1、 專業整理 1、如圖，在RtABC中，C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿BCA方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動（1）求AC、BC的長；（2）設點P的運動時間為x（秒），PBQ的面積為y（cm2），當PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當點Q在CA上運動，使PQAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與ABC是否相似，請說明理由；（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若

2、不存在，請說明理由解：（1）設AC=4x，BC=3x，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，AC=8cm，BC=6cm；（2）當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，BQ=2x，QHBACB，QH=x，y=BPQH=（10x）x=x2+8x（0x3），當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，AQ=142x，AQHABC，即：，解得：QH=（14x），y=PBQH=（10x）（14x）=x2x+42（3x7）；y與x的函數關系式為：y=；（3）AP=x，AQ=14x，PQAB，APQA

3、CB，即：，解得：x=，PQ=，PB=10x=，當點Q在CA上運動，使PQAB時，以點B、P、Q為定點的三角形與ABC不相似；（4）存在理由：AQ=142x=1410=4，AP=x=5，AC=8，AB=10，PQ是ABC的中位線，PQAB，PQAC，PQ是AC的垂直平分線，PC=AP=5，當點M與P重合時，BCM的周長最小，BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM的周長最小值為162、（12分） 如圖，矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與點C、 D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，PQ的中點為M.(1)求證：ADPABQ；(2)若A

4、D=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x, BM 2=y，求y與x的函數關系式，并求線段BM長的最小值；(3)若AD=10, AB=a， DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍。解：(1)證明： 四邊形ABCD是矩形 ADP=ABC=BAD=90°ABC+ABQ=180°10x20-xNABQ=ADP =90°AQAP PAQ=90°QAB+ BAP=90°又PAD+BAP=90°PAD=QAB在ADP與ABQ中ADPABQ（2）如圖，作MNQC，則QNM=QCD=9

5、0°又MQN=PQCMQNPQC 點M是PQ的中點 又 ADPABQ 在RtMBN中，由勾股定理得：即： 108ABCPDQM10a10當即時，線段BM長的最小值. (3)如圖，當點PQ中點M落在AB上時，此時QB=BC=10由ADPABQ得解得：隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍為：3、如圖，拋物線關于直線對稱，與坐標軸交于三點，且,點在拋物線上，直線是一次函數的圖象，點是坐標原點.（1）求拋物線的解析式；（2）若直線平分四邊形的面積，求的值.（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交于兩點，問在軸正半軸

6、上是否存在一定點，使得不論取何值，直線與總是關于軸對稱？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.答案：（1）因為拋物線關于直線x=1對稱，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由點D(2，1.5)在拋物線上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,從而c=1.5,所以.24（14分）（2013溫州）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（6，0），B（0.8），點C的坐標為（0，m），過點C作CEAB于點E，點D為x軸上的一動點，連接CD，DE，以CD，DE為邊作CDEF（1）當0m8時，求CE的長（用含m

7、的代數式表示）；（2）當m=3時，是否存在點D，使CDEF的頂點F恰好落在y軸上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點D在整個運動過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值解答：解：（1）A（6，0），B（0，8）OA=6，OB=8AB=10，CEB=AOB=90°，又OBA=EBC，BCEBAO，=，即=，CE=m；（2）m=3，BC=8m=5，CE=m=3BE=4，AE=ABBE=6點F落在y軸上（如圖2）DEBO，EDABOA，=即=OD=，點D的坐標為（，0）（3）取CE的中點P，過P作PGy軸于點G則CP=CE=m（）當m0時

8、，當0m8時，如圖3易證GCP=BAO，cosGCP=cosBAO=，CG=CPcosGCP=（m）=mOG=OC+OG=m+m=m+根據題意得，得：OG=CP，m+=m，解得：m=；當m8時，OGCP，顯然不存在滿足條件的m的值（）當m=0時，即點C與原點O重合（如圖4）（）當m0時，當點E與點A重合時，（如圖5），易證COAAOB，=，即=，解得：m=當點E與點A不重合時，（如圖6）OG=OCOG=m（m）=m由題意得：OG=CP，m=m解得m=綜上所述，m的值是或0或或28、如圖，過原點的直線l1：y=3x，l2：y=x點P從原點O出發沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動直線PQ交y

