1、數學建模組員：指導老師：方型烤箱上平底鍋最優設計摘 要 眾所周知在烹飪時矩形鍋的熱集中在四角導致食物被烤焦；而在圓鍋熱烘烤是，熱量均勻分布在整個外邊緣從而使食物不會被烤焦。由于缺乏烤箱空間利用效率，圓鍋并不是最好的選擇。我們的任務是解決食物加熱不均勻和容易邊緣烤焦這一難題，提出了一種用于烘烤盤的優化設計。我們要做的是得到平底鍋的熱量分布與固定面積的烤箱中所能放的平底鍋的最大數量和平底鍋的形狀之間的關系，本文將通過建立相關模型，運用Matlab軟件進行求解。問題一，為了說明在一個特定烤盤的熱分布情況，根據熱傳導規律對一個三維對象的推導我們首先構造了在不同形狀下的平底鍋熱分布模型，如方形、正六邊形

2、、圓形等。其次，引入有限元法求解該二維傳遞模型的穩態解。并利用Matlab提供的PDEtool工具得到二維熱傳遞模型的數值解。最后得到不同多邊形烤盤溫度方差表，通過表格我們得到了可用邊緣熱分布的標準差來衡量烤盤熱分布的均價程度。問題二，我們分為三種情況討論:p=1,p=0,0<p<1,我們著重研究0<p<1時的最優解，在這里我們運用遺傳算法對正多邊形進行排布，然后分別計算出時，在p=0.25,p=0.5,p=0.75,p=0.9時正四邊形，正六邊形，正八邊形，圓對應的目標函數值。并依照數據畫出單一變量對應的直方圖或折線圖，最后得到相應的變化趨勢，即動態最優解。問題三，以

3、美食雜志社的身份寫一頁最符合前兩題要求的平底鍋的宣傳廣告。通過描寫平底鍋的用途和圓角矩形型的平底鍋的材料以及外形，用簡潔明了的語言寫出平底鍋在加熱和空間利用率方面比其他平底鍋的優勢。關鍵詞： 熱分布； 二維熱傳遞； 遺傳算法； 最優解 一.問題重述隨著人民生活的日益富裕，大家對食物的追求也越來越多樣。各種烤出來的美食，比如烤煎餅，在一個方形的大烤箱上，可以放上多個平底鍋。從我們的生活常識中可知，如果平底鍋是方形的，那在烤餅時，熱量會集中在四個角上，導致食物的四個角先被烤焦，而同時邊上因受熱不足卻沒熟透。如果這些平底鍋是圓形的，則整個邊沿受熱都會均衡，烤的效果會很理想。但是，現行使用的大部分的烤

4、箱都是方形的，用圓形平底鍋在烤箱內烤東西的話空間利用率會很低。在深入考慮這些問題之前我們先做必要的約定：1. 烤箱是一個寬長之比值為的方形烤箱；2. 每個平底鍋的面積都相同，記為，也就是不管你選擇什么形狀的平底鍋，其面積都不能變；3. 左右兩個底座架子水平地支撐著大型烤箱，烤箱面板的各處受熱均勻。 在此基礎上，我們將通過建立模型來求解以下問題：問題一：建立一個模型，分析不同形狀的平底鍋，例如圓形、方形或者圓跟方之間其他的任意變形，烤東西時的熱量分布情況。問題二：在以下條件下，建立一個模型來選擇最好的平底鍋形狀：條件1. 能在烤箱上放最多的平底鍋；條件2. 使熱量分布的均勻程度最大化；條件3.

