1、球與各種幾何體切、接問題近幾年全國高考命題來看，這部分內容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先明確定義1:若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2:若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球 一、球與柱體的切接規則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形 態進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關 問題1、球與正方體（1）正方體的內切球，如圖 1. 位置關系：正方體的六個面都與一個球都相切，

2、正方體中心與球心重合；數據關系：設正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時有2r =a.（2）正方體的棱切球，如圖 2.位置關系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數據關系：設正方體的棱長為a，球的半徑為r,這時有2 2a .3. 位置關系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心(3) 正方體的外接球，如圖與球心重合；圖3數據關系：設正方體的棱長為例1 棱長為1的正方體ABCD-ABiGD,的8個頂點都在球 0的表面上，E, F分別是棱AA，DDi的中點，則直線EF被球0截得的線段長為()*72ra .B. 1c . 1d . 22 2思路分析：由題意推出，球為正方體的外接球

3、.平面aa,dd1截面所得圓面的半徑ad172R = =,得知直線EF被球0截得的線段就是球的截面圓的直徑.2 2【解析】由題意可知，域為正方體的外接琰于面丸蟲廠丄截面所得圓面的半徑衛二啤二豐EFu面出:°必直線礦被小.區得的綻段為球的截面圓的直徑27?=V：. 點評本題考查球與正肓體鈿的問題，”;閉球朗截面性質，轉化成為求球的截面園直徑一 _2、球與長方體 例2自半徑為R的球面上一點 M，引球的三條兩兩垂直的弦 MA,MB,MC，求ma2 mb2 mc2的值.【解析】限肛土 MBC為尿一個頂點出發的三條協 將三棱笹M-ABC補咸一個長方氷 則另外四個 頂點莎在球面上，故長方體是球的

4、內接長方體，則長方體的對第線長是球的直徑.SLizMBz +MCZ-(2R)* =4:.點評匕此題突出構造法的演用，姬滲透利用今割補劭的方法解決立體幾何中體積計算結論：長方體的外接球直徑是長方體的對角線.例3 (全國卷I高考題)已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為()A. 16二B. 20二 C.24二D.32:思路分析：正四棱柱也是長方體由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為 2，可得長方體的長、寬、高分別為2, 2，4,長方體內接于球，它的體對角線正好為球的直徑【解析】正四棱柱也是長方體口由長方體的対只1673 4可以匸出長方體的底面辺長為2

5、,因此，長方體 的長、寬、高分別為Z 2, 4.因為長方體內接于球，所頁”勺體對角線正好為球的直徑長方體體對角線 長為2亦故球的表面積為2471 故選C.點評*本題考查球與長肓體“接粹的間題，于打扶方體的性質.轉化成為求其體對角線.3、球與正棱柱(1) 結論1 :正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點.(2) 結論2 :直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點.-個六棱柱的底面是止六邊形.其側棱旌貞底rfii.丁用丁用門I; 7川 -i/X汁.叮舁：丄S底面周長為3”則這個球的體積為. yL1知備頂點都祁同個球而匕的正網棱柱的高為鵡休秘為16,則這個球的表面積是. 24j

6、t在任三棱柱 ABC 一 島中.AB = 4, AC = 6,J = . AA = 4,則直ABC -總蚣川卜接球的農血稅I60jTT二、球與錐體的切接規則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或 者表面積等相關問題.1、正四面體與球的切接問題(1) 正四面體的內切球，如圖 4.位置關系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體 的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為 a，高為h ;球的半徑為 R，這時有4R = h 6 a ；3【解析】如圖正四面體 A BCD的中心為0

7、,即內切球球心，內切球半徑R即為0到亠V6i正四面體各面的距離.T AB= a,正四面體的咼 h = a，又 Va-bcd = 4Vo bcd , () R=卩,6=存.(2)正四面體的外接球，位置關系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為a，高為h ；球的半徑為R，這時有4R =3h = 6a ;(可用正四面體高h減去內切球的半徑得到)例5求棱長為1的正四面體外接球的半徑。A設SO1是正四面體S ABC的高，外接球的球心 0在SO1上，設外接球半徑為 R, AOi =則在 ABC中，用解直角三角形知識得在RtAOOi中，由勾股定理得 R2=

