1、2020高中數學競賽標準講義：第一章：集合與簡易邏輯一、基礎知識定義1一樣地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素X在集合A中，稱x屬于A,記為xA,否那么稱x不屬于A,記作xAo例如，通常用N,Z,Q,B,Q十分不表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內并用逗號隔開表示集合的方法，如1,2,3;描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。例如有理數,xx0分不表

2、示有理數集和正實數集。定義2子集：關于兩個集合A與B,假如集合A中的任何一個元素差不多上集合B中的元素，那么A叫做B的子集，記為AB,例如NZo規定空集是任何集合的子集，假如A是B的子集，B也是A的子集，那么稱A與B相等。假如A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A,那么A叫B的真子集。定義3交集，ABxxA且xB.定義4并集，ABxxA或xB.定義5補集，假設AI,則CiAxxI,且xA稱為A在I中的補集。定義6差集，ABxxA,且xB。定義7集合xaxb,xR,ab記作開區間(a,b),集合xaxb,xR,ab記作閉區間a,b,R記作(，).定理1集合的性質：對任意集合A,B,C,有：1A(

3、BC)(AB)(AC);2A(BC)(AB)(AC);3C1AC1BC1(AB);4C1AC1BC1(AB).【證明】那個地點僅證1、3，其余由讀者自己完成。1假設xA(BC),那么xA,且xB或xC,因此x(AB)或x(AC),即x(AB)(AC)；反之，x(AB)(AC),那么x(AB)或x(AC),即xA且xB或xC,即xA且x(BC),即xA(BC).3假設xC1AgB,那么xC1A或xCB,因此xA或xB,因此x(AB),又xI,因此xC1(AB),即C1AC1BC1(AB),反之也有C(AB)C1AC1B.定理2加法原理：做一件事有n類方法，第一類方法中有m1種不同的方法，第二類方

4、法中有m2種不同的方法，第n類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有Nmm2mn種不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有Nmm?mn種不同的方二、方法與例題1 .利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。例1設Maax2y2,x,yZ,求證：12k1M,(kZ)；24k2M,(kZ);3假設pM,qM,那么pqM.證明1因為k,k1Z,且2k1k2(k1)2,因此2k1M.2假設4k2M(kZ),那么存在x,yZ,使4k2x2y2,由于xy和xy有相同的奇偶性，因此x2y2(x

5、y)(xy)是奇數或4的倍數，不可能等于4k2,假設不成立，因止匕4k2M.3設pxy,qab,x,y,a,bZ,那么pq(xy)(ab)2222222222aaybxbya(xayb)(xbya)M因為xayaZ,xbyaZ。2 .利用子集的定義證明集合相等，先證AB,再證BA,那么A=B0例2設A,B是兩個集合，又設集合M滿足AMBMAB,ABMAB,求集合M用A,B表示。【解】先證(AB)M,假設x(AB),因為AMAB,因此xAM,xM,因此(AB)M；再證M(AB),假設xM,那么xABMAB.1假設xA,那么xAMAB;2彳貿設xB,那么xBMAB。因止匕M(AB).綜上，MAB.

6、3 .分類討論思想的應用。例3Axx23x20,Bxx2axa10,Cxx2mx20,假設ABA,ACC,求a,m.【解】依題設，A1,2,再由x2axa1。解得xa1或x1,因為ABA,因止匕BA,因止匕a1A,因此a11或2,因此a2或3。因為ACC,因此CA,假設C，那么m280,即2氏m2V2,假設C，那么1C或2C,解得m3.綜上所述，a2或a3；m3或2點m2點。4 .計數原理的應用。例4集合A,B,C是I=1,2,3,4,5,6,7,8,9,0的子集，1假設ABI,求有序集合對A,B的個數；2求I的非空真子集的個數。【解】1集合I可劃分為三個不相交的子集；AB,BA,AB,I中的

7、每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，因此集合對有310個。2I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有2101024個，非空真子集有1022個。5 .配對方法。例5給定集合I1,2,3,n的k個子集：Ai,A2,Ak,滿足任何兩個子集的交集非空，同時再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質，求k的值。【解】將I的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得2n1對，每一對不能同在那個k子集中，因此，k2n