5、最好地結合條件1和條件2，假設兩條件分別占權重記為 和，請分析最優選擇結果是如何隨烤爐的寬長比及權重的變化而變化的。問題三：以你的研究結果，以美食雜志社身份向廣大民眾宣傳的角度，寫1頁的宣傳廣告。需要突出你的設計和結果。二.問題分析2.1問題一的分析本題研究的是不同形狀的平底鍋在加熱食物時的熱量分布，要建立一個模型來反映平底鍋的熱量分布情況，首先我們要了解平底鍋受熱時與烤箱和外界空氣之間的熱傳遞方式。在大部分溫度可控的烤箱中，由于箱內氣體溫度可保持恒定，導致食物邊緣烤焦的不均勻熱源主要來自金屬烤盤。故本模型應著重分析烤盤的熱傳遞過程。接著我們可以通過熱傳導方程構造二維熱傳遞模型來進一步分析平底

6、鍋在不同外形下的熱量分布。通過有限元分析法及Matlab軟件來求得該模型穩態解及數值解。2.2問題二的分析本題想要選擇一種平底鍋的形狀，使其既能滿足條件1所要求的在烤箱中盡可能的利用空間，也能滿足條件2提出的熱量分布均勻程度高，面對這樣的情況我們需要對此問題進行最優化處理。而對于此題的最優化問題，我們可以運用遺傳算法進行排樣優化，尋找最優排樣圖。條件3要求的對于條件1與2的權重問題，我們可以先建立一個關于此問題的目標函數，在求得目標函數值最小時的同時確定我們所需要的平底鍋形狀。2.3問題三的分析此題要求以美食雜志社身份攥寫一篇一頁的宣傳廣告，則我們在具體對平底鍋進行描寫時就不能像往常寫作一樣用

7、字過于生硬。在寫此篇文章時，我們要以宣傳通過外形設計的平底鍋的優點為主，盡量要用輕松詼諧的語調讓人看到此篇文章便能抓住我們設計的平底鍋的與眾不同。三.基本假設1.假設烤箱的溫度達到一定值時不再發生變化且導熱性能良好。2.假設平底鍋材質均勻且導熱性能良好，厚度適中。3.假設外界環境的變化不會對結果有太大的影響。4.烤盤溫度逐步增加到保持恒定的過程不是我們主要關注的問題之一，我們的模型只考慮烘烤溫度達到并保持在一個穩定的水平。5. 鍋的材料是均勻和出現物理學各向同性。四.定義與符號說明符號說明導熱系數平底鍋材質密度比熱容熱對流系數導熱體溫度外界溫度平底鍋各面法向熱流密度面積時間內熱源平面單位法向量

8、p權重烤箱長寬比零件編碼DF臟區標志t計數器N零件個數、平底鍋數量面積剩余率邊緣溫度標準差溫度差異程度f目標函數值s平底鍋面積五.模型的建立與求解5.1問題一模型的建立與求解問題一模型建立依據從我們的生活常識中可知，如果平底鍋是方形的，那烤食物時，熱量會集中在四個角上，導致食物的四個角先被烤焦，而同時邊上因受熱不足卻沒熟透。如果這些平底鍋是圓形的，則整個邊沿受熱都會均衡，烤的效果會很理想。根據上述現象，不同形狀的平底鍋的熱量分布是不完全相同的。平底鍋的熱量主要由烤箱提供，此題提供的烤箱是單層的，所以外界的溫度對于平底鍋的熱量分布的影響不容忽視。根據熱力學的基本理論可知，熱傳遞的方式有熱傳導，熱

9、對流和熱輻射。考慮本題的具體情況，此時的平底鍋與烤箱之間的熱傳導方式為熱傳導和熱對流。具體考慮平底鍋接受的熱量傳導方向時，依據烤箱為單層，此時平底鍋的受熱面可以近似看成鍋的底面。此時的平底鍋熱流示意圖如圖1所示。圖1 平底鍋熱流示意圖平底鍋是由導熱性良好的鐵制成，且鍋厚為2mm，則在烤箱中的平底鍋各個面接受的熱流密度相同。但實際上平底鍋的不同部分的熱量不一致的，這主要是由平底鍋與空氣之間的熱對流以及平底鍋金屬材料之間的熱傳導造成的。已知熱傳導方程為. 這方程中各個量表示為：表示平底鍋的密度；表示平底鍋的比熱容；表示平底鍋的溫度；表示平底鍋的熱傳導系數；表示平底鍋的內熱源；. 對于平底鍋，我們可

