1、數學 必修一 知識點總結一：集合有關概念1. 集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。2. 一般的研究對象統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。3. 集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性：（2）元素的互異性： 中元（3）元素的無序性 素各表示什么？ 3.集合的表示： 如：我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來 a,b,c2）描述法：將集合中元素的公共屬性描述

2、出來，寫在大括號內表示集合。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>2語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55、元素與集合的關系： （1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aÎA （2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a Au 注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集） 記作：N ，正整數集 N*或 N+ ， 整數集Z ，有理數集Q ，實數集R二：集合間的基本關系1.“包含

3、”關系子集（1）定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。記作：（或B）注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關系：A=B (55，且55，則5=5)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”即： 任何一個集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) 或若集合AÍB，存在xB且x A，則稱集合A是集合B的真子集

4、。如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三：集合的運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元

5、素，我們就稱這個集合為全集，記作：U設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，CSA=韋恩圖示SA性 質A A=A A =A B=BAA BA A BBAUA=A AU=AAUB=BUA AUBAUBB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=U A(CuA)=四：函數的有關概念1 函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(

6、x)，xA（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；（2）與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域2 函數的三要素：定義域、值域、對應法則3 函數的表示方法：（1）解析法：明確函數的定義域(2）圖像法：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。（3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。4、函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)

7、均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法 A、描點法： B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換。 (3) 函數圖像變換的特點： 1）函數y=f(x) 關于X軸對稱y=-f(x) 2）函數y=f(x) 關于Y軸對稱y=f(-x) 3）函數y=f(x) 關于原點對稱y=-f(-x)五：函數的解析表達式，及函數定義域的求法1、函數解析式子的求法（1）、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）、求函數的解析式的主要方法有： 1）

8、代入法：2）待定系數法：3）換元法：4)拼湊法：2定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.3、相同函數的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）定義域一致 (兩點必須同時具備)4、區間的概念：（1

9、）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示六：1值域 : 先考慮其定義域（1）觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域； （2）反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數關系式化成X關于Y的函數關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。(3)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。 (4)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。七：1.分段函數 （1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（2）各部分的自變量的取值情況（3）分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域

10、的并集補充：復合函數 如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA) 稱為f、g的復合函數。（4）常用的分段函數 1）取整函數： 2）符號函數： 3）含絕對值的函數：2映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要

11、求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數八 ：函數的單調性(局部性質)及最值1、增減函數（1）設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.（2）如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注

12、意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種2、 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.3、函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數fg(x)的單調性與構成它

13、的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 九：函數的奇偶性（整體性質）（1）、偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數（2）、奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數（3）、具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函

14、數；若對稱，則進行下面判斷；確定f(x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數（4）利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性 1）在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數； 2）復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。 注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數

15、.若對稱，(1)再根據定義判定;(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .十：函數最值及性質的應用1、函數的最值 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值 利用圖象求函數的最大（小）值 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞增，在區間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞減，在區間b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；2、函數的奇偶性與單調性 奇函數在關于原點對稱的區間上

16、有相同的單調性； 偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性。3、判斷含糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。4、絕對值函數求最值，先分段，再通過各段的單調性，或圖像求最值。5、在判斷函數的奇偶性時候，若已知是奇函數可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數為奇函數。（高一階段可以利用奇函數f(0)=0）。十一：1、指數與指數冪的運算：復習初中整數指數冪的運算性質：aman=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn2、根式的概念：一般地，若，那么叫做的次方根，其中>1，且*當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數

17、，負數的n次方根是一個負數。此時，a的n次方根用符號 表示。當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數。此時正數a的正的n次方根用符號表示，負的n的次方根用符號表示。正的n次方根與負的n次方根可以合并成（a>0）。注意：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數時，當是偶數時，式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數。 3、 分數指數冪 正數的分數指數冪的，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義4、 有理數指數冪的運算性質（1）·（2）（3） 十二：指數函數的性質及其特點：a>10<a<1定義域 R定義域 R值域y0值域

18、y0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；（3）對于指數函數，總有；（4）當a>1時，若X1<X2 ,則有f(X1)<f(X2)。十三：對數函數（一）對數1對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：（ 底數， 真數， 對數式）說明： 注意底數的限制，且； ； 注意對數的書寫格式兩個重要對數： 常用對數：以10為底的對數； 自然對數：以無理數為底的對數的對數u 指數式與對數式的互化冪值 真數 N b 底數 指數 對數（二）對數的運算性質如果，且，那么： ·； ； 注意：換底公式： （，且；，且；）利用換底公式推導下面的結論：（1）； （2）（三）對數函數1、對數函數的概念：函數且叫做對數函數，其中是自變量，函數定義域（0，+）注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數 對數函數對底數的限制：，且2、對數函數的性質：a>10<a<1定義域x0定義域x0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）（四）冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為