1、定 積 分 的 定 義單位：信息與管文科學(xué)學(xué)院 abxyo? A)(xfy 姓名：張曉梅 第五章第五章 定積分定積分 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念 一、問題的提出一、問題的提出 二、定積分的定義二、定積分的定義 三、存在定理三、存在定理 四、幾何意義四、幾何意義 曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線實(shí)例實(shí)例1 1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出abxyo? A)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然

2、，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積四個小矩形四個小矩形九個小矩形九個小矩形察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放曲邊梯形如下圖，曲邊梯形如下圖，,1210bxxxxxabann 個個分分點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，

3、以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當(dāng)分割無限加細(xì)當(dāng)分割無限加細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實(shí)例實(shí)例2 2 求變速直線運(yùn)動的路程求變速直線運(yùn)動的路程 設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思緒：把整段時間分割成假設(shè)干小段，每小段思緒：把整段

4、時間分割成假設(shè)干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后經(jīng)過對時間的無限便得到路程的近似值，最后經(jīng)過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的準(zhǔn)確值細(xì)分過程求得路程的準(zhǔn)確值1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時辰的速度某時辰的速度2求和求和iinitvs )(1 3取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的準(zhǔn)確值路程的準(zhǔn)確值設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任

5、意意插插入入若若干干個個分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣的的取取法法，只要當(dāng)只要當(dāng)0 時，

6、時，和和S總總趨趨于于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和留意：留意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在

7、在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，則則)(xf在在三、存在定理區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號積取負(fù)號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積

8、的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點(diǎn)為等分，分點(diǎn)為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點(diǎn)點(diǎn) 12, nqqq,典典型型小小區(qū)區(qū)間間為為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()