1、第三章 動量和角動量力力的的累積累積效應效應3-1 質點的動量定理由牛頓第二定律由牛頓第二定律dtpdF力力對時間的累積對時間的累積沖量，動量沖量，動量力力對空間的累積對空間的累積功，能功，能表示：質點所受的合外力等于質點動量對時間的變化率表示：質點所受的合外力等于質點動量對時間的變化率將上式改寫為：將上式改寫為：pddtF其中左邊其中左邊 表示力在表示力在dt時間內的積累，稱為力的時間內的積累，稱為力的沖量沖量dtFdIFdtdp質點的動量定理質點的動量定理（微分形式）（微分形式）表示：質點在表示：質點在dt時間內的沖量等于質點在時間內的沖量等于質點在dt時間內動量的增量時間內動量的增量1、

2、沖量、沖量 動量定理動量定理質點的動量定理質點的動量定理（微分形式）（微分形式）122121ddppptFIpptt當力持續一段時間，從當力持續一段時間，從 到到 ，這時有：，這時有：1t2t表示表示：合：合外力在一段時間內的沖量，等于質點在同一時外力在一段時間內的沖量，等于質點在同一時間內動量的增量間內動量的增量 .質點動量定理的分量形式質點動量定理的分量形式:zzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212212121dddvvvvvv表示表示 在時間在時間 到到 內的沖量，用內的沖量，用 表示表示21dtttF1t2tIF質點動量定理（積分形式）質點動量定理

3、（積分形式）1tmF2tFto12ppI由動量定理：由動量定理：沖量的方向與動量增量的方向一致沖量的方向與動量增量的方向一致I2p1p3、平均沖力、平均沖力2、沖量的方向、沖量的方向平均沖力：真實力在一個作用過程中的時間平均值平均沖力：真實力在一個作用過程中的時間平均值1221ttdtFFtttI1212ttpptp平均沖力等于質點動量的增量與作用時間之比。平均沖力等于質點動量的增量與作用時間之比。F 例例 1 一質量為一質量為0.05kg、速率為、速率為10ms-1的剛球的剛球,以與鋼板法線以與鋼板法線呈呈45角的方向撞擊在鋼板上角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率和角度彈回來并以相同的速率

4、和角度彈回來 .設碰撞時間為設碰撞時間為0.05s.求在此時間內鋼板所受到的平均沖力求在此時間內鋼板所受到的平均沖力 .1vm2vmxy解解 建立如圖坐標系建立如圖坐標系, 由動量定理得由動量定理得cos2 vm0sinsinvvmmFN1 .14cos2tmFFxv方向沿方向沿 軸反向軸反向xxxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv例例2：水管有一段彎成：水管有一段彎成90，已知管的流量為，已知管的流量為 , 流速為流速為10m/s, 求水流對此彎管的壓力的大小和方向。求水流對此彎管的壓力的大小和方向。skg /1033kg1033m解：設水流在水管中的速度經彎道

5、后大小未發生變化，方向發生了解：設水流在水管中的速度經彎道后大小未發生變化，方向發生了變化，如圖所示。根據題意，變化，如圖所示。根據題意，1秒鐘內流過的水的質量秒鐘內流過的水的質量12vvImm根據動量定理，根據動量定理，1秒鐘內水受到彎管的沖量秒鐘內水受到彎管的沖量: 作矢量關系圖，可得：作矢量關系圖，可得：Ns1024. 445cos/1010345cos/431 mvI水受彎管的作用力（平均值）水受彎管的作用力（平均值） tIF/st1N1024. 44F將將代入，得代入，得方向沿方向沿90平分線，指向水管彎曲的一側。水流對彎管的壓力與彎管平分線，指向水管彎曲的一側。水流對彎管的壓力與彎

6、管對水流的作用力大小相等，方向相反。對水流的作用力大小相等，方向相反。 v1 v2 45 1m v2m vI例例3：一質量為：一質量為m=10kg的木箱放在水平地面上，在水的木箱放在水平地面上，在水平拉力平拉力F的作用下由靜止開始作直線運動，的作用下由靜止開始作直線運動，F隨時間隨時間t變變化的關系如圖，已知木箱與地面的滑動摩擦系數化的關系如圖，已知木箱與地面的滑動摩擦系數0.2，求求t=4s和和7s時木箱的速度。時木箱的速度。F/Nt/s04730解：由質點的動量定理，解：由質點的動量定理，1221dpptFItt0-4s，F為恒力為恒力12)(pptmgFIsmv/4smv/5.20-7s

