1、第三節函數的奇偶性與周期性函數的奇偶性與周期性結合具體函數，了解函數奇偶性與周期性的含義知識點一函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱易誤提醒1判斷函數的奇偶性，易忽視判斷函數定義域是否關于原點對稱定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件2判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(x)f(x)，而不能說存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函數奇

2、偶性判定時，利用函數在定義域某一區間上不是奇偶函數而否定函數在整個定義域上的奇偶性是錯誤的必記結論1函數奇偶性的幾個重要結論：(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)0，xD，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集(4)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性2有關對稱性的結論：(1)若函數yf(xa)為偶函數，則函數yf(x)關于xa對稱若函數yf(xa)為奇函數，則函數yf(x)關于點(a,0)對

3、稱(2)若f(x)f(2ax)，則函數f(x)關于xa對稱若f(x)f(2ax)2b，則函數f(x)關于點(a，b)對稱自測練習1函數f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()A奇函數 B偶函數C非奇非偶函數 D既奇又偶函數2(2015·石家莊一模)設函數f(x)為偶函數，當x(0，)時，f(x)log2x，則f()()A B.C2 D23若函數f(x)x2|xa|為偶函數，則實數a_.知識點二函數的周期性1周期函數對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期2最小正周期如

4、果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫作f(x)的最小正周期必記結論定義式f(xT)f(x)對定義域內的x是恒成立的若f(xa)f(xb)，則函數f(x)的周期為T|ab|.若在定義域內滿足f(xa)f(x)，f(xa)，f(xa)(a>0)則f(x)為周期函數，且T2a為它的一個周期對稱性與周期的關系：(1)若函數f(x)的圖象關于直線xa和直線xb對稱，則函數f(x)必為周期函數，2|ab|是它的一個周期(2)若函數f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，2|ab|是它的一個周期(3)若函數f(x)的圖象關于點(

5、a,0)和直線xb對稱，則函數f(x)必為周期函數，4|ab|是它的一個周期自測練習4函數f(x)對于任意實數x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5)_.考點一函數奇偶性的判斷|判斷下列函數的奇偶性(1) f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x； (4)f(x)；(5)f(x)函數奇偶性的判定的三種常用方法1定義法：2圖象法：3性質法：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇考點二函數的周

6、期性|設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x2)f(x)當x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 017)判斷函數周期性的兩個方法(1)定義法(2)圖象法已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，若對于x0，都有f(x2)，且當x0,2)時，f(x)log2(x1)，則求f(2 015)f(2 017)的值為_考點三函數奇偶性、周期性的應用|高考對于函數性質的考查，一般不會單純地考查某一個性質，而是對奇偶性、周期性、單調性的綜合考查歸納起來常見的命題探究角度有：1已知奇偶性求

7、參數2利用單調性、奇偶性求解不等式3周期性與奇偶性綜合4單調性、奇偶性與周期性相結合探究一已知奇偶性求參數1(2015·高考全國卷)若函數f(x)xln(x)為偶函數，則a_.探究二利用單調性、奇偶性求解不等式2(2015·高考全國卷)設函數f(x)ln(1|x|)，則使得f(x)>f(2x1)成立的x的取值范圍是()A. B.(1，)C. D.探究三周期性與奇偶性相結合3(2015·石家莊一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)<1，f(5)，則實數a的取值范圍為()A(1,4) B(2,0) C(1,0) D(1,2)探究四單

8、調性、奇偶性與周期性相結合4已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區間0,2上是增函數，則()Af(25)<f(11)<f(80) Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25) Df(25)<f(80)<f(11)函數性質綜合應用問題的三種常見類型及解題策略(1)函數單調性與奇偶性結合注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性(2)周期性與奇偶性結合此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解(3)周期性、奇偶性與單調性結

9、合解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解2.構造法在函數奇偶性中的應用【典例】設函數f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm_.思路點撥直接求解函數的最大值和最小值很復雜不可取，所以可考慮對函數整理化簡，構造奇函數，根據奇函數的最大值與最小值之和為零求解方法點評在函數沒有指明奇偶性或所給函數根本不具備奇偶性的情況下，通過觀察函數的結構，發現其局部通過變式可構造出奇偶函數，這樣就可以根據奇偶函數特有的性質解決問題跟蹤練習已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，則f(2)等于()A26B18 C10 D10A組考點能力演練1(2015·陜西一檢

10、)若f(x)是定義在R上的函數，則“f(0)0”是“函數f(x)為奇函數”的()A必要不充分條件 B充要條件C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件2(2015·唐山一模)已知函數f(x)xlog21，則ff的值為()A2 B2 C0 D2log23設f(x)是定義在R上的周期為3的函數，當x2,1)時，f(x)，則f()A0 B1 C. D14在R上的奇函數f(x)滿足f(x3)f(x)，當0<x1時，f(x)2x，則f(2 015)()A2 B2 C D.5設奇函數f(x)在(0，)上是增函數，且f(1)0，則不等式xf(x)f(x)<0的解集為()Ax|1<x