9、軸正半軸于點Q，且分別交l1、l2于點A、B設點P的運動時間為t秒時，直線PQ的解析式為y=x+tAOB的面積為Sl（如圖）以AB為對角線作正方形ACBD，其面積為S2（如圖）連接PD并延長，交l1于點E，交l2于點F設PEA的面積為S3；（如圖）（1）Sl關于t的函數解析式為_；（2）直線OC的函數解析式為_；（3）S2關于t的函數解析式為_；（4）S3關于t的函數解析式為_解：（1）由，得，A點坐標為（，）由得B點坐標為（，）S1=SAOPSBOP=t2（2）由（1）得，點C的坐標為（，）設直線OC的解析式為y=kx，根據題意得=，k=，直線OC的解析式為y=x（3）由（1）、（2）知，正

10、方形ABCD的邊長CB=t=，S2=CB2=（）2=（4）設直線PD的解析式為y=k1x+b，由（1）知，點D的坐標為（t，），將P（t，0）、D（）代入得，解得直線PD的解析式為y=由，得E點坐標為（，）S3=SEOPSAOP=tttt=t225（10分）（2013天津）在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），點B（0，4），點E在OB上，且OAE=0BA（）如圖，求點E的坐標；（）如圖，將AEO沿x軸向右平移得到AEO，連接AB、BE設AA=m，其中0m2，試用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值時點E的坐標；當AB+BE取得最小值時，求點E的坐標（直接寫出結果即

11、可）考點：相似形綜合題3718684分析：（）根據相似三角形OAEOBA的對應邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E（0，1）；（）如圖，連接EE在RtABO中，勾股定理得到AB2=（2m）2+42=m24m+20，在RtBEE中，利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9，則AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27所以由二次函數最值的求法知，當m=1即點E的坐標是（1，1）時，AB2+BE2取得最小值解答：解：（）如圖，點A（2，0），點B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90°，OAEOBA，=，即=，解得，OE=1，點E的坐標為（0

12、，1）；（）如圖，連接EE由題設知AA=m（0m2），則AO=2m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2m）2+42=m24m+20AEO是AEO沿x軸向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90°，EE=m又BE=OBOE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27當m=1時，AB2+BE2可以取得最小值，此時，點E的坐標是（1，1）如圖，過點A作ABx，并使AB=BE=3易證ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA當點B、A、B在同一條直線上時，AB+BA最小，即此時AB+BE取得最小

13、值易證ABAOBA，=，AA=×2=，EE=AA=，點E的坐標是（，1）點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平移的性質以及勾股定理等知識點此題難度較大，需要學生對知識有一個系統的掌握17、（12分）（2013雅安）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H（1）求該拋物線的解析式；（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，AD

14、F的面積為S求S與m的函數關系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由解：（1）由題意可知：解得：拋物線的解析式為：y=x22x+3；（2）PBC的周長為：PB+PC+BCBC是定值，當PB+PC最小時，PBC的周長最小，點A、點B關于對稱軸I對稱，連接AC交l于點P，即點P為所求的點AP=BPPBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BCA（3，0），B（1，0），C（0，3），AC=3，BC=；（3）拋物線y=x22x+3頂點D的坐標為（1，4）A（3，0）直線AD的解析式為y=2x+6點E的橫坐標為m，E（m，2m+6），F（m，m22m+3）E

15、F=m22m+3（2m+6）=m24m3S=SDEF+SAEF=EFGH+EFAC=EFAH=（m24m3）×2=m24m3；S=m24m3=（m+2）2+1；當m=2時，S最大，最大值為1此時點E的坐標為（2，2）16、（12分）（2013南昌）已知拋物線yn=（xan）2+an（n為正整數，且0a1a2an）與x軸的交點為An1（bn1，0）和An（bn，0），當n=1時，第1條拋物線y1=（xa1）2+a1與x軸的交點為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類推（1）求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；（2）拋物線y3的頂點坐標為（ ， ）；依此類推第n條拋物線yn的頂點

16、坐標為（ ， ）；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是 ；（3）探究下列結論：若用An1An表示第n條拋物線被x軸截得的線段長，直接寫出A0A1的值，并求出An1An；是否存在經過點A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由解：（1）當n=1時，第1條拋物線y1=（xa1）2+a1與x軸的交點為A0（0，0），0=（0a1）2+a1，解得a1=1或a1=0由已知a10，a1=1，y1=（x1）2+1令y1=0，即（x1）2+1=0，解得x=0或x=2，A1（2，0），b1=2由題意，當n=2時，第2條拋物線

