1、第二章 線(xiàn)性方程組的直接解法2第三章 解線(xiàn)性方程組的迭代法7第五章 非線(xiàn)性方程和方程組的數(shù)值解法10第六章 插值法與數(shù)值微分14第七章 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近19第八章 數(shù)值積分23第九章 常微分方程的數(shù)值解法28第二章 線(xiàn)性方程組的直接解法1、用LU分解法求如下方程組的解（1），（2）解：（1）（2）2、對(duì)4階矩陣進(jìn)行LU分解解：3、用高斯列主元素消去法解線(xiàn)性方程組解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換同解方程組為回代求解得此種方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法得同解方程組回代求解得得同解方程組回代得4、用Jordan消去法解矩陣方程，其中：，解：容易驗(yàn)證，故A可逆，有 .因此，寫(xiě)出方程組的增廣矩

2、陣，對(duì)其進(jìn)行初等變換得5、用LU分解法求解如下方程組解：第三章 解線(xiàn)性方程組的迭代法1、若Jacobi迭代收斂，求的范圍解：（1）、時(shí)的Jacobi迭代矩陣Jacobi迭代收斂（2）、Jacobi迭代矩陣=Jacobi迭代收斂2、討論的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收斂性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩陣則Jacobi迭代收斂Gauss-Seidel迭代矩陣Gauss-Seidel迭代發(fā)散3、討論下列迭代法的收斂性的G-S迭代解：，故B的譜半徑，由迭代法收斂的充分必要條件知該迭代格式收斂第五章 非線(xiàn)性方程和方程組的數(shù)值解法1、給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切，存在且證明：，迭代過(guò)程均收

3、斂于的根證明：的等價(jià)形式為則對(duì)應(yīng)的迭代函數(shù)易證有根，故迭代過(guò)程收斂于的根2、證明：所產(chǎn)生的序列收斂于的根證：考慮區(qū)間所得序列收斂于的根，將看作新的迭代初值，則由知序列必收斂于的根3、利用適當(dāng)?shù)牡袷阶C明證：考慮迭代式則顯然記迭代函數(shù)1° 2°由迭代法的全局收斂定理（壓縮映像原理）知所產(chǎn)生序列收斂于的根在上解方程得惟一根x=2。4、研究求的牛頓公式證明：對(duì)一切，且單調(diào)遞減，從而收斂。分析，令由牛頓公式證：?jiǎn)握{(diào)遞減有下界，必收斂5、設(shè)，應(yīng)如何選取才能使迭代式具有局部收斂性解：迭代格式局部收斂，設(shè)迭代序列的極限值為，則有得當(dāng)由局部收斂定理知迭代格式局部收斂于當(dāng)由局部收斂定理知迭

4、代格式局部收斂于6、給出計(jì)算的迭代公式，討論迭代過(guò)程的收斂性并證明解：令其中，中有n條分?jǐn)?shù)線(xiàn)則：令顯然，我們不妨在上討論迭代式的收斂性：由全局收斂定理（壓縮映像原理）所得序列必收斂于方程的根。解方程得即：第六章 插值法與數(shù)值微分1、設(shè)，且，求證證：以為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性插值，其插值多項(xiàng)式為由插值余項(xiàng)定理2、試構(gòu)造一個(gè)三次Hermite插值多項(xiàng)式，使其滿(mǎn)足：解：（法一）首先構(gòu)造如下的基函數(shù)表函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值01011000010000100001則：（法二）：令則3、確定一個(gè)不高于四次的多項(xiàng)式H(x)，使得：解：（法一）首先構(gòu)造如下的基函數(shù)表函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值012011000001000001000001

5、000001則：（法二）令則得4、求三次多項(xiàng)式，使得解：令則5、求一個(gè)次數(shù)3的多項(xiàng)式，使得，解：令則由（1）得由（2）得由（3）得 （5）由（1）得 （6）把、代入（5）、（6）得、6、給出概率積分的數(shù)據(jù)表如下：0.460.470.480.490.4846550.4937450.5027500.511668試用拉格朗日插值法計(jì)算時(shí)，該積分值等于多少？解：記將看成的函數(shù)，以為插值節(jié)點(diǎn)作的3次插值多項(xiàng)式:當(dāng)時(shí)，概率積分7、利用在處函數(shù)值計(jì)算的近似值并估計(jì)誤差.解： 過(guò)點(diǎn)（100，10）、（121，11）、（144，12），令則的二次Lagrange插值多項(xiàng)式第七章 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近1、用最小二乘

