1、排列組合題型總結排列組合問題千變萬化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復遺漏外，還應注意積累排列組合問題得以快速準確求解。1 直 接法1 特殊元素法例 1 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 這 6 個數字組成無重復的四位數，試求滿足下列條件的四位數各有多少個（ 1 ）數字 1 不排在個位和千位（ 2 ）數字1 不在個位，數字6 不在千位。分析： （ 1 ）個位和千位有5 個數字可供選擇A52 ，其余2 位有四個可供選擇A42 ，由乘法原理：A52 A42 =2402 特殊位置法（ 2 ）當

2、1 在千位時余下三位有A53 =60 ， 1 不在千位時，千位有A41 種選法，個位有A41 種，余下的有 A42 ，共有A41 A14 A42 =192 所以總共有192+60=2522 間 接 法 當 直 接 法 求 解 類 別 比 較 大 時 ， 應 采 用 間 接 法 。 如 上 例 中 （ 2 ） 可 用 間 接 法A642A53A42 =252例 2 有五張卡片，它的正反面分別寫0 與 1 ， 2 與 3 ， 4 與 5 ， 6 與 7 ， 8 與 9 ，將它們任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三維書？分析：此例正面求解需考慮0 與 1 卡片用與不用，且用此卡片又

3、分使用 0 與使用 1 ， 類別較復雜，因333而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數C5323A33 個，其中 0 在百位的有222C422 2A22 個 ， 這 是 不 合 題 意 的 。 故 共 可 組 成 不 同 的 三 位 數C5323A33- C4222A22=432 （個）3 插空法 當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例 3 在一個含有8 個節目的節目單中， 臨時插入兩個歌唱節目， 且保持原節目順序， 有多少中插入方法？分析：原有的 8 個節目中含有9 個空檔，插入一個節目后，空檔變為10 個，故有A91A110 =100中插入方法。4 捆綁法 當需排元素中

4、有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？44 分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有A4種排法，而男生之間又有 A4種排法,又乘法原理滿足條件的排法有：A4 x A4 =576練習1.四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種_ 23（C4 A3）2 .某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀2天，其余只參觀一天，則植物園 30天內不同的安排方法有（c29 A；）1（注意連續參觀2天，即需把30天種的連續兩天捆綁看成

5、一天作為一個整體來選有C29其余的就是19所學校選28天進行排列）五.閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共一種。分析：此例的實質是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在 12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有C二種練習1.（a+b+c+d） 15有多少項？當項中只有一個字母時，有C4種（即a.b.c.d而指數只有15故C4 C104O2當項中有2個字母時，有C4而指數和為15,即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為2,C14 即

6、C4 C14當項中有3個字母時C3指數15分給3個字母分三組即可C43C124當項種4個字母都在時C： C134四者都相加即可.練習2.有20個不加區別的小球放入編號為1,2,3的三個盒子里，要求每個盒子內的球數不少編號2數，I可有多少種不同的萬法？ （ C16）493 .不定萬程X1+X2+X 3+X 50=100中不同的整數解有（C99）六.平均分堆問題例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書（a1,a2）,（a3,a4）, （a5,a6）由順序不同可以有 A3 =6種，而這6種分法只算一種分C；C：C2堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有6 4 2 =15種

7、A3練習：1 . 6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2.某年級6個班的數學課，分配給甲乙丙三名數學教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數。七.合并單元格解決染色問題例7 （全國卷（文、理）如圖1 , 一個地區分為 5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數字作答）。分析：顏色相同的區域可能是 2、3、4、5.下面分情況討論：（i）當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于44個元素的全排列數 A2,44（ii）當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形（i）類似同理可

8、得 A 種著色法.（iii）當2、4與3、5分別同色時，將2、4; 3、5分別合并，這樣僅有三個單元格2,43,53 3從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有 C4人3種方法.4 33由加法原理知：不同著色方法共有2 A4 C 4 A3=48+24=72（種）練習1 （天津卷（文）將3種作物種植12345在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共 種（以數字作答）（72）2 .（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃 6分為個部分（如圖3）,現要栽 種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有

9、 種（以數字作答）.（120）8 / 63 .如圖4,用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數.（540 ）4 .如圖5:四個區域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區域的顏色不同，不相鄰區域顏色相同，不相鄰區域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84 ）5.將一四棱錐（圖6）的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用,則不同的染色方法共 種（420）八.遞推法例八一樓梯共10級，如果規定每次只能跨上一級或兩級，要走

10、上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設上n級樓梯的走法為an種，易知ai=1,a 2=2,當n>2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-i種走法，第二類是最后一步跨兩級， 有an-2種走法，由加法原理知：an=a n-1 + an-2,據止匕，a3=a i+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34 ,a9=55,a io=89.故走上 10 級樓梯 共有89種不同的方法。九.幾何問題1 .四面體的一個頂點位 A,從其它頂點與各棱中點取 3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有3種（

11、3 C5 +3=33 ）2 .四面體的棱中點和頂點共 10個點（1）從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？ 333 3（C10-4 C6+4-3 C4+3-6C 4 +6+2 X6=29）（2）以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？三棱錐C104-4C 64-6C44-3C 44=141四棱錐6 X4 X4=96 3 X6=18 共有 114十.先選后排法例9有甲乙丙三項任務，甲需 2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同 的選派方法有（）A.1260 種B.2025 種C.2520 種D.5054 種分析：先從10人中選出2人十一.用轉換法解排列組合問

12、題例10.某人連續射擊8次有四次命中，其中有三次連續命中，按“中”與“不中”報告結果，不同的結 果有多少種.2解 把問題轉化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題.A；=20種例11 .個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法.解 把問題車t化為5個相同的白球不相鄰地插入已經排好的 10個相同的黑土之間的 9個空隙種的排列問 一 5一.題.C9 =126 種例12 從1, 2, 3, , 1000個自然數中任取10個不連續的自然數，有多少種不同的去法.10解 把穩體轉化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。C991例1

13、3 某城市街道呈棋盤形，南北向大街 5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最 短的走法有多少種.解無論怎樣走必須經過三橫四縱，因此，把問題轉化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問3一.題.C7 =35 （種）例14 一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的 走法.解 根據題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題.C*=924 （種）.例15 求（a+b+c ） 10的展開式的項數.解 展開使的項為aabpc丫，且“+什產10 ,因此，把問題轉化為 2個

14、相同的黑球與10個相同的白球的排2列問題.C12=66 （種）例16 亞、歐乒乓球對抗賽，各隊均有5名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方 2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程.那么所有可能出現的比賽過程有多少種？解 設亞洲隊隊員為 a1,a2,a5,歐洲隊隊員為b1, b2,，b5,下標表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序.比賽過程轉化為這10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數為C；0=252 （

15、種）十二.轉化命題法例17圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內若有一交點，則該交點對應于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內接四邊形，則問題化為圓周上的15個不同的點能構成多少個圓內接四邊形，因此這些現在圓內的交點最多有 C2 =1365 （個）十三.概率法例18 一天的課程表要排入語文、數學、物理、化學、英語、體育六節課，如果數學必須排在體育之前, 那么該天的課程表有多少種排法？ 一 一1,分析：在六節課的排列總數中，體育課排在數學之前與數學課排在體育之前的概率相等，均為一，故本21 1例所求的排法種數就是所有排法的一，即一 A=360種2 2十四.除序法 例19用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個數字組成沒有重復數字的七位數中,（1）若偶數2, 4, 6次序一定，有多少個？（2）若偶數2, 4, 6次序一定，奇數1, 3, 5, 7的次序也一定的有多少個?解（1）(2)A7A3A4十五.錯位