17、y2=（xa2）2+a2經過點A1（2，0），0=（2a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，a1=1，且已知a2a1，a2=4，y2=（x4）2+4a1=1，b1=2，y2=（x4）2+4（2）拋物線y2=（x4）2+4，令y2=0，即（x4）2+4=0，解得x=2或x=6A1（2，0），A2（6，0）由題意，當n=3時，第3條拋物線y3=（xa3）2+a3經過點A2（6，0），0=（6a3）2+a3，解得a3=4或a3=9a2=4，且已知a3a2，a3=9，y3=（x9）2+9y3的頂點坐標為（9，9）由y1的頂點坐標（1，1），y2的頂點坐標（4，4），y3的頂點坐標（9，9），依此類推

18、，yn的頂點坐標為（n2，n2）所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，頂點坐標滿足的函數關系式是：y=x（3）A0（0，0），A1（2，0），A0A1=2yn=（xn2）2+n2，令yn=0，即（xn2）2+n2=0，解得x=n2+n或x=n2n，An1（n2n，0），An（n2+n，0），即An1An=（n2+n）（n2n）=2n存在設過點（2，0）的直線解析式為y=kx+b，則有：0=2k+b，得b=2k，y=kx2k設直線y=kx2k與拋物線yn=（xn2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）兩點，聯立兩式得：kx2k=（xn2）2+n2，整理得：x2+（k2n2）x+n4n22k

19、=0，x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k過點F作FGx軸，過點E作EGFG于點G，則EG=x2x1，FG=y2y1=（x2n2）2+n2（x1n2）2+n2=（x1+x22n2）（x1x2）=k（x2x1）在RtEFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，即：EF2=（x2x1）2+k（x2x1）2=（k2+1）（x2x1）2=（k2+1）（x1+x2）24x1x2，將x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k代入，整理得：EF2=（k2+1）4n2（1k）+k2+8k，當k=1時，EF2=（1+1）（1+8）=9，EF=3為定值，k=1滿足條件，此時直線解析式為y=x2存在滿

20、足條件的直線，該直線的解析式為y=x215（2012義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點A（3，6）（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足BAE=BED=AOD繼續探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數分別是1個、2

21、個？解答：解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，k=2，y=2x（2012義烏市）OA=（3分）（2）是一個定值，理由如下：如答圖1，過點Q作QGy軸于點G，QHx軸于點H當QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，此時；當QH與QM不重合時，QNQM，QGQH不妨設點H，G分別在x、y軸的正半軸上，MQH=GQN，又QHM=QGN=90°QHMQGN（5分），當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得 （7分）（3）如答圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FCOA于點C，過點A作ARx軸于點RAOD=BAE，AF=OF，OC=AC=OA=ARO=FCO=90

22、6;，AOR=FOC，AORFOC，OF=，點F（，0），設點B（x，），過點B作BKAR于點K，則AKBARF，即，解得x1=6，x2=3（舍去），點B（6，2），BK=63=3，AK=62=4，AB=5 （8分）；（求AB也可采用下面的方法）設直線AF為y=kx+b（k0）把點A（3，6），點F（，0）代入得k=，b=10，（舍去），B（6，2），AB=5（8分）（其它方法求出AB的長酌情給分）在ABE與OED中BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB，ABE=DEO，BAE=EOD，ABEOED（9分）設OE=x，則AE=x （），由ABEOED得，（）（10分）頂點為（，）如答圖

23、3，當時，OE=x=，此時E點有1個；當時，任取一個m的值都對應著兩個x值，此時E點有2個當時，E點只有1個（11分）當時，E點有2個（12分）已知一個直角三角形紙片OAB，其中AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D。（）若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；（）若折疊后點B落在邊OA上的點為B，設OB=x，OC=y，試寫出y關于x的函數解析式，并確定y的取值范圍；（）若折疊后點B落在邊OA上的點為B，且使BDOB，求此時點C的坐標。解：（）如圖（1），折疊后點B與點A重合，連接AC，則ACDBC

24、D，設點C的坐標為（0，m）（m>0），則BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，在RtAOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4-m）2=m2+22，解得m=，點C的坐標為；（）如圖（2），折疊后點B落在OA邊上的點為B連接BC，BD，則BCDBCD，由題設OB=x，OC=y，則BC=BC=OB-OC=4-y，在RtBOC中，由勾股定理，得BC2=OC2+OB2，（4-y）2=y2+x2，即，由點B在邊OA上，有0x2，解析式（0x2）為所求，當0x2時，y隨x的增大而減小，y的取值范圍為；（）如圖（3），折疊后點B落在OA邊上的點為B，連接BC，BD，BDOB，

