1、編輯ppt1第一次習題課第一次習題課 一、內容及要求一、內容及要求 1 理解多元函數、多元函數的極限、連續、理解多元函數、多元函數的極限、連續、偏導數及全微分的定義偏導數及全微分的定義. 2 會求一些二元函數的極限、能判別函數的連會求一些二元函數的極限、能判別函數的連續性續性.4 理解多元函數連續、可導、可微的關系理解多元函數連續、可導、可微的關系 3 能利用一元函數的求導法則計算多元函數能利用一元函數的求導法則計算多元函數的一階二階偏導，會求多元函數的全微分的一階二階偏導，會求多元函數的全微分.編輯ppt2 5 熟練掌握多元復合函數的一階、二階偏導數熟練掌握多元復合函數的一階、二階偏導數的計

2、算（重點）的計算（重點）注：多元復合函數的偏導數注：多元復合函數的偏導數，),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 變量關系圖變量關系圖 uvzxy則有則有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz 鏈式法則鏈式法則“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”（1）編輯ppt3（2）幾種變形幾種變形 )(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt(i)多個中間變量，一個自變量多個中間變量，一個自變量uzxy(ii)一個中間變量，多個自變量：一個中間變量，多個自變量： ,)(xufxududzx

3、z ),(),(yxuufz yufyududzyz )( 編輯ppt4(iii)中間變量與自變量混合存在中間變量與自變量混合存在:xuffxzux yuffyzuy xyuzxy（3）全微分形式的不變性）全微分形式的不變性: z=f (u，v)， u，v 不管是自變量還是中間變不管是自變量還是中間變量，有量，有dvvzduuzdz ),(),(yxuuuyxfz （4）復合函數的高階偏導數的計算）復合函數的高階偏導數的計算(難點難點),(),(),(yxvyxuvufz 求求zxx , zxy ,zyy 時應該注意到時應該注意到fu , , fv仍是復合函數仍是復合函數.編輯ppt56 熟練

4、掌握隱函數的偏導數的計算熟練掌握隱函數的偏導數的計算（2）方程組的情形）方程組的情形(i)(i)公式法；公式法； (ii)復合函數的求導法則；復合函數的求導法則；(iii) 一階全微分形式的不變性一階全微分形式的不變性 。 求導方法求導方法：確定自變量及因變量，各方程對某確定自變量及因變量，各方程對某一個自變量求偏導，解方程組求得各因變量對這個一個自變量求偏導，解方程組求得各因變量對這個自變量的偏導數自變量的偏導數(或導數或導數) . 一般：變量個數方程個數一般：變量個數方程個數=自變量個數自變量個數 （1）單個方程的情形）單個方程的情形 理論基礎是復合函數的求導法則，具體計算有理論基礎是復合

5、函數的求導法則，具體計算有三種方法三種方法: 編輯ppt6二、典型例題分析二、典型例題分析 1 、填充、填充 001(1) lim()cosxyxyxy (2) lim(1)yxkyxy0ke編輯ppt7(5)arctan,xyyzzx(6),yzxdz 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求確定，確定，由由22222)(yxxy xdyxdxyxyyln1 3cos編輯ppt8）偏偏導導連連續續？（）可可微微？（）偏偏導導是是否否存存在在？處處（在在討討論論321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(2222 yxyxyxyxyxfx

6、fxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 01sinlim220 xxxx 0)0 , 0( yf同同理理220)0 , 0()0 , 0(limyxyfxfzyxx 例例解解編輯ppt92222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 不存在不存在)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxyxfxxyxxxy 處偏導不連續處偏導不連續在在)0 , 0(),(yxfx01sin)(lim2222220 yxyxyxx 處處可可微微在在)0 , 0(),(yxf編輯ppt10

7、例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具具有有二二階階連連續續偏偏導導數數設設)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 編輯ppt11xyzyxz 22)(2214fxfxx 3411112224()2yx fxf yfxfx )(222212xyfyfx .2422114213f yf yxfxfx ),(3xyxyfxz 具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數因為因為f編輯ppt12)(312fefyyxzy )(333231312yuffefeyuffy

8、y )(333231312yyyyxeffefexeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例例4 設設z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二階連續偏具有二階連續偏導數，求導數，求 yxz 2xuffxz 31解解zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331編輯ppt132222(),zzf xyfx 設設其其中中 具具有有二二階階導導數數，求求xfxz2 22222zfxfxx fxf 242例例5解解編輯ppt1423,23),(tsytsxyxfu 而而的所有二階偏導連續，的所有二階偏導連續，設設21,23,23,21 tytxsysxsyyusxxu

