1、第一章三角形的證明、選擇題每題3分，共30分1 用反證法證明命題 在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45。時，應先假設A 有一個銳角小于45°B 每一個銳角都小于45C有一個銳角大于45°D 每一個銳角都大于452.以下三個定理中，存在逆定理的有個. 有兩個角相等的三角形是等腰三角形； 全等三角形的周長相等； 同位角相等，兩直線平行.A. 0B. 1C. 2D. 33. 如圖，在厶ABC中，DE是AC的垂直平分線，/ B = 60°, / C= 25°,那么/ BAD 為A. 50° B. 70°C. 75° D. 80&

2、#176;4. 如圖，在四邊形 ABCD中，AD / BC，Z D =AD = 4， BC= 3，分別以點A，C為圓心，大于2AC長為半徑 作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點 0,假設點O是AC的中點，那么CD的長為A. 2 ,;2B . 4C. 3D.105. 如圖，在ABC 中，/ ACB = 90°, / A= 30°, CD丄AB,垂足為 D，貝U BD :AD的值為1 2A.2B.5C.3D.46.如圖，D為ABC內一點，CD平分/ ACB, BE丄CD，垂足為 點 E,Z A=ZD，交AC于7.A. 2.5 B .有A, B, C三個社區不在

3、同一直線上，現準備修建一座公園,三個社區的距離相等，那么公園應建在以下哪個位置上？使該公園到A. ABC三條角平分線的交點處B. ABC三條中線的交點處C. ABC三條高的交點處D. ABC三邊垂直平分線的交點處8.如圖，在 ABC中，AB = AC,/ A= 120° BC = 6 cm, AB的垂直平分線交E, AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F,BC于點M，交AB于點那么MN的長為A. 4 cm B. 3 cmC. 2 cm D. 1 cm9.如圖，AB丄BC, DC丄BC,E 是 BC 上一點，/ BAE=Z DEC = 60° AB = 3,CE = 4,

4、貝U AD等于(A. 10 B . 12 C . 24 D . 4810. 如圖，在AABC中，BC的垂直平分線與AABC的外角/ CAM的平分線相交 于點D ,DE丄AC于點E,DF丄AM于點F,那么以下結論：厶CDEBDF;CA-AB= 2AE;/ BDC +Z FAE= 180°/ DAF +Z CBD = 90°.其中正確的選項是A B C. D.二、填空題每題3分，共24分11. 用反證法證明一個三角形中不能有兩個角是直角，第一步是假設這個三角形中.兩直線平行，內錯角相等的逆命題是12. 如圖，在 zABC 中，AB= AC= BC= 4, AD平分/ BAC，點

5、E是AC的中點，貝U DE的長為.13. 如圖，AB= AC, AD = AE,AF丄BC于F，那么圖中全等的直角三角形有 對.14 .如圖，在ABC中，高AD, CE相交于點H，且CH = AB，那么/ ACB=15. 如圖，在 RtAABC 中，/ C= 90° AD 平分/ CAB，CD = 3, AB= 10，貝AABD16.如圖，在等邊三角形的高，且AD= 4，E是AB邊的中點，點P在AD上運動，貝U PB+ PE的最小值是.17. 如圖，在等腰三角形 ABC中，AB= AC,/ BAC= 50° / BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點 0,點C沿EF折疊后與

6、點0重合，那么/ 0EC=B18. 如圖，/ M0N = 30°點Ai, A2, A3,在射線0N上，點Bi, B2, B3,在射線0M上，A1B1A2, A2B2A3, A3B3A4,均為等邊三角形，假設 0A1=1 ,那么A6B6A7的邊長為.三、解答題(23題10分，24, 25題每題12分，其余每題8分，共66分)19. 如圖，在 AABC 中， AB= 5, AC = 9, BC= 7.(1) 尺規作圖：作AC的垂直平分線DE，與AC交于點D，與BC交于點E,連接AE;(2) 求ABE的周長.20. 如圖，在 AABC中， AB=AC,/ BAC和/ACB的平分線相交于點

7、D,/ ADC = 125°.求/ ACB 和/ BAC 的度數.21. 如圖，在長方形 ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE= CF,EF 丄 DF,求證：BF= CD.22. ：如圖，銳角三角形 ABC的兩條高BD，CE相交于點0,且0B = OC.(1) 求證：ABC是等腰三角形；(2) 判斷點0是否在/ BAC的平分線上，并說明理由.23. 如圖，在ABC中，AB=AC, D為BC邊的中點，過點 D作DE丄AB, DF 丄AC,垂足分別為點E, F.求證：ABEDA CFD.(2)假設/A= 60° BE= 1,求 AABC 的周長.24如圖，點P是等

8、邊三角形ABC內一點，AD丄BC于點D , PE丄AB于點E,PF 丄 AC 于點 F, PG丄 BC 于點 G.求證：AD = PE+ PF + PG.25如圖，在平面直角坐標系中，點 A(0, 2), AOB為等邊三角形，P是x 軸上一個動點(不與原點0重合)，以線段AP為一邊在其右側作等邊三角形 APQ.求點B的坐標.在點P運動過程中，/ ABQ的大小是否發生改變？假設不改變，求出其大小； 假設改變，請說明理由.(3) 連接0Q，當OQ/ AB時，求點P的坐標.答案、1.D 2.C 3. B 4. A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A10. A、11有兩個角是直角；內錯角相等，兩直

