1、3.2 解一元一次方程解一元一次方程( (一一) )- -合并同類項與移項合并同類項與移項(1)(1) 重、難點與關鍵重、難點與關鍵 1 1重點：會列一元一次方程解決實際問重點：會列一元一次方程解決實際問題，題， 并會合并同類項解一元一次方程并會合并同類項解一元一次方程 2 2難點：會列一元一次方程解決實際問難點：會列一元一次方程解決實際問 題題 3關鍵：抓住實際問題中的數量關系建立關鍵：抓住實際問題中的數量關系建立方程模型方程模型 首先把宇宙萬物的所有問題都首先把宇宙萬物的所有問題都轉化為轉化為數學問題數學問題；其次，把所有的；其次，把所有的數學問題轉化為數學問題轉化為代數問題代數問題；最后

2、，；最后，把所有的代數問題轉化為把所有的代數問題轉化為解方程解方程。 笛卡兒笛卡兒( (法國法國) )用合并同類項進行化簡用合并同類項進行化簡: : 1. 20 x 12x= _2. x + 7x5x= _3 、 _4. 3y4y(2y)=_8x3x-yy2yy32y31合并同類項的法則：合并同類項的法則： 同類項的同類項的系數相加系數相加所得的結果作為系數，所得的結果作為系數，字母字母和和字母的指數字母的指數不變不變. .實際問題實際問題一元一次方程一元一次方程設未知數設未知數列方程列方程 分析實際問題中的數量關系，利用其中的分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系相等關系列出方程，是解

3、決實際問題的一種列出方程，是解決實際問題的一種數學方法數學方法. 請同學記請同學記住住, , 多體會多體會吆吆! !回憶一下回憶一下： 我們學校為了改善辦學條件我們學校為了改善辦學條件, ,近三年購置了近三年購置了各種計算機共各種計算機共140140臺臺, ,并且知道去年購買數量是并且知道去年購買數量是前年的前年的2 2倍倍, ,今年購買的數量又是去年的今年購買的數量又是去年的2 2倍倍, , 那那么前年我們學校購買了多少臺計算機嗎么前年我們學校購買了多少臺計算機嗎? ?設前年購買計算機設前年購買計算機 x 臺臺. . 可以表示出：可以表示出：去年購買計算機去年購買計算機_臺，今年購買計算機臺

4、，今年購買計算機_臺臺. .分析：根據題中的相等關系：根據題中的相等關系：前年購買量前年購買量 + + 去年購買量去年購買量 + + 今年購買量今年購買量 = 140= 140臺臺列得方程列得方程2 2x4 4xx+2 2x+4 4xxx1407 x20 x分析：解方程，就是把解方程，就是把方程變形，變為方程變形，變為 x = = a（a為常數）的形式為常數）的形式. .合并同類項合并同類項系數化為系數化為1 1上面解方程中上面解方程中”合并同類項合并同類項”起了什么作用起了什么作用? ?合并同類項起到了合并同類項起到了“化簡化簡”的作用，即把含有未知數的作用，即把含

5、有未知數的項合并，從而把方程轉的項合并，從而把方程轉化為化為ax=b，使其更接近，使其更接近x=a的形式的形式( (其中其中a,b是常數是常數) 合并同類項的作用：合并同類項的作用：x+2x+4x=1407x=140 x=20答：前年我校購買了答：前年我校購買了2020臺計算機臺計算機. .解：設前年我校構買了解：設前年我校構買了x臺計算機臺計算機, , 根據題意得根據題意得: :回顧本題列方程的過程，可以發現：回顧本題列方程的過程，可以發現：“總量總量=各部分量的和各部分量的和”是是一個基本的相等關系。一個基本的相等關系。注意：注意：等號要對齊等號要對齊列方程解應用題的一般步驟：列方程解應用

