1、現代控制理論課程綜合設計單級旋轉倒立擺系統引言單級旋轉倒立擺系統一種廣泛應用的物理模型，其物理模型如下：圖示為單級旋轉倒立擺系統原理圖。其中擺的長度li=1m質量g=0.1kg，橫桿的長度12 =1 m，質量m>=0.1kg，重力加速度g =0.98m/s。以在水平方向對橫桿施加的 力矩M為輸入，橫桿相對參考系產生的角位移齊為輸出。控制的目的是當橫桿在水平方向上旋轉時，將倒立擺保持在垂直位置上。圖1單級旋轉倒立擺系統模型單級旋轉倒立擺可以在平行于紙面 3600的范圍內自由擺動。倒立擺控制系 統的目的是使倒立擺在外力的推動下， 擺桿仍然保持豎直向上狀態。在橫桿靜止 的狀態下，由于受到重力的

2、作用，倒立擺的穩定性在擺桿微小的擾動下， 就會使 倒立擺的平衡無法復位，這時必須使橫桿在平行于紙面的方向通過位移產生相應 的加速度。作用力與物體位移對時間的二階導數存在線性關系，故單級倒立擺系 統是- -個非線性系統。本文綜合設計以以在水平方向對橫桿施加的力矩 M為輸入，橫桿相對參考 系產生的角位移齊為輸出，建立狀態空間模型，在原有系統上中綜合帶狀態觀測 器狀態反饋系統，從而實現當橫桿在旋轉運動時，將倒立擺保持在垂直位置上。2模型建立本文將橫桿和擺桿分別進行受力分析， 定義以下物理量：本文將橫桿和擺桿分別進行受力分析，定義以下物理量：m為加在橫桿上的力矩；m,為擺桿質量； 11為擺桿長度；I,

3、為擺桿的轉動慣量；m2為橫桿的質量；12為橫桿的長度；I2為 橫桿的轉動慣量；J為橫桿在力矩作用下轉動的角度；小為擺桿與垂直方向的夾 角；N和H分別為擺桿與橫桿之間相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立擺 模型受力分析如圖2所示。H圖2倒立擺模型受力分析擺桿水平方向受力平衡方程：d2lN = m 2 （6I20 丄sin -2）dt2（齊I2 橫桿的轉動弧長即位移）擺桿垂直方向受力平衡方程:H - m,gd2dt2沖）擺桿轉矩平衡方程:J,% = H Lsin - nLcos dt222橫桿轉矩平衡方程：d2M - NI2 = J2 Fdt2考慮到擺桿在設定點 2=0附近做微小振動，對上式進行

4、線性化，即sin ，cosr T , & 0，其中J二m，近似線性化得到,3d2N =0 J 0.52! dtH -0.98 = 030 川=H °5“ N °5 11 d爲M - N二丄瞑30 dt2整理上式可得倒立擺的狀態方程:1燒1-卄 14.7s -15M 2 紜 _”_10M 二 0 32本文參數代入計算可得:牟 -4.642611.053M= 12.3796 -9.474M取狀態變量如下:Xi0100TX1 1-0 100-4.6420X2+11.05310001X300012.3790 一N 一1 1-9.474 一M_xjX2yi01X33穩定性和能

5、控性分析3.1 穩定性分析判斷一個系統是否穩定，只需判斷該系統傳遞函數的極點是否都在左半平面。編寫Matlab語句可得該系統的傳遞函數，即A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;C=1,0,0,0；D=0;Gss=ss(A,B,C,D);G1=zpk(Gss)G1 =11.053 (s+2.898) (s-2.898)sA2 (s-3.518) (s+3.518)Contin uous-time zero/pole/ga in model.從結果可以看出，傳遞函數存在一個在復平面右半側的極點，故該系統是不穩

6、定的。3.2 能控性分析判斷系統是否完全能控，只需判斷該系統能控性矩陣是否為滿秩，即Qc =B ABA2B|AnB】若rankQc = n，則該系統是完全能控的。根據 Matlab語句中Qc=ctrb(A,B)， 即A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;C=1,0,0,0；Qc=ctrb(A,B);n1=ra nk(Qc)n1 =4從結果可以看出該系統是完全能控的，可以實現任意極點的配置。3.3 能觀測性分析與判斷能控性類似，只需判斷該系統能觀測性矩陣是否為滿秩，即CAn 1CA -若rankQo = n

7、，該系統是完全能觀測的。借用 Matlab語句中Qo=obsv(A,C)，即A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;C=1,0,0,0;Qo=obsv(A,C);n2=ra nk(Qo)n2 =從結果可以看出該系統是完全能觀測的，故可以配置狀態觀測器4狀態反饋分析4.1原系統Simulink仿真及分析根據現代控制原理，繪制原系統的狀態模擬圖，如圖3所示-9.47412.397-4.64211.053圖3原系統狀態模擬圖運用MATLAB的Simulink來對原系統進行仿真，首先可以得出原系統的Simulink