6、法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合192531384419.032.349.073.397.8解：（法一）建立超定方程組即：解得（法二）利用公式建立正規(guī)方程組2、求形如的經(jīng)驗(yàn)方式，使它能和下表數(shù)據(jù)相擬合1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46解：對(duì)經(jīng)驗(yàn)方式作變換，有，令，為了用最小二乘法求出轉(zhuǎn)化為1.001.251.501.752.001.6291.7561.8762.0082.135（法一）建立超定方程組即：得正規(guī)方程組即：解之得：3、解超定方程組解：由得正規(guī)方程組即：解之得第八章 數(shù)值積分1、用復(fù)化梯形求積公式求的近似值，問(wèn)要將分成多少等分

7、才能保證結(jié)果有四位有效數(shù)字，若用復(fù)化拋物線(xiàn)公式呢？解：要求結(jié)果有四位有效數(shù)字此處誤差要使只需若用復(fù)化拋物線(xiàn)公式，則故：用復(fù)化梯形求積公式至少需要41等分才能保證結(jié)果有四位有效數(shù)字，而用復(fù)化拋物線(xiàn)公式只需2等分就可以保證結(jié)果有四位有效數(shù)字。2、對(duì)于積分，當(dāng)要求誤差小于時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算所需節(jié)點(diǎn)數(shù)是多少？解：要使，只需即：要使誤差小于，至少要取5176個(gè)節(jié)點(diǎn)3、用Romberg方法求，使誤差不超過(guò)解：01.859140911.75393111.718861221.72722191.71831881.718282731.72051861.71828421.71828181.71828184、用R

8、omberg求積法求積分的近似值要求誤差不超過(guò)解：，則04.000000012.00000000.53.20000000.253.76470590.752.56000000.1253.93846150.6252.87640450.8752.2654867按公式計(jì)算如下：03.000000013.10000003.133333323.13117653.14156783.142117633.13898853.14159253.14159413.141585843.14094163.14159273.14159273.1415926故為所求近似值5、分別用拋物線(xiàn)公式和三點(diǎn)高斯公式計(jì)算積分，并比較它們

9、的精度，準(zhǔn)確值為0.478267254解：設(shè)由拋物線(xiàn)（辛普森）公式由三點(diǎn)高斯公式而故與準(zhǔn)確值比較知：Simpson公式的計(jì)算結(jié)果無(wú)有效數(shù)字；三點(diǎn)高斯公式有兩位有效數(shù)字。6、確定如下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出代數(shù)精度解：當(dāng)時(shí)，左邊 右邊 左邊=右邊 當(dāng)時(shí)，左邊 右邊 當(dāng)時(shí)，左邊要使求積公式具有2次代數(shù)精度，當(dāng)且僅當(dāng)即得或?qū)⒋蠓e公式得當(dāng)時(shí)，左邊右邊左邊右邊，故此時(shí)求積公式具2次代數(shù)精度；將代入求積公式得當(dāng)，左邊右邊左邊右邊，故此時(shí)求積公式具2次代數(shù)精度綜上：時(shí)，所得求積公式具最高代數(shù)精度2。第九章 常微分方程的數(shù)值解法1、用Euler預(yù)估校正格式求解初值問(wèn)題要求步長(zhǎng)，計(jì)算的

10、近似值解：設(shè)Euler預(yù)估校正式為由計(jì)算得：2、用歐拉法解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)，保留5位有效數(shù)字，并與準(zhǔn)確解相比較解：歐拉公式如下：即：計(jì)算結(jié)果如下表所示10.100.0487710.04877120.20.100000.181270.08126930.30.280000.362370.08237240.40.496000.550670.05467150.50.697600.713500.01589560.60.848800.834700.01409970.70.939520.913710.02581480.80.981860.959240.03713290.90.996370.982580.013

11、792101.00.999640.993260.0063783、對(duì)初值問(wèn)題步長(zhǎng)為時(shí)，用梯形公式得近似解，時(shí)，收斂于準(zhǔn)確解解：又，故（準(zhǔn)確值）由梯形公式4、取，用改進(jìn)Euler法的預(yù)估校正式求解初值問(wèn)題解：Eute預(yù)估校正式即：由出發(fā)，計(jì)算結(jié)果列于下表00111.01333310.21.0133331.0393031.05100620.41.0510061.0992881.10824830.61.1082481.1733831.17955240.81.1795521.2562161.26013051.01.2601301.3440971.34639561.21.3463955、已知，用Euler

12、公式求各點(diǎn)上的近似值解：取步長(zhǎng)由Euler公式得計(jì)算結(jié)果列于下表00.10.20.30.40.50.60.70.81.000001.000001.010001.029001.05611.090491.131441.178301.230470.91.01.287421.348686、取步長(zhǎng)h=0.1，用Euler法求解如下初值問(wèn)題并與精確解進(jìn)行比較. xEuler法y改進(jìn)的Euler法y精確解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.0959091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.264911