1、中考數學重難點專題講座第八講 動態幾何與函數問題【前言】在第三講中我們已經研究了動態幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側重，第一個是側重幾何方面，利用幾何圖形的性質結合代數知識來考察。而另一個則是側重代數方面，幾何性質只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函數，方程的應用上。其中通過圖中已給幾何圖形構建函數是重點考察對象。不過從近年北京中考的趨勢上看，要求所構建的函數為很復雜的二次函數可能性略小，大多是一個較為簡單的函數式，體現了

2、中考數學的考試說明當中“減少復雜性”“增大靈活性”的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復雜計算題僅供參考?！纠?】 如圖所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點B、C作直線.將直線平移，平移后的直線與軸交于點D，與軸交于點E.（1）將直線向右平移，設平移距離CD為（t0），直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關于的函數圖象如圖所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標為4，求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.（2）當時，求S關于的函數解析式.【思路分析】本題雖然不難，但是非?？简?/p>

3、考生對于函數圖像的理解。很多考生看到圖二的函數圖像沒有數學感覺，反應不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當平移距離為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，N點表示移動距離超過4之后陰影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當D移動過了0點的時候.所以根據這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數式則需要看出當時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去ODE的面積，于是根據這個構造函數式即可。動態幾何連帶函數的問題往往需要找出圖形的移動與函數的變化之間的對應關系，然后利用對應關系去分段求解?！窘狻浚?）由圖（2）知，點的坐標是（2，8）由此判斷：； 點的橫坐標是4，是平

4、行于軸的射線， 直角梯形的面積為：. (3分)（2）當時，陰影部分的面積=直角梯形的面積的面積 (基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關系) . . 【例2】已知：在矩形中，分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點（1）求證：與的面積相等；（2）記，求當為何值時，有最大值，最大值為多少？（3）請探索：是否存在這樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由【思路分析】本題看似幾何問題，但是實際上AOE和FOB這兩個直角三角形的底邊和高恰好就是E,

5、F點的橫坐標和縱坐標，而這個乘積恰好就是反比例函數的系數K。所以直接設點即可輕松證出結果。第二問有些同學可能依然糾結這個EOF的面積該怎么算，事實上從第一問的結果就可以發現這個矩形中的三個RT面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個小RT面積即可，經過一系列化簡即可求得表達式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻折問題，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就OK.【解析】（1）證明：設，與的面積分別為，由題意得，即與的面積相等（2）由題意知：兩點坐標分別為， (想不到這樣設點也可以直接

6、用X去代入,麻煩一點而已)，當時，有最大值（3）解：設存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為由題意得：，又，(將已知和所求的量放在這一對有關聯的三角形當中)，解得存在符合條件的點，它的坐標為【例3】如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC16，DC12，AD21。動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。（1）設BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；（2）當t為何值時

7、，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？（3）是否存在時刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。 【思路分析】 本題是一道和一元二次方程結合較為緊密的代幾綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經探討過解決動點問題的思路就是看運動過程中哪些量發生了變化，哪些量沒有變化。對于該題來說，當P,Q運動時，BPQ的高的長度始終不變，即為CD長，所以只需關注變化的底邊BQ即可，于是列出函數式。第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學畫出圖形以后就不知如何下手，此時不要忘記這個題目中貫穿始終的不動量高，過Q做出垂線以后就發現

8、利用角度互余關系就可以證明PEQ和BCD是相似的，于是建立兩個直角三角形直角邊的比例關系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。 這道題放在這里是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關，利用這個不變的高區建立函數，建立方程組乃至比例關系才能拿到全分?！窘馕觥拷猓?（1）如圖1，過點P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。ABMCDPQ圖1PMDC12 QB16t，S×12×(16t)96t （2）由圖可知：CMPD2t，CQt。熱以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。若PQBQ。在RtPMQ中，由PQ2BQ2 得 ，解得t；

9、若BPBQ。在RtPMB中，。由BP2BQ2 得： 即。由于7040無解，PBBQ 若PBPQ。由PB2PQ2，得整理，得。解得（舍）（想想看為什么要舍？函數自變量的取值范圍是多少？） 綜合上面的討論可知：當t秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。 （3）設存在時刻t，使得PQBD。如圖2，過點Q作QEADS，垂足為E。由RtBDCRtQPE， PAEEDCQBO圖2得，即。解得t9 所以，當t9秒時，PQBD。 【例4】ACBPQED 在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速

10、度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止設點P、Q運動的時間是t秒（t0）（1）當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ；（2）在點P從C向A運動的過程中，求APQ的面積S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值若不能，請說明理由；（4）當DE經過點C 時，請直接寫出t的值 【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當中的函數題。但

