1、1 大數定律第五章 大數定律及中心極限定理1.大數定律 在實踐中，不僅事件發生的頻率具有穩定性，還有大量測量值的算術平均值也具有穩定性。設,1nXX是隨機變量序列，令nkknXnY11，若存在常數序列,1naa使對任意0，有 1|limnnnaYP，或0|limnnnaYP，定義1： 設 是隨機變量序列， 是一個常數；若對任意 ，有: 則稱 依概率收斂于 ，記為 。,1nYY01|limaYPnn,1nYYaYPnaa定義2：則稱nX服從大數定律。返回主目錄1 大數定律第五章 大數定律及中心極限定理定理2（切比曉夫定理的特殊情況）設隨機變量,1nXX相互獨立，且具有相同的數學期望及方差，, 2

2、 , 12kDXEXkk 令nkknXnY11，則：對任意的0，有:1|1|lim|lim1nkknnnXnPYP或0|1|lim1nkknXnP 若aPnX，bPnY， 在點 連續， 則：),(),(bagPnYnXg。),(yxg),(ba定理1：返回主目錄證：nknkknkknEXnXnE11111)1(222121111)1(nnnDXnXnDnkknkk1|1|1nkkXnPn時，當。1 大數定律第五章 大數定律及中心極限定理由切比曉夫不等式得：2211|1|nXnPnkk返回主目錄證：令nkAkAkXk, 2 , 110，發生次試驗中，在第不發生次試驗中，在第定理 3（貝努里大數定

3、律）設An是 n 次獨立重復試驗中事件 A 發生的次數，p 是事件 A 發生的概率，則：對任意的0，有1|limpnnPAn 或 0|limpnnPAn故 ,2, 1)1(nkppDXpEXkk，1|1|lim1pXnPniin,1 大數定律第五章 大數定律及中心極限定理由定理2有即 1|limpnnPAn。此定理說明了頻率的穩定性此定理說明了頻率的穩定性。則nkkAXn1，且nXX,1相互獨立同服從于 分布) 10( 定理 4（辛欽大數定律）設,1nXX相互獨立同分布，且具有數學期望, 2 , 1nkEXk，則：對任意的0，有1|1|lim1niinXnP1 大數定律第五章 大數定律及中心極

4、限定理注：注：貝努里大數定律是辛欽大數定律的特殊情況。貝努里大數定律是辛欽大數定律的特殊情況。返回主目錄2 中心極限定理第五章 大數定律及中心極限定理2.中心極限定理定義：設,1nXX是獨立的隨機變量序列，kkDXEX ，存在，令：nkknkknkknDXEXXZ111/ )(，若對任意1Rx，有xtnndtexZP2221lim。則稱nX服從中心極限定理。返回主目錄2 中心極限定理第五章 大數定律及中心極限定理 （獨立同分布的中心極限定理）設,1nXX是獨立同分布的隨機變量序列，且), 2 , 1( , 02kDXEXkk，則nX服從中心極限定理，即： xtnkkndtexnnXP21221

5、lim定理1返回主目錄則nX服從中心極限定理，即：xtnkkknkkndtexDXXP211221)(lim2 中心極限定理第五章 大數定律及中心極限定理定理2 （李雅普諾夫定理），若存在正數，設，相互獨立，且設,), 2 , 1(, 0,12221nkknkkkknBkDXEXXX0|1 122nkkknXEBn時，使得當(Liapunov定理)返回主目錄證：nkknX1，第五章 大數定律及中心極限定理則對于任意 ，恒有：xtnndtexnpqnpP2221limx)1(pq由定理1有結論成立。其中nXX,1相互獨立且都服從于 分布。 pqDXpEXkk，。(0-1)定理3（德莫佛-拉普拉斯

6、定理）), 2 , 1(nn設隨機變量 服從參數為n,p(0p1)的二項分布).,(pnBn，即xtnkkndtexnnXP21221lim(De Moivre-Laplace)2 中心極限定理第五章 大數定律及中心極限定理推論：), 2 , 1(nn設隨機變量 服從參數為 n , p (0p105近似值。解：)20, 2 , 1(121052kDVEVkk，由定理 1知：第五章 大數定律及中心極限定理例5 一加法器同時收到20個噪聲電壓 ，設它們是互相獨立的隨機變量，且都在區間(0,10)上服從均勻分布，記 )20, 2 , 1(kVk201kkVV2012/10520-1052012/10520-VP105PV22387. 020)12/10(100-VP1387. 020)12/10(100-VP348. 0)387. 0(1返回主目錄1 引進了大數定律的概念，要了解大數定律的意 義和內容，理解貝努里、辛欽大數定律，了解 契比雪夫大數定律。2 闡述了中心極限