10、以把它看成單層平壁的穩定熱傳導，且假設其材質均勻，導熱系數視為常量(或取平均溫度下的導熱系數)，根據圖1假設在平底鍋底部的溫度只沿著壁厚度方向變化，是一維熱傳導，等溫面為垂直于軸的平行面。在這些條件的基礎上，我們可得導熱量為，其中；為導熱面積，即垂直于熱流方向的表面積；為平底鍋的厚度。由此可得平底鍋單位時間和面積下的傳導熱量為,既。 為了求解出不同形狀的平底鍋的熱量分布情況，我們將建立模型來反映平底鍋在受熱穩定時這一情況。在此種情況下，可知此時的平底鍋的熱量變化率為。此時傳熱方程為，也可表示為。依據現實情況，在烘烤食物時處于平底鍋邊緣的食物容易烤焦，這很好的說明了平底鍋的邊緣溫度要比內部溫度高

11、。而引起這一現象的原因主要是平底鍋在烤箱上加溫時，不僅鍋的底部會受熱而且鍋的側面也同樣具有溫度。在這種情形中，鍋的側面也會向鍋的底部邊沿傳導熱量。而具體在燒烤時，食物的熱量主要從平底鍋底部獲得，所以對于平底鍋熱量的分布可以近似簡化為其底部熱量的分布情況。已知偏微分方程問題如果不是定義在全空間的話必然在一個區域上，而區域可以有各種形狀此種邊界條件稱之為第二類邊界條件。對于此題的偏微分方程想要研究其邊界熱量情況，我們可以采用第二類邊界條件來進行。單位時間內通過單位面積的熱流量定義為熱流密度，記為 。通過第二類邊界條件可知，此時平底鍋底部邊沿的熱流密度為。問題一模型具體建立過程 經過上述分析過程，我

12、們可以把原先平底鍋的熱量關于時間和三維立體空間的關系簡化成熱量關于時間和二維空間的關系模型。 基于事實依據與相關知識可得，不同形狀的平底鍋的熱量分布情況的模型可表示為：。而平底鍋各參數與邊界條件如下表，以此為標準狀態。表 1 標準狀態下各物理量參數值物理量參數值330/K在模型求解的過程中，在保持看盤面積不變的情況下，我們將多邊形的邊數n從4逐一增加，利用Matlab編程繪出各個多邊形的，并求得各多邊形的頂點坐標，然后在PDEtool工具中繪出多邊形。為了解決偏微分方程，我們需要獲得邊界條件。每個形狀的具有它自己的邊界條件，我們可以得到了各種不同的解決方案。這個解決方案，我們不需要得到解析解，

13、與精確解，而我們只是想找出相對每個形狀的熱分布。因此，我們可以利用Matlab的PDEtool工具來通過與初始值的一些參數設置得到數值解，并顯示每一種形狀的溫度分布，由上述已知數據可以利用PDE畫出各種形狀的平底鍋熱分布圖，如下圖所示。（1）方形PDE求解圖2 方形平底鍋熱分布三維示意圖 圖3 方形平底鍋熱分布三維投影圖 圖4 方形平底鍋邊緣溫度曲線圖由圖3，4可知，從中心到邊緣觀察，色彩變得越來越鮮艷，在四角顯著深紅的顏色，那么溫度也是如此的顯示，也即由中心到邊緣逐漸上升。這樣的結果是準確闡述了在問題重述中所說的現象一致，即四邊形的棱邊和頂角的溫度相同，但四個頂角附近高溫區域更大，所以在烤箱

14、內烘焙蛋糕時，四角最容易烤焦，而這個圖的中心處溫度較低。因為該平底鍋區域的熱量來自五個方向，而從底部的熱量均勻的平面的每一個網格，而其他四個方向不同，因而造成熱量被集中在四個角落。 （2）六邊形PDE求解圖5 六邊形平底鍋熱分布三維示意圖 圖6 六邊形平底鍋熱分布二維投影圖從圖5，6可知，該形狀的熱分布也類似于方形的熱分布，即溫度也是由中心到邊緣逐漸上升（3）八邊形PDE求解圖7 八邊形平底鍋熱分布三維示意圖 圖8 八邊形平底鍋熱分布二維投影圖（4）圓形形PDE求解圖9 圓形平底鍋熱分布三維示意圖 圖10 圓形平底鍋熱分布二維投影圖從圓形的熱分布圖中可以看出，圓形的邊緣溫度分布比較均勻。在保持