7、，122530)74(21ppsNtmgI質點系質點系 質點系質點系：由若干個質點組成的系統：由若干個質點組成的系統imiF內iF外iiiFFF內外3-2 質點系的動量定理 外力外力：質點系中各質點受到系統外的作用力：質點系中各質點受到系統外的作用力 內力內力：質點系中各質點間的相互作用：質點系中各質點間的相互作用力力 第第i個質點受到的合力：個質點受到的合力： 對第對第i個質點應用動量定理：個質點應用動量定理：dtpdFFFiiii內外質點系質點系imiF內iF外 由由n個質點組成的質點系：個質點組成的質點系：iiiiiiiidtpdFFF內外合外力合外力外F零零dtpdpddtddtpdi

8、iii右邊：dtpdF外所以：質點系的動量定理質點系的動量定理 （微分形式）（微分形式）1221pppddtFppt外持續一段時間：12ppI外質點系的動量定理質點系的動量定理 （積分形式）（積分形式）質點系受到的合外力的沖量等于質點系動量的增量質點系受到的合外力的沖量等于質點系動量的增量例例1. 木板木板B靜止置于水平臺面上，小木塊靜止置于水平臺面上，小木塊A放在放在B板的一端上，小木塊板的一端上，小木塊A與木板與木板B之間的摩擦系數為之間的摩擦系數為 ，木板，木板B與臺面間的摩擦系數為與臺面間的摩擦系數為 ，現在給小木塊現在給小木塊A一向右的水平初速度一向右的水平初速度 ，問經過多長時間，

9、問經過多長時間A，B恰好具恰好具有相同的速度？（有相同的速度？（B板足夠長）板足夠長）解解：把：把A，B看作一個系統，由質點系的動量定理：看作一個系統，由質點系的動量定理：再以再以A作為研究對象，應用質點的動量定理：作為研究對象，應用質點的動量定理：10AAAm g tm vm v 20()()ABABAmmg tmmvm v 120vAmBm0vx以上兩式聯立求解得：以上兩式聯立求解得：01212()AABvmvmm01vvtg 12ppdtFIt外外質點系動量定理質點系動量定理動量守恒定律動量守恒定律 3-3 動量守恒定律封閉系統的動封閉系統的動量保持不變量保持不變 1）系統的系統的動量守

10、恒動量守恒是指系統的是指系統的總動量不變，系統內總動量不變，系統內任一物體的動量是可變的任一物體的動量是可變的, 各物體的動量必各物體的動量必相對于相對于同一慣同一慣性參考性參考系系 . 應用動量守恒定律時注意事項：應用動量守恒定律時注意事項：若質點系所受的若質點系所受的合外力為零合外力為零:0外F恒矢量則：iipp 2）守恒條件：守恒條件：合外力為零合外力為零 當當 時，可略去外力的作用時，可略去外力的作用, 近似地認為系近似地認為系統動量守恒統動量守恒 . 例如碰撞例如碰撞, 打擊打擊, 爆炸等問題爆炸等問題. 0外F內外FF 4） 動量守恒定律只在動量守恒定律只在慣性參考系慣性參考系中成

11、立中成立, 是自然界是自然界最普遍、最基本的定律之一最普遍、最基本的定律之一 .3）若若某一某一方向方向合外力為零合外力為零, 則則此方向動量守恒此方向動量守恒 .zizizzyiyiyyxixixxCmpFCmpFCmpFvvv,0,0,0外外外 例例 1 質量為質量為m2的物體正沿傾角為的物體正沿傾角為 的斜面下滑，速度為的斜面下滑，速度為v2，被一水平飛來速度為，被一水平飛來速度為v1，質量為，質量為m1的子彈打入其中，以的子彈打入其中，以共同的速度共同的速度v沿斜面向上運動，問以下哪個方程正確的表達沿斜面向上運動，問以下哪個方程正確的表達了動量的分量守恒？了動量的分量守恒？cos)(c

12、os212211vmmvmvmvmmvmvm)(cos212211m1 v1m2v2水平方向動量守恒水平方向動量守恒2012sin()m vmmv.2m0v1m 例例 2 設有一靜止的原子核設有一靜止的原子核,衰變輻射出一個電子和一個衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核中微子后成為一個新的原子核. 已知電子和中微子的運動方已知電子和中微子的運動方向互相垂直向互相垂直,且電子動量為且電子動量為1.210-22 kgms-1,中微子的動量為中微子的動量為6.410-23 kgms-1 . 問新的原子核的動量的值和方向如何問新的原子核的動量的值和方向如何?解解 0Neppp即即ep N