8、仿真模型如下圖4所示圖4原系統Simulink仿真圖通過Simulink仿真可以得到原系統的零狀態響應，其中初始值2 =0.174 ,M=0，響應曲線如下圖所示Tira offset. Q圖5 原系統二2和M零狀態響應曲線從仿真波形可以看出，在初始擾動情況下，擺桿不會穩定到垂直位置，橫桿 會一直運動，故原系統不穩定，這與上文所述傳遞函數有左半平面極點符合4.2狀態反饋分析r(t)u(t)By(t)x(t)Crtn6所示。x(t)由于原系統是不穩定的，要使系統穩定，需要加入狀態反饋，使系統的極點 全部位于左半平面，狀態反饋的結構圖如圖圖6狀態反饋系統的結構圖控制系統的各種特性及其品質指標在很大程

9、度上是由其閉環系統的零點和極點的位置決定。極點配置問題就是通過對狀態反饋矩陣的選擇，使其閉環系統的極點配置在所希望的位置上，從而達到期望的性能指標的要求。極點配置是一 個非常復雜的問題，是一個工程實踐與理論相結合的問題。我們這里采用一種工 程實踐中經常用到的簡便方法-主導極點法，其基本思路是先根據期望的性能指 標和經驗公式確定一對主導閉環極點，然后將另外的非主導極點放在復平面上遠 離主導極點的位置設倒立擺控制系統期望的性能指標為：阻尼系數E =0.6，調節時間ts=2s。亦即控制系統在任意給定的初始條件下，能夠以適當的阻尼E=0.6 (大約10%勺超調)，在 2s鐘內將擺桿恢復到垂直平衡位置。

10、根據控制理論的經驗公式得到無阻尼自然頻率為：3 n =4/( ts ? E) =4/1.2=3.33P=w n? E由上述條件的很容易構建一個二階系統，其兩個極點為：pl = -2.0000 +2 jp2 = -2.0000 -2 j它們就是需要的主導極點，控制系統的性能主要由這兩個主導極點決定。另 外兩個非主導極點(為簡化取兩個實數極點)經過反復試驗整定，分別取距離兩個主導極點4倍和5倍的遠處，即：p3 = -8.0000p4=-10.0000本文設計的狀態反饋要求系統期望的特征值為：-10;-8;-2+j;-2-j。手算求解狀態反饋陣K有待定系數法和直接法，由于矩陣A階數較高，本文使用Ma

11、tlab 中 K=place(A,B,P1)，求解 K。A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;P仁卜10;-8;-2+2j;-2-2j;K=place(A,B,P1)-6.8931 -4.9957 -26.2369 -8.1525狀態反饋 K = K k2 k3 k4 l- I -6.8931 -4.9975 -26.2369 -8.15251運用MATLA中的Simulink來對原系統進行仿真，得到狀態反饋模型仿真圖如 下圖7所示。rRScope8£B|h1GarU圖7狀態反饋Simulink

12、仿真圖8所示。圖8 狀態反饋系統=2和M零狀態響應曲線從響應曲線可以看出，在 6=0.174 , M =0的初始擾動下，經過3s左右的 時間，擺桿回到垂直的位置，這說明加入狀態反饋后可以使原系統達到穩定狀態。5帶狀態觀測器狀態反饋系統分析5.1狀態觀測器的設計由于在系統建模時狀態變量并不是都是能直接測量，因此人為地構建一個系 統來實現狀態重構也即狀態觀測。狀態觀測器的結構圖如下，即圖9狀態觀測器的結構圖觀測器的狀態方程為：X =Ax G(y - y) Bu =(A-GC)x Bu Gy顯然選擇觀測器的系數矩陣 A-GC的特征值均具有負復數，就可以使狀態估計 逐漸逼近狀態的真實值。本文設計全維狀

13、態觀測器的特征值為：-10，-8，-2+2j，-2-2j，同理根據語句G=place(A' ,C' ,P2)可得G/IG2G3G422.0000172.37901-158.6252匚597.5613 一5.2帶狀態觀測器狀態反饋分析帶觀測器的狀態反饋系統由3個部分組成，即原系統，觀測器和狀態反饋圖10 綜合后Simulink仿真圖初始值d2=0.174，M =0的零狀態響應曲線如下從上面響應曲線可以看出，加入觀測器后系統在3s左右達到穩定，這是因為 觀測器后極點特征值的實部更加偏離原點，極點離遠點越近，達到穩定的時間越 短。此外，綜合后超調量略有增加。綜合后階躍響應如圖12所示

14、。圖12綜合后階躍響應曲線從響應曲線可以看出，加入階躍 皿=后，擺桿發生左右來回振蕩，振蕩幅度 較大，最終擺桿處于垂直位置，橫桿位于一個具體位置。6 總結單倒立擺是一個非線性系統，通過近似線性變化，得到一個單輸入單輸出的 線性定常系統。選擇一組狀態變量 X1 1， x2 ，x3 2 ， X4h&，線性定 常系統做穩定性，能控性和能觀測性分析，得出原系統是不穩定，完全能控的， 完全能觀測的。原系統在參考輸入為零的情況下，系統狀態在初始擾動的響應不能衰減至 零，加入狀態反饋后能夠衰減至零。利用狀態觀測器構成的狀態反饋閉環系統零輸入響應與直接進行狀態反饋 的閉環系統相比，暫態過程持續時間較長，這與極點的位置有關。綜合后的階躍 響應達到穩定時間較長，還有劇烈的震蕩，這符合實際情況。7感