1、排列組合模型中的幾何計數問題近年來高考試題當中常出現以立體幾何中的點線面的位置為背景的排列組合、概率問題。要想正確解答這類問題，必須對立體幾何中的點、共線、異面直線、共面異面認知清楚，不重復不遺漏。例1考察正方形6個面的中心，甲從這6個點任意選兩個連成直線，乙也從這6個點中選兩個點連成直線，則所得直線相互平行但不重合的概率是多少？ABCDEF解析 思路1：如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，共有種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有 共12對，所以所求概率為思路2：觀察這6個點，將B和A分別與平面CDEF相連，發現是兩個共底面的三棱錐，在這

2、兩個三棱錐中有三個平行四邊形：ADBC、BEAF、CEDF。平行四邊形對邊平行，于是可得：P=例2過三棱柱任意兩個頂點的直線有15條，其中異面直線有多少條？解析我們直接求解的話需要從上底面、下底面、側棱以及側棱對角線的角度考慮，較為繁瑣。不如用間接法求解：共面直線對數共有3種：共一頂點的共面直線有6=60對；側面互相平行的直線有6對；側面的對角線有3對共面。所以異面直線共有6063=36對例3如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色。則不同的涂色方法共有（A） 288種 （B）264種 （C） 240種 （D）168

3、種 解析本小題考查排列組合的基礎知識，考查分類討論的數學思想。思路1分三類：（1）B、D、E、F用四種顏色，則有種方法；（2）B、D、E、F用三種顏色，則有種方法；（3）B、D、E、F用二種顏色，則有，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264種。【答案】B思路2樹狀圖可以有效的幫助我們解答該類問題DEA平面中可以涂的顏色有4×3×2中，再就下底面使用三種顏色或四種顏色進行分類討論。例4 ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為（ ）A B C D 【解析】長方形面積為2,以O為圓心,1為半徑作圓

4、,在矩形內部的部分(半圓)面積為因此取到的點到O的距離小于1的概率為÷2取到的點到O的距離大于1的概率為【答案】B例5 甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（A） （A） （A） （A）【解析】對于幾何中的概率問題，關鍵是正確作出幾何圖形，分類得出基本事件數，然后得所求事件保護的基本事件數，進而利用概率公式求概率.正方形四個頂點可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個基本事件。兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對角線）包括10個基本事件，所以概率等于【答案】C例6 與四面體四個頂點距離

5、相等的平面有多少個？【解析】在這個問題中我們要考慮到對棱的問題。與四面體四個面平行且與四面體四個頂點距離相等的平面共有4個。AC、BD,AB、CD,AD、BC三對對棱可構造3個平面。所以共有7個平面。類似的題如下：與正方體的三條棱、所在直線的距離相等的點（A）有且只有1個 （B）有且只有2個（C）有且只有3個 （D）有無數個【解析】建系可得這樣的點P（X，Y，Z）滿足X=Y=Z，即構成體對角線B1D所在直線。選D。例7 以平行六面體中的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率是多少？【解析】以任意三個頂點為頂點可得=56個三角形，2個一組可組成=28