15、面積不變的情況下，我們依次做了從正四邊形到正十二邊形及圓的熱分布圖，然后得到邊緣溫度曲線的變化規律，如圖11所示。圖11 不同形狀烤盤的邊緣溫度曲線圖并計算了不同多邊形烤盤的溫度方差表，如下表2所示。表2 不同多邊形烤盤溫度方差表正多邊形邊數（m）整體溫度方差（）邊緣溫度方差（）邊緣溫度標準差（）標幺值44.73812.29131.5137153.18230.69530.83420.551063.05340.34160.58450.386172.73420.17160.41420.273682.61590.09610.31000.204892.55830.07430.27260.1801102

16、.50890.05350.23130.1528122.46550.02010.14180.0937（圓）2.29680.00000.00000從表2可以看出，隨著多邊形邊數的增多，整體溫度方差和邊緣溫度方差均逐漸減小。同時，隨著多邊形邊數增多，整體溫度方差趨于一個恒定值，邊緣溫度方差趨于0。邊緣形狀決定了邊緣分布，同時影響著整體熱分布的平均程度。邊數越多，邊緣越光滑，整體熱分布越平均。因此，可用邊緣熱分布的標準差來衡量烤盤熱分布的均勻程度。然后利用表2得到數據擬合得到多邊形標準差擬合曲線。我們利用matlab擬合工具箱對這些數據進行了擬合以后，建立一條可以反映趨勢的曲線，可以發現在這個曲線圖中

17、溫度分布的標準差一邊呈衰減形勢一邊隨擬合曲線趨于穩定，最后必能趨于均勻，擬合圖如圖12所示。圖12 多邊形標準差擬合曲線由圖中可知溫度分布的均勻程度以圓形最佳，當邊數較少時呈現一個衰減的狀態，本模型及結果很合理的解釋了方形烤盤邊緣受熱不均勻的問題，同時揭示了烤盤形狀由多邊形向圓形逼近時，邊緣熱分布逐漸平均的變化規律。5.2 模型二的建立與求解 模型的建立對于條件一，烤箱內可以放置最多的平底鍋可以看成一個最優布局問題。為了問題的解決，我們采用基于并行遺傳算法的矩形件排樣優化模型，利用遺傳算法對待排零件進行編碼，將矩形件正交排樣問題轉化為排列問題。然后采用一種新的解碼排樣算法基于最低水平線的改進算

18、法，將每一個體編碼轉化為排樣圖，進行適應度評價，以驅動遺傳進化，最終尋找出最優排樣圖。對于條件二，若要實現熱量分布的均勻程度最大化，就需要結合模型一中的邊緣溫度標準差來衡量烤盤熱量分布均勻程度的可行性。為了選擇合適的平底鍋，我們對兩個條件的權重p和(1-p)進行綜合分析，建立一個目標函數，在烤盤寬長比和權重p變化時，求得目標函數最小值同時確定平底鍋的形狀。 結合題目要求和模型一可知，熱量分布的均勻程度隨平底鍋形狀的變化而變化。為優化平底鍋，需要考慮平底鍋的面積剩余率和溫度差異程度。1. 面積剩余率面積剩余率：，其中：A表示平底鍋的面積；N表示平底鍋的數量；s表示烤箱的面積。越小，表示烤箱面積利

19、用率越高。根據鑲嵌原理，矩形和正六邊形可以實現平面的無間隙覆蓋且不重疊，因此可以使烤箱的面積利用率最大。對于其他正多變形，會在以后的討論中分析。2. 烤箱溫度差異程度烤盤溫度差異程度：，其中：為第種多邊形的邊緣溫度標準差；為第種形狀烤盤的數量；為正方形的邊緣溫度標準差，設定為基準值。然后將方差標幺化，使之成為無量綱量。越小，表示烤盤各部分溫度差異性越小，熱量分布越均勻。根據模型一知，正多邊形邊緣的熱量分布平均程度與其邊數的平方成反比，所以圓形烤盤的熱均勻程度最高，矩形的熱均勻程度最低。3.目標函數目標函數為：，其中，R為修正因子，在計算中我們取值為1?；炯s束條件為：.下面根據不同條件進行優化

