1、云南財經大學 2008 至 2009 學年 第二 學期 實變函數 課程期末考試試卷（試）（A）得分一二三四五六七八總分復核人閱卷人學號： 姓名： 班級： 專業： 院（系）： 答 案 不 得 超 過 裝 訂 線姓 名 裝班級 訂學號 線 一、填空題（本題共10小題，每小題2分，滿分20分. 把正確答案填在題中橫線上）1. 漸張集列必收斂，其極限集為 。2. 型集是 開集的交集。3. 上單調函數的不連續點所成之集的測度等于 。4. 若，則與的關系是 。5. 設是一可測漸張集列，則測度的下連續性用公式表示是 。6設f是上的廣義實值函數，則對任意實數a，=_.7設是上的單調函數，則必在上 可導。8設是

2、可測集上的非負可測函數，則的充要條件是_. 9區間上的有界函數是Riemann可積的充要條件是 。10設F (x)是定義在a,b上的實值函數，則成立牛頓-萊布尼茲公式 的充要條件是： F(x)是a,b上的 函數。二、選擇題（本題共8小題，每小題2分，滿分16分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號（答題框）內）1設 是一集合列，則下述等式中正確的是 ( )A.； B. C.； D. 。2設f (x)是E上的可測函數，則對任意實數a，有 ( )A. Ex; f (x) >a是開集； B. Ex; f (x) a是閉集；C. Ex; f (x) &g

3、t;a是可測集； D. Ex; f (x) = a是零測集。3下列斷言中錯誤的是 ( )A. 有理點集為零測集； B. Cantor 集為零測集；C. 零測集的子集是零測集； D. 無窮個零測集的并是零測集。4設f (x)為可測集上的可測函數，若，則下列斷言錯誤的是 ( )A. f (x)在上L-積分存在； B. f (x)在上L-可積；C. f (x)在上未必L-可積； D. f (x)在上a.e.有限。5設是上的可測函數列，存在，則 是 （ ）A.簡單函數；B.連續函數；C.可測函數；D.單調函數。6設是上有界變差函數，則有 ( )A. 連續； B. 存在；Ca.e.存在；D. 存在。7設

4、是可測集，是不可測集，則是 （ ）可測集且測度為零； 可測集但測度未必為零；不可測集； 以上都不對。8設是上的可測函數，則 （ ）是上的連續函數； 是上的勒貝格可積函數；是上的簡單函數； 可表示為一列簡單函數的極限。把本題的各答案填寫在下表中 1 2 3 4 5 6 7 8 三、判斷題(本題共10小題，每小題2分，共20分。判斷下列各題，正確的在題后括號內打“”，錯的打“×” )1設為不可數集，則A，B中至少有一個為不可數集。 ( ) 2. 若為可測集，且，一定是可數集或有限集。 ( ) 3設是上的可測函數列，則在上可測。 ( ) 4函數f (x)在E上可測的充要條件是，對于每個實數

5、a，集合E f =a可測。 ( ) 5任意多個零測集的并集仍是零測度集。 ( ) 6設f (x)為a, b上的絕對連續，則f (x)在a, b上一致連續。 ( ) 7零測度集上的任意函數均為可測函數。 ( ) 8設為的可測子集，則一定含有一個區間。 ( ) 9閉集減去閉集仍然是閉集 （ ）10若 可測，則也可測。 ( ) 把本題的各答案填寫在下表中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 四、證明題（本題共3小題，每小題4分，滿分12分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1. 證明：數集與實數集對等. 2. 設是區間內的全體有理點所成的集合，證明。3. 設在上可測，是上的廣義實值函數，并且，證明也是上的可測函數。五、簡答題（本題共3小題，每小題4分，滿分12分。簡答只須答出要點即可）1可測集與Borel集之間的關系是什么？2幾乎處處收斂、基本一致收斂以及依測度收斂的關系如何？（可用圖示箭頭表示）3簡述Lebesgue單調