11、<0，或x>1 Bx|x<1，或0<x<1Cx|x<1，或x>1 Dx|1<x<0，或0<x<16已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(2)1，且對任意的xR，都有f(x3)f(x)，則f(2 017)_.7函數f(x)為奇函數，則a_.8已知函數f(x)在實數集R上具有下列性質：直線x1是函數f(x)的一條對稱軸；f(x2)f(x)；當1x1<x23時，f(x2)f(x1)(x2x1)<0，則f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)從大到小的順序為_9已知函數f(x)是奇函數(1)求實數m的值；(2)若

12、函數f(x)在區間1，a2上單調遞增，求實數a的取值范圍 10函數yf(x)(x0)是奇函數，且當x(0，)時是增函數，若f(1)0，求不等式f<0的解集B組高考題型專練1(2014·高考新課標全國卷)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數 B|f(x)|g(x)是奇函數Cf(x)|g(x)|是奇函數 D|f(x)g(x)|是奇函數2(2014·高考安徽卷)設函數f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x當0x<時，f(x)0，則f()A. B.C0 D3(2015&#

13、183;高考廣東卷)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是()Ay ByxCy2x Dyxex4(2015·高考天津卷)已知定義在R上的函數f(x)2|xm|1(m為實數)為偶函數記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關系為()Aa<b<c Ba<c<bCc<a<b Dc<b<a5(2015·高考湖南卷)設函數f(x)ln(1x)ln(1x)，則f(x)是()A奇函數，且在(0,1)上是增函數B奇函數，且在(0,1)上是減函數C偶函數，且在(0,1)上是增函數D偶函數，且在(0,1)

14、上是減函數答案:1.解析：由知x>1，定義域不關于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數答案：C2.解析：因為函數f(x)是偶函數，所以f()f()log2，故選B.答案：B3.解析：f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0對于xR恒成立，故a0.答案：04.解：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：考點一解：(1)由得x±1，f(x)的定義域為1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數又是偶函數(2)函數f(x)的定義域為，不關于坐標原

15、點對稱，函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數(3)f(x)的定義域為R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)為奇函數(4)由得2x2且x0.f(x)的定義域為2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(5)易知函數的定義域為(，0)(0，)，關于原點對稱，又當x>0時，f(x)x2x，則當x<0時，x>0，故f(x)x2xf(x)；當x<0時，f(x)x2x，則當x>0時，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函數是偶函數解(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(2)當x2,0時

16、，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函數，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當x2,4時，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得x2,4時，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0，f(0)f(1)f(

17、2)f(2 017)f(0)f(1)011.解析：當x0時，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一個周期f(2 017)f(1)log221，f(2 015)f(2 015)f(3)1，f(2 015)f(2 017)0.答案：01.解析：由題意得f(x)xln(x)f(x)xln(x)，所以x，解得a1.答案：12.解析：函數f(x)ln(1|x|)，f(x)f(x)，故f(x)為偶函數，又當x(0，)時，f(x)ln(1x)，f(x)是單調遞增的，故f(x)>f(2x1)f(|x|)>f(|2x1|)，|x|>|2x1|，解得<x<1，故選

18、A.答案：A3.解析：f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)<1，f(5)，<1，即<0，解得1<a<4，故選A.答案：A4.解析：f(x)滿足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在區間0,2上是增函數，f(x)在R上是奇函數，f(x)在區間2,2上是增函數，f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)<

19、f(80)<f(11)答案：D【典例】解析易知f(x)1.設g(x)f(x)1，則g(x)是奇函數f(x)的最大值為M，最小值為m，g(x)的最大值為M1，最小值為m1，M1m10，Mm2.答案2解析：由f(x)x5ax3bx8知f(x)8x5ax3bx，令F(x)f(x)8可知F(x)為奇函數，F(x)F(x)0.F(2)F(2)0，故f(2)8f(2)80.f(2)26.答案：A1.解析：f(x)在R上為奇函數f(0)0；f(0)0f(x)在R上為奇函數，如f(x)x2，故選A.答案：A2.解析：由題意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1)，所以f(x

20、)1為奇函數，則f1f10，所以ff2.答案：A3.解析：因為f(x)是周期為3的周期函數，所以fff4×221，故選D.答案：D4.解析：由f(x3)f(x)得函數的周期為3，所以f(2 015)f(672×31)f(1)f(1)2，故選A.答案：A5.解析：奇函數f(x)在(0，)上是增函數，f(x)f(x)，xf(x)f(x)<0，xf(x)<0，又f(1)0，f(1)0，從而有函數f(x)的圖象如圖所示：則有不等式xf(x)f(x)<0的解集為x|1<x<0或0<x<1，選D.答案：D6.解析：由f(x3)f(x)得函數f(

21、x)的周期T3，則f(2 017)f(1)f(2)，又f(x)是定義在R上的偶函數，所以f(2 017)f(2)1.答案：17.解析：由題意知，g(x)(x1)(xa)為偶函數，a1.答案：18.解析：由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，即函數f(x)是周期為4的函數，由知f(x)在1,3上是減函數所以f(2 015)f(3)，f(2 016)f(0)f(2)，f(2 017)f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)9解：(1)設x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數，所以f(x)f(x)，于是x<0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調遞增，結合f(x)的圖象知所以1<a3，故實數a的取值范圍是(1,310.解：yf(x)是奇函數，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函數，yf(x)在(，0)上是增函數，若f<0f(1)，即0<x<1，解得<x<