11、是本題略有不同的是動點有一個折返的動作，所以加大了思考的難度,但是這個條件基本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應當注意到的是在運動過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了AC和CB的長度,據此估計出運動可能呈現的狀態.第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內的比例關系做出函數.第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現方式.DE/QB和PQ/BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關系去求解.AC)BPQD圖3 E)F解：（1）1，； （2）作QFAC于點F，如圖3， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED圖

12、4 ，即（3）能 當DEQB時，如圖4 DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形 此時AQP=90°由APQ ABC，得，ACBPQED圖5即 解得 如圖5，當PQBC時，DEBC，四邊形QBED是直角梯形此時APQ =90°由AQP ABC，得 ，AC(E)BPQD圖6G即 解得（4）或【注：點P由C向A運動，DE經過點C方法一、連接QC，作QGBC于點G，如圖6AC(E)BPQD圖7G，由，得，解得方法二、由，得，進而可得，得， 點P由A向C運動，DE經過點C，如圖7，【例5】如圖，在中，分別是邊的中點，點從點出發沿方向運動，過點作于，過點作交于

13、，當點與點重合時，點停止運動設，（1）求點到的距離的長；（2）求關于的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；ABCDERPHQ（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實就是重要暗示，算DH的長度實際上就是后面PQ的長度，在構建等腰三角形中發揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯系在一起.我們發現RQ和QC所在的QRC和BAC是相似的,于是建立起比例關系得出結果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構成特殊圖形的情況都要去討論一下.不

14、同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.解：（1），點為中點，（2），即關于的函數關系式為：（3）存在，分三種情況：ABCDERPHQM21當時，過點作于，則，ABCDERPHQ，ABCDERPHQ當時，當時，則為中垂線上的點，于是點為的中點，綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形【總結】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數型動態幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數的計算能力。解決這類問題需要注意這么幾個點：首先和純動態幾何題一樣，始終把握在變化中不動的量將函數的變量放在同一組關系中建立聯系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯系起來的相

15、似三角形組來構造比例關系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計算環節認真細心，做好每一步。第二部分 發散思考【思考1】如圖所示，菱形的邊長為6厘米，從初始時刻開始，點、同時從點出發，點以1厘米/秒的速度沿的方向運動，點以2厘米/秒的速度沿的方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止運動，設、運動的時間為秒時，與重疊部分的面積為平方厘米（這里規定：點和線段是面積為的三角形），解答下列問題： （1）點、從出發到相遇所用時間是 秒；（2）點、從開始運動到停止的過程中，當是等邊三角形時的值是 秒；PQABCD（3）求與之

16、間的函數關系式【思路分析】此題一二問不用多說，第三問是比較少見的分段函數。需要將x運動分成三個階段,第一個階段是0X3，到3時剛好Q到B.第二階段是3X6，Q從B返回來.第三階段則是再折回去.根據各個分段運動過程中圖形性質的不同分別列出函數式即可.【思考2】已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.(1)填空：菱形ABCD的邊長是 、面積是 、 高BE的長是 ；(2)探究下列問題：若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點

17、Q在線段BA上時，求APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值； 若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請探究當t=4秒時的情形，并求出k的值. 【思路分析】依然是面積和時間的函數關系，依然是先做垂線，然后利用三角形的比例關系去列函數式。注意這里這個函數式的自變量取值范圍是要去求的，然后在范圍中去求得S的最大值。最后一問翻折后若要構成菱形，則需三角形APQ為等腰三角形即可，于是繼續分情況去討論就行了?！舅伎?】已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方

18、向以1厘米/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運動的時間為秒（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為求四邊形的面積隨運動時間變化的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍CPQBAMN【思路分析】 第一問就是看運動到特殊圖形那一瞬間的靜止狀態，當成正常的幾何題去求解。因為要成為矩形只有一種情況就是PM=QN，所以此時MN剛好被三角形的高線垂直平分，不難。第二問也是較為明顯的分段函數問題。首先是N過AB中點之前，其次是N過中點之后同時M沒有過中

19、點，最后是M,N都過了中點，按照這三種情況去分解題目討論。需要注意的就是四邊形始終是個梯形，且高MN是不變的，所以PM和QN的長度就成為了求面積S中變化的部分。這一類題目計算繁瑣，思路多樣，所以希望大家仔細琢磨這8個經典題型就可以了，中考中總逃不出這些題型的。只要研究透了，面對它們的時候思路上來的就快，做題自然不在話下了。第三部分 思考題解析【思考1解析】解：（1）6 （2）8 （3）當0時，Q1ABCDQ2P3Q3EP2P1O 當3時，= 當時，設與交于點(解法一)過作則為等邊三角形 （解法二）如右圖，過點作于點，于點過點作交延長線于點又P3OABCDQ3GHF又【思考2解析】解：（1）5 , 24, （2）由題意，得A