1、第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總二階線性偏微分方程的分類與總結結4-1 4-1 二階線性方程的分類二階線性方程的分類本章研究一般的二階線性偏微分方程，并對前三章討論的三類方程的性質進行比較深入的總結和討論兩個自變量的二階線性方程兩個自變量的二階線性方程舉例一維弦振動方程（第一章）一維熱傳導方程（第二章）二維拉普拉斯方程（第三章）fxuatu22222fxuatu222fyuxu2222，第1頁/共20頁一般的二階線性方程總可以寫成如下形式：fcuububuauauayxyyxyxx212212112),(),(yxyxfucububuauaua212212112(1.1)通過適當的自

2、變量變換與未知函數的線性變換，對其進行簡化，并分類。方程（A）方程（B），形式簡單可逆的自變量變換解（A）解（B）可逆的自變量變換對式（1.1），作自變量的變換可以將式（1.1）化成下述關于自變量,的偏微分方程(1.2)(1.4)第2頁/共20頁yyyyyyyyyyxyxyyxxyyxyxxyxxxxxxxxxxyyyxxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu22222)(2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxuuuuuuxuxuxuxuxuuxuu)()()()(xyxyyxyxyyxxxxxxxxyuuuuuuyuyuyuyuyuuyuu)()()()(由于222122112

3、22212111222212211112)(2yyxxyyxyyxxxyyxxaaaaaaaaaaaa(1.5)(1.6)所以方程(1.4)中系數第3頁/共20頁0222212211yyxxaaa),(1yx),(2yx(1.7)如果能選擇到方程的兩個函數無關的解，取，),(),(21yxyx0222212211dxadxdyadya方程(1.4)中的系數就變為零，這樣(1.4)式就大為簡化了。11a22a，Cyx),(0dxdyyxdxdyyx方程(1.7)可以化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線問題推導:cyx),(1),(1yxz設是方程(1.8)的一族積分曲線，則(1.8)是

4、(1.7)的一個解。方程(1.8)的積分曲線為方程(1.1)的特征線特征線，方程(1.8)亦稱特征方程特征方程。第4頁/共20頁1122112121211221121212aaaaadxdyaaaaadxdy01211212aaa(1.9)三種情形：(1)cyx),(1cyx),(2),(),(21yxyxDCuBuAuu(1.10)雙曲型方程標準形式雙曲型方程標準形式 (1.11)第5頁/共20頁01211212aaa01211212aaa(2)cyx),(1),(1yxDCuBuAuu拋物型方程標準形式拋物型方程標準形式 (1.13)02211yxaa0)(22211yxaa0)()(22

5、11221122121112yxyxyyxyyxxxaaaaaaaa，則(1.7)式變為012a011a011a),(2yx特征曲線只有一族選取，則有，又由于，即，所以121112aaa所以任取一函數，使12和函數無關，則(1.1)式可化為第6頁/共20頁01211212aaa(3),(),(Im),(),(Re21yxyxyxyxDCuBuAuuu橢圓型方程標準形式橢圓型方程標準形式 (1.17)cyxiyxyx),(),(),(21, 此時不存在實的特征線, (1.8)式的通積分只能為復函數。i做變換則(1.1)式可化為假設是(1.9)式的一個通積分，),(yxz0222212211yyxxaaayyyxxxii,則滿足（1.7）式(1.15)即滿足方程（1.7）式，將實部和虛部分開，得到,代入得0)()(2)(22212211yyyyxxxxiaiiaia0)(222212112221221122212211yyxyyxxxyyxxyyxxaaaaaaaaa0122211aaa第7頁/共20頁第8頁/共20頁第9頁/共20頁第10頁/共20頁第11頁/共20頁