6、題的一般步驟：1、審審題：弄清題意和數量關系；題：弄清題意和數量關系；2、設設未知數，找等量關系；未知數，找等量關系；3、由等量關系、由等量關系列列出方程；出方程；4、解解方程；方程；5、寫出、寫出答答案（包括單位名稱）。案（包括單位名稱）。即：即：1審審2設設3列列4解解5答答小結小結解方程解方程:解解: :合并同類項合并同類項, ,得得(1) x+2x=1432x=1472系數化為系數化為1, 1,得得x=4: : (2)(2) 7x2.5x+3x1.5x=15463解解: :合并同類項合并同類項, ,得得系數化為系數化為1, 1,得得6x=78x=13解下列方程解下列方程 330.510

7、 xx你一定會！你一定會！ 132722xx 1 529xx5 . 0535 . 25 . 15 . 42 ) 4 (xxxx練：某工廠的產值連續增長，去年是前年的練：某工廠的產值連續增長，去年是前年的1.51.5倍，倍，今年是去年的今年是去年的2 2倍，這三年的總產值為倍，這三年的總產值為550550萬元。前萬元。前年的產值是多少？（年的產值是多少？（P88P88練習的第練習的第2 2題）題）列方程解決問題列方程解決問題解解：設前年的產值是設前年的產值是x x萬元，則去年的是萬元，則去年的是1.5x1.5x萬元，萬元，今年的是今年的是3x3x萬元。根據題意列方程得萬元。根據題意列方程得 x+

8、1.5x+3x=550 x+1.5x+3x=550 合并同類項，合并同類項，得得 5.5x=5505.5x=550 系數化為系數化為1 1，得得 x=100 x=100答：前年的產值是答：前年的產值是100100萬元。萬元。本題列方程所根據的相等關系是：本題列方程所根據的相等關系是：“總量總量=各部分量的和各部分量的和” 這是小明做的幾道題這是小明做的幾道題, ,請同學們幫他檢查一請同學們幫他檢查一下下, ,如果不對如果不對, ,指出他錯在哪指出他錯在哪, ,并進行糾正并進行糾正1. 4a+a+3a=102. 2x4x=23. 4x5x=74. x=-25解解:6x=2 x=3107解解: :

9、 7a =10 a= x=3117解解: :x=7 x=x=78a =10 a=54x=10( )5 52 2x=410 x2 25 510102 23 32 2xxx) )2 25 5( (1010 x(1). x+3x2x=9 (2). 3x+0.5x=10(3). 6y1.5y2.5y=4 965121)4(xx5 . 0535 . 25 . 15 . 42 ) 4 (xxxx5.5.有一列數，按一定規律排列成有一列數，按一定規律排列成1 1，3，9，27，81，243，其中某三個相鄰數的和是其中某三個相鄰數的和是1 701，這三個數各是多少？這三個數各是多少？這列數有什么規律？這列數有

10、什么規律？如何設未知數？如何設未知數？v有一列數，按一定規律排列成有一列數，按一定規律排列成1，-3,9，-27,81，-243，。其中某三個相鄰數。其中某三個相鄰數的和是的和是-1701，這三個數各是多少？，這三個數各是多少？ 分析：從符號和絕對值兩方面觀察，可發分析：從符號和絕對值兩方面觀察，可發現這列數的排列規律：現這列數的排列規律：后面的數是它前面的數與后面的數是它前面的數與-3的乘積。的乘積。如果三個相鄰數中的第如果三個相鄰數中的第1個記為個記為x，則后兩個數分別是則后兩個數分別是-3x，9x。問題問題2:有一列數，按一定規律排列成有一列數，按一定規律排列成1，-3,9，-27,81

11、，-243，。其中某三個相鄰數的和是。其中某三個相鄰數的和是-1701，這三，這三個數各是多少？個數各是多少？ 解：設所求三個數分別是解：設所求三個數分別是x，-3x，9x。合并同類項，得合并同類項，得 7x=-1701由三個數的和是由三個數的和是-1701，得，得x-3x+9x=-1701。系數化為系數化為1，得，得 x=-243所以所以 -3 x=729,9x=-2187答：這三個數是答：這三個數是-243,729，-2187知道三個數中知道三個數中的某個，就能的某個，就能知道另兩個嗎？知道另兩個嗎？問題問題4 4：在一張普通的月歷中，相鄰三行里同一列的三個：在一張普通的月歷中，相鄰三行里

