教學課題§3數列極限存在的條件_第1頁
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文檔簡介

1、教學課題：數列極限存在的條件教學目的：1，使學生理解、掌握單調有界定理及其證明,能夠用它證明一些數列極限的存在性；2， 能夠運用重要極限熟練求出一些類似形式的極限；3， 能夠運用柯西收斂準則判斷一些數列極限的存在性。教學重點：柯西收斂準則判斷教學過程：在研究比較復雜的數列極限問題時，通常分兩步來解決：先判斷該數列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計算些極限（極限值的計算問題）。這是極限理論的兩基本問題。在實際應用中，解決了數列極限的存在性問題之后，即使極限值的計算較為困難，但由于當充分大時，能充分接近其極限a，故可用作為a的近似值。本節將重點討論極限的存在性問題。為了確定某個

2、數列是否有極限，當然不可能將每一個實數依定義一一加以驗證，根本的辦法是直接從數列本身的特征來作出判斷。一、 單調數列定義若數列的各項滿足不等式，則稱為遞增（遞減）數列。遞增和遞減數列統稱為單調數列例如：為遞減數列；、為遞增數列；不是單調數列。二、 單調有界定理定理2.9（單調有界定理）任何單調有界數列必收斂。注：從數軸上來看，單調遞增數列只可能向右移動，故只有兩種可能：若無上界，則點沿數軸正向移向無窮遠；若有上界，則無限趨于某一個定點，即。證明：不妨設單調遞增有上界，把看作數集，根據確界原理，存在上確界，記，下證。事實上，根據上確界的定義，中存在某一項，使得.又遞增,故當時有；另一方面，是的一

3、個上界，故，所以當時有 ，即 證完。三、 應用例設其中，證明數列收斂。例證明下列數列收斂，并求其極限：例3 設為有數集。證明：若，則存在嚴格遞增數列,使得.例4證明存在。證法一：先證明數列單調增加 比較與的展開式，注意，并且多一項，由此下證有界 故存在。 證法二： 先證明：對 和正整數，有不等式 事實上， 該不等式又可變形為 ( 為正整數 )在此不等式中, 取 則有 就有 .取 又有 對成立， 又由 故存在。說明： 通常我們記此極限值為，即可以證明它是一個無理數。以為低的對數稱為自然對數，記為 .例5 求 四、 柯西收斂準則單調有界定理只是數列收斂的充分條件，下面給出在實數集中數列收斂的充分必

4、要條件柯西收斂準則。 Cauchy收斂準則：定理（auchy收斂準則）數列收斂的充分必要條件是：對任給的，存在正整數，使得當時有。 說明（） auchy收斂準則從理論上完全解決了數列極限的存在性問題。（） auchy收斂準則的條件稱為auchy條件，它反映這樣的事實：收斂數列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項之差的絕對值可以小于預先給定的任意小正數。或者，形象地說，收斂數列的各項越到后面越是“擠”在一起。（） auchy準則把定義中與a的之差換成與之差。其好處在于無需借助數列以外的數a，只要根據數列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發）散性。 應用例6證明收斂。例7證明發散。五、

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