25、則OCB=CBD，又CBD=CBD，CB=CBD，CBBA，RtCOBRtBOA，有，得OC=20B，在RtBOC中，設OB=x0（x0>0），則OC=2x0，由（）的結論，得2x0=，解得x0=，x0>0，x0=，點C的坐標為。12、在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點P在AB上，PA=1，AO=2經過原點的拋物線y=mx2x+n的對稱軸是直線x=2（1）求出該拋物線的解析式（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經過點O和C現在利用圖2進行如下探究：將三角板從圖1中的位置開始，繞點P順時針旋轉，兩

26、直角邊分別交OA、OC于點E、F，當點E和點A重合時停止旋轉請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發生變化？若發生變化，說明理由；若不發生變化，求出的值設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為D，頂點為M，在的旋轉過程中，是否存在點F，使DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由（1）拋物線y=mx2x+n經過原點，n=0對稱軸為直線x=2，=2，解得m=拋物線的解析式為：y=x2x（2）的值不變理由如下：如答圖1所示，過點P作PGx軸于點G，則PG=AO=2PEPF，PAPG，APE=GPF在RtPAE與RtPGF中，APE=GPF，PAE=PGF=90°，RtPAERtPGF=存在拋

27、物線的解析式為：y=x2x，令y=0，即x2x=0，解得：x=0或x=4，D（4，0）又y=x2x=（x2）21，頂點M坐標為（2，1）若DMF為等腰三角形，可能有三種情形：（I）FM=FD如答圖2所示：過點M作MNx軸于點N，則MN=1，ND=2，MD=設FM=FD=x，則NF=NDFD=2x在RtMNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即：（2x）2+1=x2，解得：x=，FD=，OF=ODFD=4=，F（，0）；（II）若FD=DM如答圖3所示：此時FD=DM=，OF=ODFD=4F（4，0）；（III）若FM=MD由拋物線對稱性可知，此時點F與原點O重合而由題意可知，點E與點A

28、重合后即停止運動，故點F不可能運動到原點O此種情形不存在綜上所述，存在點F（，0）或F（4，0），使DMF為等腰三角形如圖1，兩塊等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，ABC =DEF = 90°，AB = 1，DE = 2將直線EB繞點E逆時針旋轉45°，交直線AD于點M將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設C、E兩點間的距離為x11、（第11題圖1）CDEAFMlB（第11題圖2）DEF(C)ABMl請你和艾思軻同學一起嘗試探究下列問題：（1）當點C與點F重合時，如圖2所示，可得的值為 ；在平移過程中，的值為 （用含x的代數式表示）；（2）艾思軻同學

29、將圖2中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變當點A落在線段DF上時，如圖3所示，請你幫他補全圖形，并計算的值；（3）艾思軻同學又將圖1中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉度，原題中的其他條件保持不變請你計算的值（用含x的代數式表示）（第11題備用圖）DEFl（第11題圖3）DEF(C)lAB11解：（1） 1 （2分） （2分）（2）聯結AE，補全圖形如圖1所示（1分）ABC和DEF是等腰直角三角形，ABC =DEF = 90°，AB = 1，DE = 2，BC = 1，EF = 2，DFE =ACB = 45°，EFB = 90°，點A為DF的中

30、點（1分）EADF，EA平分DEFMAE = 90°，AEF = 45°，MEB =AEF = 45°，MEA =BEFRtMAERtBFE（1分），（1分）（第25題圖1）DEF(C)lABM（第25題圖2）DEAFMlCBG，（1分）（3）如圖2，過點B作BE的垂線交直線EM于點G，聯結AGEBG = 90°，BEM = 45°，BGE = 45°BE = BG（1分）ABC =EBG = 90°，ABG =CBE（1分）又BA = BC，ABGCBE（1分）AG = CE = x，AGB =CEBAGB +AGM =C

31、EB +DEM = 45°，AGM =DEM，AGDE（1分）（1分）注：第（3）小題直接寫出結果不得分10、如圖，拋物線：yax2bx4與x軸交于點A(2，0)和B(4，0)、與y軸交于點C(1)求拋物線的解析式；(2)T是拋物線對稱軸上的一點，且ACT是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標； 3)點M、Q分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發相向而行當點M原點時，點Q立刻掉頭并以每秒3/2個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動過點M的直線l軸，交AC或BC于點P求點M的運動時間t(秒)與APQ的面積S的函數關系式，并求出S的最大值（1)、9、 如圖 (1)，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，ABEF9，BACDEF90°，固定