12、同一列的三個日期數之和能否為日期數之和能否為3030？如果能，這三個數分別是多少？如果能，這三個數分別是多少？（P92P92第第1212題題 拓廣探索拓廣探索）列方程解決問題列方程解決問題分析分析：普通月歷中，相鄰三行里同一列的上、中、下三個日期數字中，：普通月歷中，相鄰三行里同一列的上、中、下三個日期數字中，后一個比前一個大后一個比前一個大7 7。這是因為它們彼此相差。這是因為它們彼此相差1 1周（周（7 7天）。天）。 如果設這三個數中的第一個為如果設這三個數中的第一個為x x，那么后兩個數可分別表示為，那么后兩個數可分別表示為? ? x+7x+7和和x+14x+14解：設所求三個數分別是

13、解：設所求三個數分別是x x，x+7x+7，x+14.x+14.依題意列方程得依題意列方程得 x+x+7+x+14=30 x+x+7+x+14=30 合并同類項，得合并同類項，得 3x+21=303x+21=30 兩邊減兩邊減2121，得，得 3x=93x=9 系數化為系數化為1 1，得，得 x=3x=3從而得從而得 x+7=10 x+14=17x+7=10 x+14=17答：這三個數分別是答：這三個數分別是3 3，1010，1717。問題問題4 4：在一張普通的月歷中，相鄰三行里同一列的三個：在一張普通的月歷中，相鄰三行里同一列的三個日期數之和能否為日期數之和能否為3030？如果能，這三個數

14、分別是多少？如果能，這三個數分別是多少？（P92P92第第1212題題 拓廣探索拓廣探索）列方程解決問題列方程解決問題另一種設法另一種設法：如果設這三個數中的第二個為：如果設這三個數中的第二個為x x，那么第一，那么第一個和第三個兩個數可分別表示為個和第三個兩個數可分別表示為? ? x-7 x-7和和x+7x+7 解：設所求三個數分別是解：設所求三個數分別是x-7x-7，x,x+7.x,x+7.依題意列方程得依題意列方程得 x-7+x+x+7=30 x-7+x+x+7=30 合并同類項，得合并同類項，得 3x=303x=30 系數化為系數化為1 1，得，得 x=10 x=10從而得從而得 x-

15、7=3 x+7=17x-7=3 x+7=17答：這三個數分別是答：這三個數分別是3 3，1010，1717。1 1、“合并同類項合并同類項”是一種恒是一種恒等變形，它使方程變得簡單等變形，它使方程變得簡單，更接近，更接近x=ax=a的形式。的形式。2 2、“總量總量= =所有分量之和所有分量之和”是本節課列方程解應用題所是本節課列方程解應用題所依據的相等關系。依據的相等關系。問題問題4 4：在一張普通的月歷中，相鄰三行里同一列的三個：在一張普通的月歷中，相鄰三行里同一列的三個日期數之和能否為日期數之和能否為3030？如果能，這三個數分別是多少？如果能，這三個數分別是多少？（P92P92第第12

16、12題題 拓廣探索拓廣探索）列方程解決問題列方程解決問題另一種設法另一種設法：如果設這三個數中的第二個為：如果設這三個數中的第二個為x x，那么第一，那么第一個和第三個兩個數可分別表示為個和第三個兩個數可分別表示為? ? x-7 x-7和和x+7x+7 解：設所求三個數分別是解：設所求三個數分別是x-7x-7，x,x+7.x,x+7.依題意列方程得依題意列方程得 x-7+x+x+7=30 x-7+x+x+7=30 合并同類項，得合并同類項，得 3x=303x=30 系數化為系數化為1 1，得，得 x=10 x=10從而得從而得 x-7=3 x+7=17x-7=3 x+7=17答：這三個數分別是

17、答：這三個數分別是3 3，1010，1717。3.2 解一元一次方程解一元一次方程( (一一) )- -合并同類項與移項合并同類項與移項(2)(2) 合并同類項合并同類項與與系數化為系數化為1都是解都是解一元一次方程的一元一次方程的重要過程重要過程(步驟步驟)。合并同類項合并同類項系數化為系數化為1把方程化為把方程化為mx=b（m0）的形式。）的形式。把把mx=b （m0）化）化為為x=a。把一些圖書分給某班學生閱讀，如把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分果每人分3 3本，則剩余本，則剩余2020本；如果本；如果每人分每人分4 4本，則還缺本，則還缺2525本本. .這個班有這個班有多少學生

