1、排列組合應用題的教學設計致遠高中朱英2007.3解決排列組合應用題的基礎是：正確應用兩個計數原理，分清排列和組合 的區別。引例1現有四個小組，第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人, 他們參加旅游活動：（1）選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法。（2）每組選一名組長，共有多少種不同的選法 4 評述：本例指出正確應用兩個計數原理。引例2（1）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（2）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？ 評述：本例指出排列和組合的區別。求解排列組合應用題的困難 主要有三個因素的影響：1、限制條件。2、背景變化。3、數學認知

2、結構排列組合應用題可以歸結為四種類型：第一個專題排隊問題重點解決：1、如何確定元素和位置的關系元素及其所占的位置，這是排列組合問題中的兩個基本要素。以元素為主， 分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位 置分析法”。例：3封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？ 分析：這可以說是一道較簡單的排列組合的題目了， 但為什么有的同學能做出正 確的答案43（種），而有的同學則做出容易錯誤的答案34（種），而他們又錯在哪里呢？應該是錯在“元素”與“位置”上了 ！法一：元素分析法（以信為主）第一步：投第一封信，有4種不同的投法；第二步：接著投第二封信，亦有 4

3、種不同的投法；第三步：最后投第三封信，仍然有 4種不同的投法。因此，投信的方法共有：43（種）。法二：位置分析法（以信箱為主）第一類：四個信箱中的某一個信箱有 3封信，有投信方法 C：（種）；第二類：四個信箱中的某一個信箱有 2封信，另外的某一個信箱有1封信， 有投信方法CfP42種。第三類：四個信箱中的某三個信箱各有 1封信，有投信方法 P3 （種）。因此，投信的方法共有：64 （種）小結：以上兩種方法的本質還是“信”與“信箱”的對應問題。2、如何處理特殊條件一一特殊條件優先考慮。例：7位同學站成一排，按下列要求各有多少種不同的排法； 甲站某一固定位置；甲站在中間，乙與甲相鄰；甲、乙相鄰；甲

4、、乙兩人不能相鄰； 甲、乙、丙三人相鄰；甲、乙兩人不站在排頭和排尾；甲、 乙、丙三人中任何兩人都不相鄰；甲、乙兩人必須相鄰，且丙不站在排頭和排 尾。第二個專題 排列、組合交叉問題重點解決：1、先選元素，后排序。例：3個大人和2個小孩要過河，現有3條船，分別能載3個、2個和1個 人，但這5個人要一次過去，且小孩要有大人陪著，問有多少種過河的方法？ 分析：設1號船載3人，2號船載2人，3號船載2人，小孩顯然不能進第3號 船，也不能二個同時進第2號船。法一：從小孩”入手。第一類：2個小孩同時進第1號船，此時必須要有大人陪著另外2個大人同時進第2號船或分別進第2、3號船，先選3個大人之一進1號船， 有

5、N" =c3 （1 +P； ）=9 （種）過河方法第二類：2個小孩分別進第1、2號船，此時第2號船上的小孩必須要有大人 陪著，另外2個大人同時進第1號船或分別進第1、3號船，有過河方法N2 =P2C3（1+P2 ）=18 （種）。因此，過河的方法共有：n = N1 N9 " = 27 （種）。法二：從船”入手第一類：第1號船空一個位，此時3條船的載人數分別為2、2、1,故2個 小孩只能分別進第1、2號船，有過河方法 2二P2£ =12 （種）；第二類：第2號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、1、1,故2個 小孩只能同時進第1號船，有過河方法 NPa3 -6

6、（種）；第三類：第3號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、2、0,故2個 小孩同時進第1號船或分別進第1、2號船，有過河方法 “3 = 03，P2 C3 £ o（種）。因此，過河的方法共有：N = 2 N2 N3 =12 627 （種）2、怎樣界定是排列還是組合例：身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，從中間看兩邊，一個 比一個矮，這樣的排法有多少種？身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，兩邊次高，再兩邊次高， 如此下去，這樣的排法共有有多少種？答：c： =20種p2p2p2=8種本來是組合題，與順序無關，但有些學生不加分析，看到排隊就聯想排列， 這是一個誤區。至于也不全