8、1;其次，每一對中必有一個在那個k子集中顯現，否那么，假設有一對子集未顯現，設為CiA與A,并設AAi,那么AiCiA,從而能夠在k個子集中再添加CiA,與矛盾，因此k2n1。綜上，k2n1。6 .競賽常用方法與例咨詢題。定理4容斥原理；用A表示集合A的元素個數,ABC那么A BA B A B, 需要xy此結論能夠推廣到nnAi 1定義8AiAiAji 1i j集合的劃分：假設Ai1 i j k nA2AjAn且Ai1)n 1AjAi .1(1 i, j n,i j),那么這些個集合的情形，即子集的全集叫I的一個n-劃分。定理5最小數原理：自然數集的任何非空子集必有最小數。m 1個元定理6抽屜

9、原理：將mn1個元素放入n(n1)個抽屜，必有一個抽屜放有許多于素，也必有一個抽屜放有不多于m個元素；將無窮多個元素放入n個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素例6求1,：【解】記I,o2, 3,，100中不能被2, 3, 5整除的數的個數。1,2,3, ,100, A100,3 x, Cx1x1 x 100，且x能被2整除(記為2 x), x 100,5x,由容斥原理，ABC100210031005 個。 例7100610010100151003074,因此不能被2,3,5整除的數有IABC26S是集合1, 2,，2004的子集，S中的任意兩個數的差不等于 4或7,咨詢S中最多含有多少個元素？【

10、解】將任意連續的11個整數排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數至多有一個屬于S,將這11個數按連續兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數，假設S含有這11個數中至少6個，那么必有兩個數在同一組，與矛盾，因此S至多含有其中5個數。又因為2004=182X11+2,因此S一共至多含有1825+2=912個元素，另一方面，當Srr11kt,t1,2,4,7,10,r2004,kN時，恰有S912,且S滿足題目條件，因此最少含有912個元素。例8求所有自然數n(n2),使得存在實數a1，a2,an滿足：aiaj1ijn1,2,2%【解】當n2時，a10,a21;當n3時，a01自3；當n4

11、時,a10,a2205冏1。下證當n5時，不存在a1，a2,an滿足條件。令0a1a2an,那么ann(n1).2因此必存在某兩個下標ij,使得ajajan1,因此an1an1aan1或an1ana2,即a21,因此ann(n1),an1an1或annn1),a21。22i假設ann(n_1),an1an1,考慮an2,有an2an2或an2ana?,即a22,2設an2an2,那么an1an2anan1,導致矛盾，故只有a22.考慮an3,有an3an2或an3ana3,即a33,設an3an2,那么an1an22a2a0,推出矛盾，設a33,那么anan11a3a2,又推出矛盾，因此an2

12、a2，n4故當n5時，不存在滿足條件的實數。ii假設ann(n1),a21,考慮an2,有an2an1或an2ana3,即a32,2這時a3a2a2a1，推出矛盾，故an1an2。考慮an3,有an3an2或an3ana3,即a3=3,因止匕a3a2anan1,矛盾。因止匕an2an3,因止匕an1an21a2a1，這又矛盾，因此只有an2a2,因此n4。故當n5時，不存在?兩足條件的實數。例9設人=1,2,3,4,5,6,B=7,8,9,n,在A中取三個數，B中取兩個數組成五個元素的集合A,i1,2,20,AiAj2,1ij20.求n的最小值。【解】nmin16.設B中每個數在所有A中最多重

13、復顯現k次，那么必有k4。假設不然，數m顯現k次k4，那么3k12.在m顯現的所有a中，至少有一個A中的數顯現3次，不妨設它是1,就有集合1,a1，a2,m,b11,a3,a4,m,b2,1,a5,a6,m,b3,其中aiA,1i6,為滿足題意的集合。ai必各不相同，但只能是2,3,4,5,6這5個數，這不可能，因此k4.20個Ai中，B中的數有40個，因此至少是10個不同的，因此n 16。當n 16時，如下20個集合滿足要求：1， 2, 3, 7, 8,1， 3, 4, 10, 11,1， 4, 6, 13, 16, 2, 3, 6, 14, 16, 3, 4, 5, 12, 16,1, 2

14、, 4, 12, 14, 1, 3, 5, 13, 14, 1, 5, 6, 8, 11, 2, 4, 5, 8, 10, 3, 4, 6, 8, 9,1 ， 2, 5, 15, 16, 1 ， 3, 6, 12, 15, 2, 3, 4, 13, 15, 2, 4, 6, 7, 11, 3, 5, 6, 7, 10,1， 2, 6, 9, 10, 1 ， 4, 5, 7, 9, 2, 3, 5, 9, 11, 2, 5, 6, 12, 13, 4, 5, 6, 14, 15 o例10集合1,2,，3n能夠劃分成n個互不相交的三元集合x,y,z,其中xy3z,求滿足條件的最小正整數n.n【解】