13、pp恒量niimp1iv由動量守恒：由動量守恒： )(2122eNppp9 .61arctanepp122Nsmkg1036.1p代入數據計算得：代入數據計算得：例例3 小游船靠岸的時候速度幾乎為零，坐在船上遠離岸一端小游船靠岸的時候速度幾乎為零，坐在船上遠離岸一端的一位游客站起來走向船近岸的一端準備上岸，設游人體的一位游客站起來走向船近岸的一端準備上岸，設游人體重重 ，小游船重，小游船重 ，小游船長，小游船長 ，問游，問游人能否一步跨上岸。（水的阻力不計）人能否一步跨上岸。（水的阻力不計）150kgm2100kgm5Lm解：解：在水平方向系統動量守恒在水平方向系統動量守恒1 1220vm v

14、m上式對過程積分上式對過程積分1 120020ttv dtm v dtm1120020ttv dtmv dtm11220 xmxm12xxL 而：而：123.33,1.67xmxm 解得：x小結小結動量定理及動量守恒定律動量定理及動量守恒定律 1. 動量定理動量定理PddtFPPdtFItt :1221對對質質點點PddtFPPdtFItt 外外外外對對質質點點系系 12212. 動量守恒定律動量守恒定律0 0 12 PPFFii則則如如果果外外 3-4 3-4 角動量角動量 質點的角動量定理質點的角動量定理 前面我們引入了描述物體運動狀態的量前面我們引入了描述物體運動狀態的量 動量。動量。

15、本章引入新的狀態量本章引入新的狀態量 角動量角動量 地球繞太陽運動？原子中的電子繞著原子核運動？地球繞太陽運動？原子中的電子繞著原子核運動？ 引入角動量是為了研究引入角動量是為了研究轉動轉動，角動量守恒定律的應用，角動量守恒定律的應用非常廣泛。非常廣泛。一、質點的角動量一、質點的角動量 vmrprLp1. 定義定義：某一質點，動量：某一質點，動量注意：注意：sinsinmvrrpL（1）大?。海┐笮。悍较颍悍较颍簐mr 用右手螺旋定則確定。用右手螺旋定則確定。 sinpL sinr 對固定點對固定點O的的矢徑矢徑為為rpm動量的橫向分量動量的橫向分量動量臂動量臂則質點對則質點對 O 點的角動量

16、為：點的角動量為： rO（2） 當當0，時，時，L=0；/2，L最大。最大。（3） L 的直角分量式的直角分量式xyzijkLrpxyzpppxzyLypzpyxzLzpxpzyxLxpypsinsinmvrrpL大?。捍笮。海?）相對性）相對性 對不同的參考系，矢徑不同，動對不同的參考系，矢徑不同，動 量不同，角動量也不同。量不同，角動量也不同。 參考點不同，參考點不同， 矢徑不同，動量不同，角動量也不同。矢徑不同，動量不同，角動量也不同。2、作圓周運動質點的角動量、作圓周運動質點的角動量LrvOm2: Lmvrmr大 小vmrL方向：右手法則（垂直于運動平面）方向：右手法則（垂直于運動平面

17、）3 3、作直線運動的質點的角動量、作直線運動的質點的角動量2p1Pmm1 2 sinr1r2rOABD1v2v1111sin :rmvLA2222sin :rmvLB21 LL 作勻速直線運動作勻速直線運動方向也相同，角動量守恒方向也相同，角動量守恒當動量的方向正好指向或背離參考點時，質點的角動量為零。當動量的方向正好指向或背離參考點時，質點的角動量為零。二二 質點的角動量定理質點的角動量定理1、力矩、力矩()dLdrpdtdtdtpdrpdtrd Frpv 0 pvFrdtLd FrM 定義力矩：定義力矩：FOrmM 為合外力為合外力 對參考點對參考點 O 的力矩的力矩F（1） 大小：大小

18、：M = rFsinFrM 單位：牛單位：牛米（米（Nm） FOrM力矩：力矩：（2） 相對性：依賴于相對性：依賴于 O 點的選取點的選取r sin 稱為稱為“力臂力臂”。（3） 作用于質點上所有力矩的矢量和，稱為作用于質點上所有力矩的矢量和，稱為合外力矩合外力矩。外MFrFFFrFrFrFrMnnii)(2121力矩滿足疊加原理力矩滿足疊加原理方向：由右手螺旋定則確定方向：由右手螺旋定則確定 sinr2 2、質點的角動量定理、質點的角動量定理dtLdM外 質點的角動量定理（微分形式）質點的角動量定理（微分形式）質點受到的合外力矩等于它的角動量對時間的變化率。質點受到的合外力矩等于它的角動量對