20、。（1）時，即將平底鍋數量最大化此時只考慮平底鍋的數量，若要使平底鍋數量最多，必須使用緊密排布，所以使用矩形平底鍋能滿足要求。其最大數量為：。（2）時，即使熱量分布程度最均勻此時只考慮熱量分布均勻程度，因此全部使用圓形平底鍋可以使熱量分布最均勻，其數量。（3）時此時要綜合考慮兩個因素，所以使用權重和來衡量用戶的偏向度。目標函數為：，約束條件為：。令烤箱面積恒定為，平底鍋面積恒定為，。 模型的求解1前提條件（1）烤箱的寬度一定，長度理論上無限長，這里設置一個較高的常量。（2）矩形個數有限，設為N。(3) 排樣滿足BL原則，即每一個排入矩形件不得超出板材范圍(范圍內),也不得與其他已排入矩形相干涉

21、，排入過程中盡量向下向左移動，直至不能再移動為止。2.遺傳編碼本文采用十進制編碼方式，染色體長度與待排零件數N相同，染色體中每個基因對應著一個零件編號。把所有零件的編號按排放順序排列成串，即構成一條染色體(一個體)：，相對應的表現為一種排樣圖。其中，P為整數，有正負之分，且，N表示零件的編號，P為負值時表示零件作90度旋轉后再排放。通過交叉和變異操作改變P 的順序和正負號，就改變了零件的排放順序和排放方向，從而產生出不同的排樣圖。3.解碼排樣算法運用基于“最左最下”BL準則的改進后的最低水平線算法。引進臟區標志DF(DF=0表示板材中未排人的區域，DF=1表示板材中已排入區域)，提出如下基于最

22、低水平線的改進算法：Stepl：設置初始板材臟區標志為DF=0，并設置初始零件最高輪廓線和板材最低水平線為板材底邊。Step2：每當要排入一個零件P 時，就對前面已排入的i一1個零件按其在板材中定位后矩形上邊界的Y值從小到大排序，每個Y值對應一條水平線，這些水平線與板材以及其中已排零件相交，得到一個臟區標志DF=0的水平線段組集合HLineSet，其中高度Y相等的為一個水平線段組HLine，每組包含若干條水平線段Segment，這些線段按左端點 值從小到大順序存儲在水平線段組中。首先選取最低水平線段組的第一條線段(即最左邊的一段)，測試該線段的寬度是否大于或等于要排入零件的寬度：(1)如果該線

23、段的寬度大于或等于要排人零件P 的寬度，則將該零件在此位置排放，設置該零件排放區域臟區標志DF=1，更新零件最高輪廓線，并清空當前水平線段組集合，準備排入下一個零件。(2)如果該線段的寬度小于要排人零件P 的寬度，從零件P 所在位置起向后搜索合適排入的零件，即在中搜索： 如果有零件P 的寬度恰好等于該段水平線的寬度W，則將零件Pi插人到P 之前排入，此時個體編碼更新為，設置該零件排放區域臟區標志DF=1，并更新零件最高輪廓線，清空當前水平線段組集合； 如果沒有寬度相等的零件，則在中搜索到零件寬度小于 的第一個零件，將零件插入到之前并排人，設置該零件排放區域臟區標志DF=1，更新個體編碼和零件最

24、高輪廓線，并清空當前水平線段組集合；如果沒有找到可以排人的零件，則選擇最低水平線段組中下一條線段進行上述判斷。若最低水平線段組中所有線段均再找不到能夠排入的零件，則將最低水平線段組提升為其在當前水平線段組集合中的下一個線段組，再次進行上述判斷。重復Step3：直至能排入該零件。重復上述過程，直至所有零件排放完畢。4適應度函數適應度函數為：。其中，為排樣高度，H為事先設定的板材高度值，其值應確保使的值為正。為可再利用余料的面積，是板材的寬度，為排樣高度以下矩形板材的面積。5基于遺傳算法的求解過程步驟1：初始化種群設定遺傳代數的計數器t=0，對n個待排零件的序號進行數學的排列組合隨機產生3m個編碼