15、設其中第i個三元集為為，y,Zi,i1,2,n,那么1+2+T3n4zi,i1因此3n(3n1)4nZi。當n為偶數時，有83n,因此n8,當n為奇數時，有83n1,因2i1此n5,當n5時，集合1,11,4,2,13,5,3,15,6,9,12,7,10,14,8滿足條件，因此n的最小值為5。三、基礎訓練題1 .給定三元集合(1,x,x2x,那么實數x的取值范疇是o2 .假設集合Axax22x10,aR,xR中只有一個元素，那么a=3 .集合B1,2,3的非空真子集有個。4 .集合Mxx23x20,Nxax10,假設NM,那么由滿足條件的實數a組成的集合P=C5 .Axx2,Bxxa,且AB

16、,那么常數a的取值范疇是6 .假設非空集合S滿足S1,2,3,4,5,且假設aS,那么6aS,那么符合要求的集合S有個。7 .集合X2n1nZ與Y4k1kZ之間的關系是8 .假設集合Ax,xy,xy1,其中xZ,yZ且y0,假設0A,那么A中元素之和是O9 .集合Pxx 一1一4.假設頭數a為常數，且a A x 1，則a。Jax2 x 1225.集合 M m ,m 1, 3, N m 3,2m 1,m1,假設 M N 3,那么m o6.集合A aa 5x 3, x N , B bb 7y 2, y N ,那么A B中的最小元素是 o7.集合 A x y,x y,xy, B x2 y2, x2

17、y2,0,且 A=B,那么 x y ?，、一x 1一一一 ，- 一 一8.集合A x 0, B xpx 4 0,且B A,那么p的取值范疇是 x9.設集合 A (x,y) y2 x 1 0, B (x, y)4x2 2x 2y 5 0, C (x, y) y kx b,咨詢：是否存在k,b N ,使得(A B) C ,并證明你的結論。10.集合A和B各含有12個元素，A B含有4個元素，試求同時滿足以下條件的集合 C的個數：1C A B且C中含有3個元素；2C A 011.判定以下命題是否正確：設 A, B是平面上兩個點集，Cr (x,y)x2 y2 r2,假設對任彳r 0 ,都有Cr A C

18、r B ,那么必有A B ,證明你的結論。五、聯賽一試水平訓練題x60,Mxmx10,且MP,那么滿足條件的m值構成的集合為o10 .集合Axy2x1,xR,Byyx29,xR,那么ABo111 .S是由實數構成的集合，且滿足11S;2假設aS,那么So假如S,S1a中至少含有多少個元素？講明理由。12 .A(x,y)yax,B(x,y)yxa,CAB,又C為單元素集合，求實數a的取值范疇。四、高考水平訓練題1 .集合Ax,xy,xy,B0,x,y,且A=B,那么x?y?2 .I1,2,3,4,5,6,7,8,9,AI,BI,AB2,(CiA)(CiB)1,9,(C1A)B4,6,8,那么A(

19、C1B)。3 .集合Ax103xx20,Bxm1x2m1,當AB時，實數m的取值范疇mx1一一一、.一.,一1 .集合Axx0,Bzz,x2,B，且BA,那么實數m的取值范疇是mx12 .集合A1,2,3,2n,2n1的子集B滿足：對任意的x,yB,xyB,那么集合B中元素個數的最大值是。3 .集合Pa,aq,aq2,Qa,ad,a2d,其中a0,且aR,假設P=Q，那么實數qo4 .集合A(x,y)|xya,a0,B(x,y)|xy1xy,假設AB是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，那么a5 .集合Muu12m8n4l,m,l,nZ,集合Nuu20p16q12r,p,q,rZ,那么集合M與N

20、的關系是6 .設集合M1,2,3,1995,集合A滿足：AM,且當xA時，15xA,那么A中元素最多有個。7 .非空集合Ax2a1x3a5,Bx3x22,嘲B么使AAB成立的所有a的集合是8 .集合A,B,aC不必相異的并集ABC1,2,n,那么滿足條件的有序三元組A,B,C個數是9 .集合A(x,y)axy1,B(x,y)xay1,C(x,y)x2y21,咨詢：當a取何值時，(AB)C為恰有2個元素的集合？講明理由，假設改為3個元素集合，結論如何？10 .求集合B和C,使得BC1,2,10,同時C的元素乘積等于B的元素和。11 .S是Q的子集且滿足：假設rQ,那么rS,rS,r0恰有一個成立，同時假設aS,bS,那么abS,abS,試確定集合S。12 .集合S=1,2,3,