19、時間的變化率。一段時間一段時間122121LLLddtMLLtt質點受到的合外力矩的沖量矩等于質點角動量的增量。質點受到的合外力矩的沖量矩等于質點角動量的增量。LddtM外：沖量矩沖量矩dtM外質點的角動量定理質點的角動量定理（積分形式）（積分形式） 例題例題 質量為質量為m、線長為、線長為 l 的單擺，可繞點的單擺，可繞點 O 在在 豎直平面豎直平面內擺動，初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求：內擺動，初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求： 擺線與水平線成擺線與水平線成角時，擺球所受到的力矩及擺球對點角時，擺球所受到的力矩及擺球對點 O 的角動量；的角動量； 擺球到達點擺球到達點B

20、時，角速度的大小。時，角速度的大小。 解：解：受力分析。合外力對受力分析。合外力對 O點的力矩點的力矩為為M = mglcos，力矩的方向垂直于紙面，力矩的方向垂直于紙面向里，大小隨向里，大小隨變化。變化。由角動量原理：由角動量原理： cosmglMdtdL 作變換作變換 ddt 瞬時角動量瞬時角動量 L=ml 2 sin232glmL lgmlL/22/2 時時，當當 gmTABlmO dglmLdLcos32 0320cos dglmLdLL角動量守恒定律角動量守恒定律 ：若對某一參考點，質點所受的合外力：若對某一參考點，質點所受的合外力矩為零，則此質點對該參考點的角動量將保持不變。矩為零

21、，則此質點對該參考點的角動量將保持不變。 對有心力作用的質點相對力心的角動量守恒。對有心力作用的質點相對力心的角動量守恒。)( ,0 )1 (或靜止質點作勻速直線運動時F。，或或即即時時，而而rFF 0 0sin0 )2( 討論角動量守恒的條件討論角動量守恒的條件：0sin rFM若：若：0 外外M則：則：恒恒矢矢量量。LdtLd, 0 3-5 角動量守恒定律角動量守恒定律dtLdM外由（有心力：力的作用線始終通過空間一固定點）（有心力：力的作用線始終通過空間一固定點） 如如：行星對太陽行星對太陽氫原子中電子對原子核氫原子中電子對原子核 例題：例題：光滑水平臺面上有一質量為光滑水平臺面上有一質

22、量為m m的物體拴在輕繩一端，輕繩的的物體拴在輕繩一端，輕繩的另一端穿過臺面上的小孔被一只手拉緊，并使物體以初始角速度另一端穿過臺面上的小孔被一只手拉緊，并使物體以初始角速度 0 0作半徑為作半徑為r r0 0的圓周運動，如下圖所示。手拉著繩以勻速率的圓周運動，如下圖所示。手拉著繩以勻速率v v向下運向下運動，使半徑逐漸減小，求半徑減小為動，使半徑逐漸減小，求半徑減小為r r 時物體的角速度時物體的角速度 ；若以向；若以向下開始拉動時為計時起點（下開始拉動時為計時起點（t t=0=0），求角速度與時間的關系），求角速度與時間的關系(t)(t) 解：解：在水平方向上，物體在水平方向上，物體m m

23、只受繩只受繩的拉力作用，拉力對小孔的力矩為零，的拉力作用，拉力對小孔的力矩為零，物體對小孔的角動量守恒物體對小孔的角動量守恒: :00mrvmr v2200mrmr考慮到考慮到 , , 應有應有: : vr0rrvt20020()rrvt所以所以: 2002rr由于手拉繩的速率為由于手拉繩的速率為 , ,所以：所以： v3-6 質質點系的角點系的角動動量定理量定理1111nnnniiiiiidLMMMdti外i內nLLLL 21niiipr1一、質點系的角動量一、質點系的角動量設有設有 n 個質點，各個質點對個質點，各個質點對同一同一參考點的角動量之和參考點的角動量之和二、二、質點系的角動量定

24、理質點系的角動量定理nnprprpr 2211合內力矩合內力矩=0合外力矩合外力矩M外11nniiiidLddLLdtdtdt右邊dLMdt外dtLdM 外外質點系的角動量定理：質點系的角動量定理：作用于作用于質點系的合外力矩等于質點系的合外力矩等于質點系對同一參考點的總角動量對時間的變化率。質點系對同一參考點的總角動量對時間的變化率。對比動量定理對比動量定理：dpFd t外MdtdL外上式還可寫為:角動量定理的積分形式：角動量定理的積分形式：LLddtMLLtt2121外合外力矩的沖量矩合外力矩的沖量矩 = 角動量的增量角動量的增量對比質點系的動量定理：對比質點系的動量定理：2121ttF dtpp外三、質點系的角動量守恒定律三、質點系的角動量守恒定律常常矢矢量量。結結論論：，條條件件：外外 LdtLdM, 0000,Fdppdt外條件： ，結論：常矢量。對比對比 動量守恒定律：動量守恒定律：1. 孤立系統孤立系統2. 在有心力的作用下，對力心在有心力的作用下