9、線平行12. 213.214. 45° 點撥：如圖CE丄AB 于點 E, AD丄 BC 于點 D ,二/ AEC= 90°,/ 5=/6 = 90°.aZ 1 + Z 2= 90°, / 3+Z 4= 90°.2=/3,二/ 1 = / 4./ 5=/ 6,在厶ABD和厶CHD中，/ 1 = / 4,AB=CH, ABDCHD(AAS). AD = CD.aADC 為等腰直角三角形./ ACB = 45°.15. 1516. 4 點撥：如圖，連接EC,交AD于點P,連接BP,此時PB+ PE的值最小，且 PB+ PE= EC.因為點E

10、是AB的中點，所以CE是等邊三角形ABC的高，所以CE= AD= 4,即PB+ PE的最小 值為4.17. 100°18. 32 點撥：t A1B1A2 是等邊三角形， A1B1 = A2B1,/ A1B1A2=/ B1A1A2=/A1A2B1 = 60°.a/ OA1B1= 120°. t/ MON = 30°, / OB1A1= 180° 120°一 30 = 30 .二 OA1 = A1B1 = A2B1 = 1.又t/ A1B1A2= 60°,/ A2B1B2 = 180° 60° 30°

11、; = 90°. t A2B2A3是等邊三角形，/ B2A2A3= 60°.a/ B1A2B2 = 60°.a/ B1B2A2 = 90°/ B1A2B2= 30°.二 A2B2=2B1A2= 2.同理得出 B3A3= 2B2A3,. A3B3 = 4B1A2 = 4.以此類推，A6B6 =32B1A2= 32.、19.解: (1)作圖如下圖.(2)v DE 垂直平分 AC,： AE= EC, AB+ BE+ AE= AB+ BE+ EC = AB+ BC.T AB= 5, BC= 7, AB+ BE+ AE= 5+ 7= 12,即厶ABE 的

12、周長為 12.20. 解：AB= AC, AE 平分/ BAC, AE丄BC(等腰三角形三線合一).vZ ADC = 125° / CDE= 55°/ DCE = 90° Z CDE= 35°.又 v CD 平分Z ACB,：Z ACB= 2Z DCE = 70°.又v AB = AC,：Z B=Z ACB= 70°.Z BAC= 180° (Z B+Z ACB) = 40°.21. 證明：v四邊形 ABCD是長方形，/ B=Z C = 90°.v EF 丄 DF ,：Z EFD = 90°.

13、：Z EFB +Z CFD = 90°. vZ EFB +Z BEF = 90° Z BEF = Z CFD.Z BEF =Z CFD ,在厶BEF和厶CFD中， BE= CF ,Z B=Z C , BEFCFD(ASA). BF= CD.22. (1)證明：v OB= OC,：Z OBC=Z OCB.銳角三角形ABC的兩條高BD , CE相交于點0,二/ BEC=/ BDC = 90°/ BCE+Z ABC=Z DBC +Z ACB= 90°,/ ABC=/ ACB,a AB = AC, ABC是等腰三角形.解：點O在/ BAC的平分線上.理由：在厶E

14、OB 和厶DOC 中，OB= OC, / BEO=Z CDO , / EOB=Z DOC , EOBADOC,a OE= OD.又/ AEO=Z ADO= 90°OE丄AE, OD丄AD. a點O在/ BAC的平分線上.23. (1)證明：AB= AC,：/ B=Z C. DE丄AB, DF 丄AC, / DEB = / DFC = 90° D是BC邊的中點， BD = CD.在厶BED與厶CFD中，v/ DEB = / DFC，/ B=Z C, BD = CD, BEDCFD(AAS).(2)解：v AB= AC, / A= 60° ABC是等邊三角形. AB=

15、 BC= CA,/ B = 60°又 v DE丄AB, / EDB= 30°在 Rt BED 中，BD= 2BE = 2. BC = 2BD= 4. ABC 的周長為 AB+ BC + AC = 3BC = 12.24. 證明：連接PA, PB, PC,如圖. AD丄BC于點D , PE丄AB于點E, PF丄AC于點F, PG丄BC于點G,1111Sabc = 2BCAD, Sapab= 2AB><PE, S/ac= qCWF, Spbc=qCXPG.T Sa ABC = Sa FAB+ Sa Pac+ Sa PBC,1 1 2 >BC XAD = 2(A

16、B >PE + AC XPF + BC XPG). ABC是等邊三角形， AB= BC= AC, BC XAD = BC >PE + PF + PG), AD = PE+ PF+ PG.25. 解:如圖，過點B作BC丄x軸于點C. AOB為等邊三角形，且 OA= 2, / AOB = 60° BO= OA= 2. / BOC = 30°又/ OCB= 90°1 BC = 2°B= 1, OC=r：'3.點B的坐標為(3 , 1)./ ABQ的大小始終不變. APQ , AOB均為等邊三角形, AP = AQ , AO = AB , / PAQ=Z OAB = 60°./ FAO=Z QAB.AP = AQ,在厶APO