1、衢州學院學年論文 題 目： 矩陣相似對角化研究 姓 名： 涂廣偉 學 號： 4111012104 院 別： 教師教育學院 系：數理系所在專業： 數學與應用數學（師范） _指導教師： 朱溦 職 稱： 講師 2013 年 10 月 8 日目 錄1緒論12矩陣相似對角化相關概念22.1相似22.2對角化22.3對稱矩陣22.4對角矩陣22.5實對稱矩陣33矩陣相似對角化充要條件33.1特征多項式33.2特征向量33.3實對稱矩陣54可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟75矩陣可對角化的應用75.1非實對稱矩陣相似對角化的應用75.2實對稱矩陣的對角化的應用96總結10參 考 文 獻11英 文 翻 譯

2、12致 謝 辭13衢州學院教師教育學院數理系數學與應用數學（師范）專業學生學年論文矩陣相似對角化研究【內容摘要】 本文介紹了任意n階矩陣特征值以及各個特征值所對應的特征向量的求解方法，通過對特征值，特征向量的求解，來判定該n階矩陣是否可對角化。另外，本文還討論了一種特殊矩陣實對稱矩陣的對角化 。【關鍵詞】 矩陣 ; 特征值 ; 特征向量; 相似; 對角化1 緒論矩陣是高等代數中的重要組成部分，是許多數學分支研究的重要工具。而對角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類，其形式簡單，研究起來也非常方便。相似的矩陣擁有很多相同的性質，比如特征多項式、特征根等等。如果我們要研究一個矩陣的這些性質，這時研究它所對

3、應的對角化矩陣即可。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，所以研究起來非常方便。 線性代數中矩陣是否可以對角化,是矩陣的一條很重要的性質。矩陣對角化也是高等代數和線性代數中矩陣理論這一部分的主要內容。人們對此研究得出了很多有用的結論。諸如一些充要條件：階方陣可以對角化的充要條件是它有個線性無關的特征向量；n階方陣A的n個特征值互不相同，則A可對角化；n階矩陣所對應的特征值的重根數等于齊次線性方程組的基礎解系所含向量的個數等等。 在本課題中通過閱讀參考文獻、查閱相關資料，初步總結出了矩陣可對角化的若干充分必要條件，并給予了相應的證明過程。除此之外，本文還舉出了矩陣對角化這一理論在實際解題中的應用。2 矩

4、陣相似對角化相關概念2.1 相似 對于任意的n階方陣,若存在可逆方陣，使得則稱矩陣與相似，記為，而對進行的運算稱為對進行的相似變換， 可逆方陣，稱為把變為的相似變換矩陣。2.2 對角化 對于任意n階矩陣A，如果存在可逆矩陣P,有 (對角矩陣),那么我們稱A可對角化。2.3 對稱矩陣 設矩陣，記為矩陣的轉置。若矩陣A滿足條件，則稱為對稱矩陣。由定義知： .對稱矩陣一定是方陣。 .位于主對角線對稱位置上的元素必對應相等.即，對任意都成立.對稱矩陣形如。2.4 對角矩陣 形式為的矩陣，其中是數，通常稱為對角距陣。2.5 實對稱矩陣 若對稱矩陣的每一個元素都是實數，則稱為實對稱矩陣。3 矩陣相似對角化

5、充要條件3.1 特征多項式 定理 1 若n階矩陣A與B相似，則A和B的特征多項式相同，從而A與B的特征值亦相同。 證明： 因為A與B相似，則存在可逆矩陣P，使得 故 所以A和B的特征多項式相同。令 解出 ，則就是A與B的特征值。由以上證明可以得出：若n階矩陣與對角矩陣 相似，則 是A的n個特征值，這個結論是顯然的，因為A與相似，根據定理1得它們有相同特征值。所以是A的n個特征值。3.2 特征向量 定理2 數域P上n階矩陣A可以對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。 證明： 先證充分性 假設是矩陣A的n個線性無關的特征向量則有 令顯然P是可逆矩陣，將其記，則= A（）=即充分性得證 。

6、再證必要性 令矩陣和對角形矩陣相似，即存在可逆矩陣使得，則有,記， ()即有，這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量，而已知是可逆陣，故的個列向量線性無關，必要性得證。 應注意，由n階矩陣A可對角化，并不能斷定A一定含有n個互不相同的特征值。在后文我們會給出部分n階矩陣A的特征值雖有重根，但是仍可對角化。 引理1 設是n階矩陣A的s個不同特征值，是A的分別屬于的特征向量，則線性無關。 證明： 用數學歸納法證明，當s=2時，設 分別是A的所對應于特征值的特征向量， 令 (1)則有 (2)(1)-(2)得 又因為 所以 ，所以定理關于成立。假設s-1時定理成立。當為s時，設A的s個不同特征值所對應的特