25、個體，構成初始種群。步驟2：解碼評價適應度遺傳算法經過對種群中個體進行選擇，交叉，變異操作后，需要對新一代種群進行適應度評價，適應度值的計算就需要對染色體進行解碼，即將染色體串還原為零件在板材上的排布圖。本文采用基于最低水平線的改進算法進行解碼求出當前種群中每個染色體的適應度函數值，并將其按適應度函數值由大到小排序。步驟3：選擇算子對3m個個體構成的初始種群(此時t=0)，根據個體適應度函數值由大到小排序，選擇排在前面的m個個體構成第一代操作種群。同時記憶適應度函數值最大的個體為精英個體并保存。對于第t代種群的m個個體，按適應度函數值大小，進行“輪盤賭”方式的比例選擇 。然后進行精英保留：記憶

26、當前代適應度值最大和最小個體，用上一代保存的精英個體替換當前代適應度值最小個體。同時判斷當前代適應度最大個體是否優于上一代精英個體，若是則改變精英個體為當前代適應度值最大個體，否則不改變。步驟4：交叉算子對進行了選擇運算的當前種群中的m個個體以概率Pc隨機的兩兩配對，進行交叉運算，產生m個個體構成的子代種群。這里采用的交叉方法是單點交叉和雙點交叉兩種。這里以隨機數0或者1來決定采用哪種交叉方法。交叉后所產生的子個體與父個體一起接受適應度評價，選擇適應度值大的兩個個體替代原父代個體。步驟5：變異算子對進行了交叉操作后產生的m個子代個體，本文先后進行兩種變異。第一種是旋轉變異，以概率Pm隨機選取染

27、色體中任意一個位置后，變異該位置零件的旋轉標志，使零件旋轉90度。第二種是位置變異，其包括位置互換變異和位置倒序變異兩種。這里以隨機數0或者1來決定采用哪種位置變異方式。以較小的概率Pm ，在l到n范圍內隨機產生兩個整數1，2，對當前個體中位于1，2的兩個零件對調即為位置互換變異，對當前個體中位于后1， 2之間的零件順序反向即為位置倒序變異。步驟6：停止準則可以設定停止準則為最大繁殖代數MAXGEN，也可以設定為排樣利用率達到某一預定閥值 。本文設定兩種停止準則來驗證算法效果。準則1：最大進化代數時停止；準則2：排樣利用率時停止。重復執行上述遺傳操作(選擇，交叉，變異)，直到最好解的適應度值達

28、到設定的要求或最大進化代數，則終止進化，輸出最優個體及其對應的排樣圖。遺傳算法流程如圖13所示。圖13 遺傳算法流程圖模型具體的求解數值 由于烤箱的寬長之比并沒有固定的數值，所以接下來我們講著重對烤箱款寬長比為進行討論，其中f為我們所求的目標函數的最小值。（1）當時，。此時目標函數值變化情況如表3所示。表3 目標函數值變化情況表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772240.76160.52310.28470.141663.3981200.34090.29560.25040.223282.4962150.25460.30430.35410.383

29、93.0902150.10100.20190.30290.3634（2）時，。此時目標函數值變化情況如表4所示。表4 目標函數值變化情況表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772210.79140.58270.37410.248963.3981140.40050.41490.42920.437982.4962140.26450.32420.38390.41973.0902120.13080.22180.33270.4708（3） 時，。此時目標函數值變化情況如表5所示。表5 目標函數值變化情況表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.

