是特征方程r2 pr q 0的根Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1x bm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定b0 b1y* Qm(x)ex(2)如果是特征方程r2 pr q 0的單根則2 P q 0要使上式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式bm并得所求特解則2 P q 0但2 p 0要使等式Q (x) (2p)Q (x) ( 2

10、 p q)Q(x) Pm(x)成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m 1次多項(xiàng)式Q(x) xQm(x)Qm(x) b0xm b1xm 1bm 1x bm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定b0 b1bm并得所求特解y* xQ m(x)e(3)如果是特征方程r2 pr q 0的二重根則2 P q 02 p 0要使等式Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m 2次多項(xiàng)式Q(x) x2Qm(x)Qm(x) boxm bixm 1bm ix bm通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定bobibm并得所求特解y* x2Qm(x)e x綜上所述 我們有如下結(jié)論 如果f(x) Pm(x

11、)ex則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y py qy f(x)有形如y* xkQm(x)e x的特解其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重依次取為0、1或2例1求微分方程y 2y 3y 3x 1的一個(gè)特解解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且函數(shù)f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x) 3x 10)與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y 2y 3y 0它的特征方程為r2 2r 3 0由于這里0不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y* b0x b1把它代入所給方程得3b0x 2b0 3b1 3x 1比較兩端x同次哥的系數(shù)得3b 0 32b0 3bl.3b

12、0 3 2b0 3b1 111由此求得b0 1bli于是求得所給方程的一個(gè)特解為1 3*1y* x -3例2求微分方程y 5y 6y xe2x的通解解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且f(x)是Pm(x)e x型(其中Pm(x) x 2)與所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為r2 5r 6 0特征方程有兩個(gè)實(shí)根ri 2 r2 3于是所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為丫 Cie2x C2e3x由于2是特征方程的單根所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y* x(box bi)e2x把它代入所給方程得2box 2b0 bi x比較兩端x同次哥的系數(shù)得2b0 12bo b1 02bo 1 2b0 bi 0由此求得

13、b01bii于是求得所給方程的一個(gè)特解為2y* x( 2x i)e2x從而所給方程的通解為y Cie2x C2e3x (x2 2x)e2x提示y* x(b0x bi)e2x (box2 bix)e2x(b0x2 bix)e2x (2b0x bi) (box2 bix) 2e2x(b0x2 bix)e2x2b0 2(2b0x bi) 2 (b0x2 bix) 22e2xy* 5y* 6y* (box2 bix)e2x5(b0x2 bix)e2x 6(b0x2 bix)e2x2b02(2boxbi) 2 (box2bix) 22e2x 5(2boxbi) (box2 bix)2e2x6(box2b

14、ix)e2x2bo4(2boxbi) 5(2boxbi)e2x 2box 2bobie2x方程 y py qy exPi (x)cos x Pn(x)sin x的特解形式 應(yīng)用歐拉公式可得e x Pi (x)cos x Pn(x)sin x j x i xi x i xexP(x)e2e Pn(x)e-e 21P(x) iPn(x)e( i )x iF(x) iPn(x)e( i )xP(x)e( i )x P(x)e( i )x其中 P(x) 2(P 川)P(x) 3(P Pni)而 mmaxln設(shè)方程 y py qy P(x)e( i )x的特解為 yi* xkQm(x)e( i )x則

15、另*xkQm(x)e( i)必是方程 y py qy P(x)e( i)的特解其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1于是方程 y py qy e xPi(x)cos x Pn(x)sin x的特解為y* xkQm(x)e( i )x xkQm(x)e( i )xxke xQm(x)(cos x i sin x) Qm(x)(cos x i sin x)xke xRm(x)cos x Rm(x)sin x綜上所述我們有如下結(jié)論如果f(x) e xPl(x)cos x Pn(x)sin x則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y py qy f(x)的特解可設(shè)為y* xke xRm(x)c

16、os x Rm(x)sin x其中R(1)m(x)、Rm(x)是m次多項(xiàng)式m max l n而k按i (或i )不是特征方程的根或是特征 方程的單根依次取 0或1例3求微分方程y y xcos2x的一個(gè)特解解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且 f(x)屬于 e xPl(x)cos x Pn(x)sin x型(其中02 Pl(x) x Pn(x) 0)與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y y 0它的特征方程為r2 1 0由于這里 i 2i不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x把它代入所給方程得(3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)得a 1 b 0c 0 d 439于是求得一個(gè)特解為y* 1 xcos2x 4sin2x39提示y* (a