7、征向令 （3）對（3）式左乘A，得： （4）由假設得：線性無關，所以因為，再帶入（3）中得,定理得證。 定理3 設 ，則可以對角化的充分必要條件是：(1)的特征根都在數域內；(2) A的每個特征值對應的線性無關的特征向量最大個數等于該特征值的重數，也就是矩陣A全部特征值所對應的線性無關的特征向量個數之和為n；證明： 設是的所有不同的特征根，根的重數分別為。 充分性：由于的特征向量有個線性無關，由引理1得，不同特征值所對應的特征向量也線性無關，所以A有n個線性無關的特征向量，所以A可以對角化。 必要性：使用反證法 假設如果有一個特征值所對應的無關的特征向量的最大個數的重數，則A的線性無關的特征向

8、量個數小于n，故A不可能與對角矩陣相似，這顯然與A可對角化矛盾。 我們知道并不是所有的n階矩陣都可對角化，但是當為n階實對稱矩陣時，一定可對角化，為了證明實對稱矩陣一定可對角化，我們引入實對稱矩陣的一些性質。3.3 實對稱矩陣定理4 實對稱矩陣的特征值都是實數。 證明： 設是階實對稱陣，是的特征值，是屬于的特征向量，于是有。令，其中是的共軛復數，則，考察等式，其左邊為，右邊為.故，又因X是非零量，故，即是一個實數。注意，由于實對稱矩陣的特征值為實數，所以齊次線性方程組為實系數方程組，由知必有實的基礎解系，從而對應的特征向量可以取實向量。但是此定理的逆命題不成立。例如，均為實數，而不是對稱的。定

9、理5 設A是實對稱矩陣，則對于任意向量，有。證明： 顯然等價于,只需要證即可。因為A是實對稱矩陣，所以A=A，結論得證。 定理6 設是實對稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量必正交。 證明: 設是的兩個不同的特征值，分別是屬于的特征向量，于是，由，有， 因為，所以，即正交。定理7 對任意一個階實對稱矩陣，都存在一個階正交矩陣P，使成為對角形且對角線上的元素為的特征值。證明: 設的互不相等的特征值為，它們的重數依次為。則對應特征值，恰有個線性無關的實特征向量，把它們正交化并單位化，即得個單位正交的特征向量，由知，這樣的特征向量共可得個。由定理6知對應于不同特征值的特征向量正交，故這個單位特征向

10、量兩兩正交。以它們為列向量作成正交矩陣，則，其對角矩陣中的對角元素含個，,個，恰是的個特征值。4 可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟具體步驟 設，求可逆矩陣，使為對角矩陣的步驟是: (1) 求矩陣的全部特征根； (2) 如果的特征根都在數域內(否則不可對角化), 那么對每個特征根, 求出齊次線性方程組的一個基礎解系； (3) 如果對每個特征根, 的基礎解系所含解向量個數等于的重數(否則不可對角化), 那么可對角化,以所有基礎解系中的向量為列即得階可逆矩陣, 且是對角陣, 而對角線上的元素是的全部特征根；設， 并設可逆， 由得 ， 即有由此可見， 只要取 的列為矩陣的個特征向量即可， 因為可逆

11、， 所以應線性無關。5 矩陣可對角化的應用5.1 非對稱矩陣相似對角化的應用例1 判斷矩陣是否可以對角化。解: A的特征多項式=0解得的特征值是（重），（重），對于特征根-4，求出齊次線性方程組。的一個基礎解系，對于特征根2，求出齊次線性方程組的一個基礎解系。由于基礎解系所含解向量的個數等于對應的特征根的重數，所以可以對角化。取,那么 5.2 實對稱矩陣的對角化的應用例 陣。 解: 由 求得A的特征值為 對應 解方程由 得基礎解系將單位化，得 對應解方程由 將正交化，令 再將其單位化得， 將構成正交矩陣 6 總結矩陣是數學中的一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象，而矩陣的對角化是矩陣

12、論中的一個重點內容。本文論述了矩陣可對角化的基本理論，在此基礎上探討了矩陣可對角化的充分必要條件，使我們更輕松的理解并掌握矩陣的對角化問題。10參 考 文 獻1 張禾瑞，郝炳新，高等代數M， 2007，3版， 北京：高等教育出版社2 王萼芳，石生明，高等代數M ，2003，2版， 北京：高等教育出版社 3 張枚，高等代數習題選編M，1981，版，浙江：浙江科學技術出版社4 楊子胥，高等代數習題解M，2001，版，山東：山東科學技術出版社13Matrix diagonalization similar study【 abstract 】 this paper introduces the arb

13、itrary order n matrix eigenvalues and eigenvectors corresponding to each eigenvalue method, based on the characteristic value and characteristic vector of the solution, to determine whether the n order matrix diagonalization, in addition, this paper also discusses a special matrix, diagonal matrix diagonalization. 【 key words 】 similarity； diag