30、75)f(p=0.9)45.4772200.80130.60260.40380.284663.3981160.34090.37510.36960.366382.4962160.24460.28450.32430.34823.0902160.09100.18210.27310.3277從表3，表4，和表5中我們可以看出，四邊形的平底鍋在空間節省率方面效果最佳，其他多邊形的平底鍋隨著他們邊數的增加，具體在烤箱內的擺放數量先遞減后趨于穩定。當條件1和條件2的權重發生變化時，不同的烤箱寬長比下的f值不同，這表明好平底鍋的形狀時要看具體情況而定的。（4） 單一變量下對應的目標函數值變化情況取p=0.5時

31、，改變的值后，各正多邊形的目標函數值的變化情況如圖14所示。圖14 目標函數值分布直方圖取w/l=9/13時，改變p值后，各正多邊形目標函數值的變化情況如圖15所示。圖15 目標函數值分布折線圖由上邊兩個圖可以看出，當長寬比不變時，權重p的變化使最優解和排布方式發生了變化；當權重p不變時，長寬比的變化使最優解和排布方式也發生了變化。對于家庭而言，追求的是質量而不是數量，所以應使熱量分布均勻程度最大化，因此建議采用圓形平底鍋。對于企業而言，在產品數量最優化同時也要使熱量分布較為合適以至于不會過多的影響食品質量，因此我們盡量尋求一個局部的較優解。在已有數據中進行篩選，發現正八邊形平底鍋最為合適。5

32、.3問題三的廣告設計 基于第一問和第二問的模型，我們可以大致得出如圖16所示的平底鍋。圖16 圓角矩形平底鍋平底鍋的廣告設計：平底鍋是一種用來煎煮食物，低鍋邊并且向外傾斜的鐵制平底煮食用器具?，F在廠商普遍改用比較輕的鋁作為制造物料。平底鍋的作用有很多，比如他適合作為焙、烘、蒸、烤或炒海鮮、肉類和家禽類佳肴，煮蔬菜或便于用手指取食的健康小吃。平底鍋的使用方法簡單，只需短短幾分鐘，就能烹調出各式各樣的佳肴。面對平底鍋如此強大的功能，本次介紹的平底鍋在此基礎上更上一層樓。圓角矩形平底鍋是一種稀有品質與不朽傳奇的化身，它擁有謎一般的鋼材配方，是一種極至生活品質與盡善盡美精神的經典象征。懷揣著卓越的創造

33、精神和為追求盡善盡美的心理，圓角矩形平底鍋始終保持著鍋身與人體工程學的完美結合這一特性。他將四個直角改為弧度的設計讓人眼前一亮，極具視覺的美感，讓人們在烹飪的同時體會到了圓角矩形平底鍋帶來的快樂，給我們原本平淡的生活帶來了一抹亮麗的色彩。現在很多人都在為食物粘鍋和烤焦而煩惱，本來一盤好菜因為種種原因變得缺失了美感，更有甚者讓人體的健康遭受到了威脅，圓角矩形平底鍋的出現為你解決所有煩惱。圓角矩形平底鍋獨特的圓弧角形狀，創意的剪裁設計，符合平底鍋的不同幾何形狀的熱量分布在一定條件下隨著邊數的增多和光滑度的增加，平底鍋的整體熱分布越平均。在這一科學原理的理論支持下，圓角矩形平底鍋真正做到了拒絕食物的

34、粘鍋與烤焦，食物在圓角矩形平底鍋的加熱下保證均勻受熱保持其原有的風味。圓角矩形平底鍋比普通平底鍋更完美的體型設計，讓大家吃得安心吃得健康。跟親朋好友聚會時，去野外露營時，在家給家人準備營養餐時，你還在為平底鍋的質量和如何節省烹飪時間而煩惱嗎，圓角矩形平底鍋是你的不二選擇。圓角矩形平底鍋的獨特體型符合了大部分烤箱的要求，在一定表面積的烤箱上圓角矩形平底鍋的弧度角設計讓其盡可能的增加了了烤箱的有限空間的利用率，在有限的范圍內體現了他比其他形狀的平底鍋在放置數量上的優勢，做到了用心做好鍋寸寸皆有用的設計理念,給人們的生活帶去了舒適與便捷。用圓角矩形平底鍋，愉悅你的世界。愛生活，愛圓角矩形平底鍋。全新