18、？多少學生？1、設未知數：設這個班有、設未知數：設這個班有x名學生名學生.2、找等量關系、找等量關系這批書的總數是一個定值，表示它的兩個等式相等這批書的總數是一個定值，表示它的兩個等式相等3、列方程、列方程 3x20 = 4x25把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余本，則剩余20本；如果每人分本；如果每人分4本，則還缺本，則還缺25本本.這個班有多少學生？這個班有多少學生？每人分每人分3本，共分出本，共分出3x本，加上剩余的本，加上剩余的20本，本，這批書共這批書共 本本.每人分每人分4本，需要本，需要_ 本，減去缺的本，減去缺的25本，本，

19、這批書共這批書共 本本. (3x20)4x(4x25)3x+20=4x-253x+20=4x-253x+20-20=4x-25-20提問提問2 2：如何才能使這個方程向如何才能使這個方程向x=ax=a的形式轉化？的形式轉化？將原方程轉化成將原方程轉化成了了x=a的形式。的形式。3x=4x-25-203x-4x=4x-4x-25-203x-4x=-25-203x 20 4x 253x4x25 20把等式一邊的某一項把等式一邊的某一項改變符號改變符號后移到另一邊，后移到另一邊，叫做叫做移項移項.3x+20=4x-253x-4x=-25-20-x=-45X=45移項移項合并同類項合并同類項系數化為系

20、數化為1 1下面的框圖表示了解這個方程的具體過程：下面的框圖表示了解這個方程的具體過程： 3x+20=4x-2x解：解：移項移項 3x+2x=32-7合并同類項合并同類項 5x=25系數化為系數化為1 x=5以上解方程中以上解方程中“移項移項”起到了什么作用？起到了什么作用？結論：通過移項，含未知數的項與常數項結論：通過移項，含未知數的項與常數項分別位于方程左右兩邊，使方程更接近于分別位于方程左右兩邊，使方程更接近于x= =a的形式的形式. .移項的依據是什么？等式的性質等式的性質1.1.約公元約公元825825年，中亞細亞數學年，中亞細亞數學家阿爾家阿爾- -花拉子米寫了一本代花拉子米寫了一

21、本代數書，重點論述怎樣解方程數書，重點論述怎樣解方程. .這本書的拉丁譯本為這本書的拉丁譯本為對消與對消與還原還原. .“對消對消”與與“還原還原”是是什么意思呢？什么意思呢？“對消對消”和和“還原還原”就是我們所就是我們所學的學的“移項移項”和和“合并同類項合并同類項”.例例1：解下列方程：解下列方程 521x解：移項，得解：移項，得 系數化為系數化為1，得，得 x = - 2215x 24x 832xx （2）解：移項，得解：移項，得 合并同類項，得合并同類項，得 系數化為系數化為1，得，得 32 8xx 46x 32x 5 21x215x 832xx 32 8xx （1） 解 題 后 的

22、 反 思(1) 移項實際上是對方程兩邊進行移項實際上是對方程兩邊進行 , 使用的是等式的性質使用的是等式的性質 ;5236)2(543) 1 (1xxx：把下列方程移項可得例453x3526 xx移項移項移項移項練習練習1 1：判斷下列移項是否正確：判斷下列移項是否正確：(1)37 131 7(2)2323(3)410410(4)6515615 5(5) 861028102 6xxxxx xxxx xxxx xxxxx 移項移項移項移項移項例例2 解方程解方程.23273xx觀察與思考：觀察與思考：移項時需要移哪些項？為什么？移項時需要移哪些項？為什么？解：移項，得解：移項，得合并同類項合并同