9、su yuxu 2321222222222222)uuuuxystuuuuxyst證證明明（及及例例6證明證明編輯ppt15yyyxxxuuu432341 yxuutu2123 同理：同理：yyxyxxuuutu41234322 代入得證。代入得證。221322xxxyyxyyuxyxyuuuusssss232123232121yyyxxyxxuuuu 編輯ppt16例例7 可可微微，證證明明，設設fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 證明：證明：2221)( 11xufxxzz 兩端求對兩端求對x的偏導數，得的偏導數，得 兩端同乘以兩端同乘以x2z2：)1()( 222ufzxz

10、xz 兩端求對兩端求對y的偏導數：的偏導數： )1()( 122yufyzz 兩端同乘以兩端同乘以y2z2：)2()( 22ufzyzy ( (1) )式式+( (2) )式式 222zyzyxzx 即即得得編輯ppt17例例8 可可微微，求求設設FxzyyzxF, 0),( ,xz .,dzyz 解：解：方程兩端求對方程兩端求對x的偏導數，有的偏導數，有0)1()11(221 xzxxzFxzyF解得解得 2112211FxFyFxzFxz 1222111)(FyFxFyzFyz dyFyFxFyzF1222111)( dxFxFyFxzFdz2112211 方程兩端求對方程兩端求對y的偏導

11、數，有的偏導數，有編輯ppt18或利用全微分形式的不變性求偏導或利用全微分形式的不變性求偏導 0)()(21 xzydFyzxdF0)()(2221 xzdxxdzdyFyzdyydzdxF整理可得整理可得dyyzFFdxxzFFdzFxFy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 編輯ppt19)(221xzFFx 221)(FyzFy 也可利用公式，令：也可利用公式，令：)()(xzyzyxFzyx ， xFyFz1121 于是于是2122111FxFyFxzFxzzx 2112211FxFyFyzFyzzy 編輯ppt20例例9 9 . 設設 ，其中，其中f、g具有一階連續

12、偏數，具有一階連續偏數， ),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解解所給方程兩端對所給方程兩端對x求偏導，得求偏導，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,2121整理可得整理可得 )12()1(121121gxvvygxugufxvfxuxf編輯ppt2112212121)12)(1(121gfgvyfxgvygffxJ 122112212121)12)(1()12(121gfgvyfxgfgvyfugvygffuJxu 12211111111)12)(1()1(11gfgvyfxfufxgggfufxJxv 編輯ppt22例例10. 設設y=f (x，t)，而，

13、而t是由方程是由方程F(x，y，t)=0所確所確定的定的x、y的函數，其中的函數，其中f，F都具有一階連續偏導都具有一階連續偏導數，試證明數，試證明tFyFtfxFtftFxfdxdy 證法一證法一：首先分析一下變量間的關系。：首先分析一下變量間的關系。由式（由式（1）可確定一元函數）可確定一元函數y=y(x)。（1）式兩端對）式兩端對x求導得求導得 t是由方程是由方程F(x，y，t)所確定的所確定的x、y的函數，的函數，t=t(x，y)，于是有于是有 y=f x，t(x，y) (1)編輯ppt23t是是F(x，y，t)=0確定的確定的x、y 的函數，由隱函數的函數，由隱函數求導法知求導法知

14、,tFxFxt )3(.tFyFyt 將（將（3）式代入（）式代入（2）式，并從中解出）式，并從中解出dxdy即得所欲證之等式。即得所欲證之等式。 )2( dxdyytxttfxfdxdy編輯ppt24證法二：證法二： 將所給兩方程聯立：將所給兩方程聯立： , 0),(, 0),(tyxFtxfy方程組中含兩個方程、三個變量，可確定兩個一元函方程組中含兩個方程、三個變量，可確定兩個一元函數數y=y(x)，t=t(x)。方程組中的兩個方程兩端分別對自。方程組中的兩個方程兩端分別對自變量變量x求導，有求導，有 . 0, 0dxdttFdxdyyFxFdxdttfxfdxdy解上面的方程組解上面的方程組tFyFtfxFtftFxfdxdy 編輯ppt25證法三證法三：利用全微分形式不變性：利用全微分形式不變性 0dtFdyFdxFdtfdxfdytyxtx dy解解出出dxtFyFtfxFtftFxf tFyFtfxFtftFxfdxdy 編輯ppt26).1(),1(),(,(),)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(),( 求求（又又記記可