1、不等式知識點歸納.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值解分式不等式工上aa 0的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，X g x的系數變為正值,標根及奇穿過偶彈回）；（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是分類討論、平方轉化或換元轉化）；（4）解含參不等式常分類等價轉化，必要時需分類討論.注意：按參數討論，最后按參數取值分別說明其解集，但若按未知數討論，最后應求并集、利用重要不等式a b 2癡以及變式ab （貸）2等求函數的最值時，務必注意 a, b R （或a, b非負），且 等號

2、成立”時的條件是積ab或和a+b其中之一應是定值（一正二定三 等四同時）.-2 TT、.常用不等式有：，a/ 巳上 疝 皆不（根據目標不等式左右的運算結構選用）a、b、 a bc R, a2 b2 c2 ab bc ca (當且僅當a b c時，取等號)四、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數）：a3 b3 c 3> 3abc （ a b c 0等式即可成立，a b c<a b c 0寸取等）；五、最值定理（積定和最小）x,y 0,由x 丫>267,若積xy P（定值），則當x y時和x y有最小值2 p ；（和定積最大）x, y 0,由x 丫>2歷若和x y S（

3、定值），則當x y是積xy有最大值Ts2.11.【推廠】：已知a, b, x, y R ,若ax by 1 ,則有則一 一的最小值為：x yby axb > ax yb 2、ab ( a b)211(ax by)(- -)ax y等式到不等式的轉化：已知x>0, y>0, x+ 2y+2xy=8,則 x+2y 的最小值是即(x 2y)(x 2y) 8 0(x 2y 8)(x 2y 4) 04解得x 2y8(舍)或x 2y 4故x+2y的最小值是4如果求 xy 的最大值，則 2xy 8 (x 2y) x 2y 8 2xy 2j2xy ,然后解關于 寸討的一元二次不等式，求 xy

4、的范圍，進而得到 xy的最大值六、比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數性質法、綜合法、分析法和放縮法(注意：對整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑，配方、函數單調性等”， J ana一- ,» 一 一 uaa一. ."I- > I - - - - - 1-" ="-1 WWWWhWHrWWWWWWUWMVWWbWVWWWWWWW對放縮的影響).七、含絕對值不等式的性質：a、b 同號或有 0|a b | |a| |b| |a | |b| |a b|;a、b異號或有 0|a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.

5、八、不等式中的函數思想不等式恒成立問題含參不等式包成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，具以覆蓋 知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這 類問題的過程中涉及的 函數與方程”、化歸與轉化”、數形結合”、分類討論”等數學思想對鍛 煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談 談這類問題的一般求解策略一、函數法(1) 一次函數 f(x) kx b,x m,n有:(2) 一元二次函數f (x) ax2bx0(a 0,x R)有:D f (x)0對x R包成立00;2) f(x)0對x R包成立(3)不

6、等式中x的取值范圍有限制,則可利用根的分布解決問題。例D設f (x)x2 2mx 2 ,當 x1,)時，f (x) m包成立，求實數m的取值范圍。解：設 F(x) x2 2mx 2 m ,則當 x 1,)時,F(x)0包成立當 4(m 1)(m 2) 0即 2 m 1時，F (x) 0顯然成立；當 0時，如圖，F(x) 0包成立的充要條件為：0F( 1) 0 解得 3 m 2。綜上可得實數 m的取值范圍為3,1)。三1 2二、最值法：將不等式包成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：(1) f (x) a 恒成立a f (x)min(2) f (x) a 恒成立a f(x)m

7、ax例2.已知兩個函數f(x) 8x2 16x k, g(x) 2x3 5x2 4x,其中k為實數.(1)若對任意的x3,3,都有f (x) g(x)成立，求k的取值范圍；(2)若對任意的X、x23,3 ,都有f(x1)g(x2),求k的取值范圍.(3)若對于任意Xi3,3，總存在Xo3,3使得g(x0) f(x1)成立，求k的取值范圍.解：令 F(x) g(x) f (x) 2x3 3x2 12x k , 問題轉化為F(x) 0在x 3,3上恒成立，即F(x)min0即可(2)由題意可知當x3,3時，都有f(x)max g(x)min.(3)于任意Xi3,3，總存在Xo3,3使得g(Xo)

8、f(x1)成立，等價于f x的值域是g X的值域的子集，三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。 一般地有：1) f (x) g(a)(a為參數)包成立g(a) f(x)max2) f (x) g(a)(a為參數)包成立g(a) f (x)max例3:已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數，且f(1)=1若m,n 1,1, m n 0時f(m) f(n) 0,若 m n解：題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義

9、在卜1,1上的增函數，故f(x)在卜1,1上的最大值為f(l)=l，則f(x) t2 2at 1對于所有的x 1,1,a 1,1恒成立 1 122at 1對于所有的a 1,1恒成立，即2ta t20對于所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2 ,只要g(1) 0 ,g(1)0t2或 t2或t 0 .四、變換主元法理含參不等式包成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例4:,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0包成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，則問題可轉化為一次不等式(x 2)a x2

10、4x 4 0在a 1,1上包成立的問題。解：令f(a) (x 2)a x2 4x 4 ,則原問題轉化為f (a) 0恒成立(a 1,1)。當x 2時，可得f(a) 0,不合題意。當x 2時，應有f(1) 0解之得x 1或x 3。 f( 1) 0故x的取值范圍為(,1) (3,)。五、數形結合法數學家華羅庚曾說過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式包成立問題中它同樣起著重要作用。函數圖象和不等式有著密切的聯系：1) f (x) g(x)函數f(x)圖象恒在函數g(x)圖象上方；2) f (x) g(x)函數f (x)圖象恒在函數g(x)圖象下上方.例5.設

11、函數f (x)a J x24x,g(x) ax a ,若恒有f (x) g(x)成立，試求實數a的取值范圍.解：由題意得 f(x)g(x) 、.x24x ax 2a,令 y1 / x2 4x ，y2ax 2a .可化為(x 2)2 y2 4(0 x 4,y1 0),它表示以(2,0)為圓心，2J 為半徑的上半圓；表示經過定點(-2,0),以a為斜率的直線，要 使f(x) g(x)包成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如圖所示).當直線與半圓相切時就有12a 2：1 2,即a 已 由圖可知，要使f(x) g(x)包成立，實數a的取值 ,1a23范圍是a二.3六、分類討論在給出的不等

12、式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例6: x 2,2時，不等式x2 ax 3 a恒成立，求a的取值范圍。解：設f x x2 ax 3 a,則問題轉化為當x 2,2時，f x的最小值非負。一 a .7(1)當2即：a 4時，f x min f 27 3a 0 a 又a 4所以a不存在；2rnin3aaa2(2)當 2 a 2 即：4 a 4時，f x mirl f 3 a 06 a 2又2min 244 a 44 a 2a(3)當2即：a4時，f x f 2 7 a 0 a 7又a 47 a 42min綜上所得：7 a 2例7:已知a是實數，函數f (x) 2ax2 2x 3 a ,如果函數y f(x)在區間1,1上有零點，求a的取值范圍.解析：由函數f(x)的解析式的形式，對其在定區間上零點問題的解決需要考慮它是一次函數，還是二次函數，因而需就a 0和a 0兩類情況進行討論。 2解：函數y f(x)在區間卜1, 1上有零點，即萬程f (x) 2ax 2x 3 a =0在-1, 1上有解，a=0時，