23、類項 ,得得32327.xx525.x 5.x 例例2 解方程解方程 解一元一次方程時，解一元一次方程時，一般把含未知數的項移一般把含未知數的項移到方程的左邊，常數項到方程的左邊，常數項移到方程的右邊移到方程的右邊37322 .xx系數化為系數化為1，得，得72341xx）（練習練習2 解方程解方程95322xx）（2513xx8解 方 程3例題例題3 3：2153xx8326x 3x 解：移項，得：合并同類項，得：合并同類項，得：化系數為化系數為1 1，得：，得：1412xx5(1)213(2)3824xx練習練習3 解下列一元一次方程解下列一元一次方程解一元一次方程的步驟：解一元一次方程的

24、步驟：1、移項（等式性質、移項（等式性質1）2、合并同類項（乘法分配律）、合并同類項（乘法分配律）3、系數化為系數化為1（等式性質（等式性質2 ）列一元一次方程解應用題的一般步驟：列一元一次方程解應用題的一般步驟：2 2、設設1 1、審審3 3、列列4 4、解解5 5、答答回顧與思考回顧與思考某制藥廠制造一批藥品，如用某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多限制的最大量還多200 t200 t；如；如用新工藝，則廢水排量比環保用新工藝，則廢水排量比環保限制的最大量少限制的最大量少100 t100 t。新、。新、舊工藝的廢水排量之比為舊工藝的

25、廢水排量之比為2 2：5 5，兩種工藝的廢水排量各是多少？兩種工藝的廢水排量各是多少？解：設新工藝廢水排量為解：設新工藝廢水排量為x x t t，則舊工藝廢水排量為，則舊工藝廢水排量為 t t。依題意列方程得依題意列方程得 移項，得移項，得 合并同類項，得合并同類項，得 系數化為系數化為1 1，得，得 x=200 x=200 所以所以答：新、舊兩種工藝的廢水排量分別是答：新、舊兩種工藝的廢水排量分別是200t200t和和500t500t。某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多環保限制的最大量還多200 t200 t；

26、如用新工藝，則廢水排；如用新工藝，則廢水排量比環保限制的最大量少量比環保限制的最大量少100 t100 t。新、舊工藝的廢水排。新、舊工藝的廢水排量之比為量之比為2 2：5 5，兩種工藝的廢水排量各是多少？，兩種工藝的廢水排量各是多少？x2510020025xx20010025 xx30023x50025x解：設新、舊工藝的廢水排量分別為解：設新、舊工藝的廢水排量分別為2 2x x t t和和5 5x x t t。依題意列。依題意列方程得方程得 5x-200=2x+1005x-200=2x+100 移項，得移項，得 5x-2x=100+2005x-2x=100+200 合并同類項，得合并同類項

27、，得 3x=3003x=300 系數化為系數化為1 1，得，得 x=100 x=100 所以所以 2x=200 5x=5002x=200 5x=500答：新、舊兩種工藝的廢水排量分別是答：新、舊兩種工藝的廢水排量分別是200t200t和和500t500t。某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多環保限制的最大量還多200 t200 t；如用新工藝，則廢水排；如用新工藝，則廢水排量比環保限制的最大量少量比環保限制的最大量少100 t100 t。新、舊工藝的廢水排。新、舊工藝的廢水排量之比為量之比為2 2：5 5，兩種工藝

28、的廢水排量各是多少？，兩種工藝的廢水排量各是多少？對應練習對應練習：練習冊練習冊P52P52第第6 6題。題。表示同一量的兩個不同式子相等。表示同一量的兩個不同式子相等。有一個班的同學去劃船，他們算了一下，有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐如果增加一條船，正好每條船坐6人，人，如果減少一條船如果減少一條船 ，正好每條船坐，正好每條船坐9人，人，問：這個班共多少同學？問：這個班共多少同學？ 解法一：解法一：設船有設船有x條條.則則6(x+1)=9(x-1)得出得出 x=56 (5+1)=36（人）（人）答：這個班共有答：這個班共有36人人.有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐果增加一條船，正好每條船坐6人，如果減人，如果減少一條船少一條船 ，正每條船坐，正每條船坐9人，問：這個班共人，問：這個班共多少同學？多少同學？ 解法二：解法二：設這個班共有同學設這個班共有同學x人人.則則得出得出 x=36答：這個班共有答：這個班共有36人人.1169xx 1、今