7、是排列問題， 只是人自然有高低，按人的高低順次 放兩邊就是了。又例：7名同學排成一排，甲、乙、丙這三人的順序定，貝U不同排法有多 少種？分析，三人的順序定，實質是從7個位置中選出三個位置，然后按規定的順 序放置這三人，其余4人在4個位置上全排列。故有排法 dp： =840種。3、枚舉法三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經過 5次傳球后，球仍 回到甲手中，則不同的傳球方式共有（A） 6 種（B） 8 種（C） 0 種 （D） 12 種解：（枚舉法）該題新穎，要在考試短時間內迅速獲得答案，考慮互傳次數 不多，所得選擇的答案數字也不大，只要按題意一一列舉即可。丿丙°乙°

8、;甲丙=甲丙二甲乙?甲丙'二甲乙Q第三個專題分堆問題重點解決：1、均勻分堆和非均勻分堆關于這個問題，課本P146練習10如此出現：8個籃球隊有2個強隊，先任 意將這8各隊分成兩個組，（每組4個隊）進行比賽，這兩個強隊被分成在一個 小組的概率是多少？由于課本后面出現這樣的練習題， 所以前面應對這些問題有所分析，尤其為什么 均勻分堆有出現重復？應舉例說明。例：有六編號不同的小球， 分成3堆，每堆兩個 分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個 分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個在、的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？分析：、都是分堆，其中是三個均勻分堆，有 3!重復，是

9、兩 個均勻分堆，有2!重復，如此類推。是非均勻分堆，不可能出現重復。在教 學中應用數字表示球，通過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。例：有六編號不同的小球， 分成3堆，每堆兩個 分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個 分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個在、的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？分析：、都是分堆，其中是三個均勻分堆，有 3!重復，是兩 個均勻分堆，有2!重復，如此類推。是非均勻分堆，不可能出現重復。在教 學中應用數字表示球，通 過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。2 2124答案：C6C4CCC6再乘以P32、為什么有重復，怎樣避免重復例：從4名男生、5

10、名女生中任選3人參加學代會，至少男生、女生各一名 的不同選法有多少種？有些學生這樣想：先從4人中選一人，再從5人中選一人，最后在剩下的7 人中選一人， 結果是 c4c5c7 =140 結果是錯誤的。因為后面的7人與 前面已選的人可能出現重復，正確的答案是 c：c5+c4c； =70。又例：有4個唱歌節目，4個舞蹈節目，2個小品排成一個節目單，但舞蹈 和小品要相隔，不同的編排有多少種方法？有些學生這樣想，先定位4個唱歌，有5個位插入小品兩個位，此時有7個位再 插入4個舞蹈，故的表達式是 P44 P2 Py4。其實，這里又出現了重復，正確的列式是P66F74 -2P55Py4第四個專題 直接法和間

11、接法的區別及運用重點解決：1、選擇集合的元素有交集問題；例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有幾種不同的坐法？ 法一：直接法第一類：甲在第2-6號位中選一而坐，接著乙在第1-6位中余下的5個位中 擇一而坐，剩下的任意安排Ni =c5c5p； =3000（種）；第二類：甲在第7號坐，剩下的任意安排，有坐法數2二P6=72O（種）。因此，不同的坐法數共有n =弘 N2 =3000 720 =3720（種）。法二：間接法七人并坐，共有坐法數 P7（種）。甲坐首位，有P66種方法；乙坐末位，亦有P/ 種方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合題目要求，所以應該從扣除， 但在扣除的過程中，甲坐首位且乙坐末位的情況被扣除了 2次，因此還須補回一 個P5。因此，不同的坐法數有 N二P77 -2P65 - P55 =3720 （種）2、選擇元素中有至少、至多等問題。在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從100見產品中任意抽取3 件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少種？（2）至多有一件次品的抽法有多少種？答：（1 解法 1: Co C；89604解法 2 : c2c97 +C；c97 =9604（2） c98 +c2c98 =161602以上的處理，主要有如下幾個好處： 教學比較自然、流