35、的體驗從這里開始，你還在等什么，圓角矩形平底鍋，你值得擁有。六.模型的穩定性分析 對于問題一所給出的各種形狀的平底鍋的溫度方差，這些數據都是基于平底鍋的材質是鐵制的，而現在市場上有很多的平底鍋都改為鋁制的。對于這一現象的出現，我們可以看到原先在問題一中出現的值將由原來的50w/K.m變為250w/K.m。此時我們可以看到如表6所示。表6 不同形狀鋁鍋的溫度方差表正多邊形邊數（m）整體溫度方差()邊緣溫度方差（）邊緣標準差（）40.20360.09840.313760.13010.01400.1184 從表6中我們不難看出，當平底鍋的材料變化時他的溫度方差也會跟著發生變化。但同時我們也可以看到問

36、題一所得出的隨著多邊形邊數的增多，整體溫度方差和邊緣溫度方差均逐漸減小，這一規律在平底鍋的材料發生變化時仍然符合。這表明我們的第一問所建立的模型的誤差是很小的，模型的穩定性很好。七.模型評價與推廣7.1模型的優點模型1：我們利用熱傳遞理論，結合烤箱的恒溫工作原理進行合理化假設，在傳導的基礎上建立了含熱對流因素的烤盤傳熱方程。通過簡化并求解其穩態解，得出了烤盤四角過熱的原因以及變化規律，由于同時考慮了熱傳導和熱對流，因而結果更具說服力。除此之外，模型中采用了有限元思想，將難解的數學問題用數值解法求解，求解程序編寫思路簡單，容易實現。模型2：運用遺傳算法對正多邊形進行排布，準確得到烤箱所能容納平底

37、鍋的最多數量。在建立目標函數時，利用修正因子R對兩個指標進行的修正，使得兩個指標隨自變量的變化速度近似相同，以方便加權優化。7.2模型的缺點模型1：在求解前，我們將三維傳熱模型簡化為二維傳熱模型，求得的熱分布與實際結果存在些許誤差。采用有限元的思想，所求的解的精度和劃分的矩形網格數有關，但當網格數較多時，計算的矩陣相應增大，是計算機求解耗時增加甚至無法求解，而這個矛盾又無法調和。模型2：忽略了部分正奇數多邊形，如正五邊形，正七邊形，正九邊形。同時也忽略了邊數的情況，因此優化結果局限在有限種圖形的分析。此外，由于長寬比和權重p的動態變化的額，所以不能確定哪種平底鍋最合適。參考文獻1隗平平，劉斌.

38、基于并行遺傳算法的矩形件排樣優化. 2011,3:78-82. 2李大潛.數學建模及其應用. 2013,2:62-71.3熊靜，張薇. Matlab PDE-tool在熱傳導問題中的應用. 2009,4:42-44.4J.Kidawa-Kukla:Temperature distribution in a rectangular plate heated by amoving heat source, International Journal of Heat and Mass Transfer. 51:865-872.附錄Matlab編程產生正多邊形圖：clear;clc;n=4;%邊數th

39、eta=pi/n;a=sqrt(1/n*tan(theta);r=a/sin(theta);A=zeros(2,n);theta1=theta;for t=1:n A(1,t)=r*cos(theta1); A(2,t)=r*sin(theta1); theta1=theta1+2*theta;endA(1,:)=A(1,:)-A(1,1);A(2,:)=A(2,:)-A(2,1);plot(A(1,:),A(2,:)PDEtool產生方形圖程序：function pdemodelpde_fig,ax=pdeinit;pdetool('appl_cb',9);set(ax,&#

40、39;DataAspectRatio',1 2.0999999999999996 1);set(ax,'PlotBoxAspectRatio',1 0.66666666666666674 2);set(ax,'XLim',-1 0);set(ax,'YLim',-1 0.40000000000000002);set(ax,'XTickMode','auto');set(ax,'YTickMode','auto');% Geometry description:pdepoly(

41、 0,. -1,. -1,. 0,.,. 0,. 0,. -1,. -1,.,. 'P1');set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','P1')% Boundary conditions:pdetool('changemode',0)pdesetbd(4,.'neu',.1,.'0',.'1000')pdesetbd(3,.'neu',.1,.'0',.'1000')pdesetbd(2,.'neu',.1,.'0',.'1000')pdesetbd(1,.'neu',.1,.'0',.'1000')% Mesh generation:setappdata(pde_fig,'Hgrad',1.3);setappdata(pde_fig,'refinemethod','regul