8、 ( ,'| R)2 +(身)2，解得只二二6.結論：正四面體的高線與底面的交點是 ABC的中心且其高線通過球心，這是 構造直角三角形解題的依據此題關鍵是確定外接球的球心的位置，突破這一點|此問題便迎刃而解，正四面體外接球的半徑是正四面體高的4，內切球的半徑是正1四面體高的，4(3) 正四面體的棱切球，位置關系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為 a，高為h ;球的半徑為 R，這時有已知正四面體A-BCD的棱長次g求它的外接球半徑、內切球半徑、棱切球半徑* 解由正四面陳的對隸性與球朗對稱性知球心在正四面悴的高上.設外接球半徑沏7?，如圖（

9、O為夕嘴球球心,心爭4紳舍叫所以 ag=-Jac.1 CG1 = -解得克RtSOCG中，OL = OG'+CGS WR2詩-&哼內切球半徑r = OG = AG-AO棱切球半徑為OE = Jeg：七=例7設正四面體中，第一個球是它的內切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積 之比及體積之比.思路分析：此題求解的第一個關鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關系，第二個關鍵是兩 個球的半徑之間的關系，依靠體積分割的方法來解決的.【解析】如圖，正四面» ABCD的中心空3的中50-則第一個域半徑為正四面體的中心到 各面的距離，第二個球的半徑為正四面體曠到爐:加距離.OO

10、 =rtOA =正四靳體的一"面的面積嚴'-依題意得匚7禽二2"農+町，又4 亠也.口二：*存S3円二 R 十 F = 4尸即 A =疋心內切球的表面積_ 4乃：_ 1內切球的體積_亍"_ 1 所以外接球的表面積存肓.升亍一 /ZK點評：正四面慵與球的接切問題，可通過線面關系證出，內切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內切球的半徑為正四面體的高），且外接球的半徑農二環4（4）為什么正四面體外接球和內切球心是同一個點?分析如圖I因為正四面體鄉人ABCDffi外接球的球心O到點B,CtD的距離相等，所以0在平面BCD /內的射影0-到

11、點Bt UD的距離也占冬一列卜。 相等.又因為在正四面體ABCD中vBCD是正三角形，所以0|是沁v BCD的中心.進而在正四面體罡ABCD中，有AQ L平面BCD,所以球心0在高線AQ上；同理:球心0也在其它面的高線上. 又正四面體ABCD中各面上的高都相等所以，由OA二OB = OC = OD,得點0到正四面體各面的距離相等，所 以點0也是正四面體ABCD的內切球的球心.這樣，正四 面體的內切球的球心與外接球的球心重合.記正四面體 ABCD的高為h,則r+R = h =今亂因此只要求出r和 R中的一個便可求出另一個*2. 其它棱錐與球的切接問題（1）球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為

12、三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切， 球心到四個面的距離相等， 都為球半徑R 這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐 的體積和為正三棱錐的體積 .（2）球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形 法等進行求解.結論1 :正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到.結論2:若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線

13、的中點處.以下是常見的、基本的幾何 體補成正方體或長方體的途徑與方法.途徑1 :正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別 可構造正方體.途徑2:同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構造長方體和正方體.途徑3:若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體.途徑4 :若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體.例8正三棱錐的高為1,底面邊長為2,6，正三棱錐內有一個球與其四個面相切.求球的表 面積與體積.思路分析：此題求解的關鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長的關系，由等體積法Vp _ABC =Vo

14、-PAB Vo -PAC +Vo_PBC +VoBC ,【解析】如國 球0是正三棱錐P-ABC的內切玖 O到兀二粧錐四個而的距冉都是球的半徑慮尸H是正三棱維的高，即PRT. E是BCH1屮鬲 HlAE±,3BC的邊好丄屈= d PE二運6可左得到 S© 二 S* = 5 寸昇=C PE = 32 -5/ = f （*V6）2 = M"T由等陳積法，2運十7儀+7亦+2運A -x6xl = ix3A/2xJ?x3 + Ax6j3x.?得：二來 7、333：y3 + 3二頭=4衣：=丄苦（質-2）： =8（5-：）.t.口 =；總（苗-2代JJ點評；球心是決走球的位直

15、關鍵泉 本題和用球心釗正三巒口個面的距離相等且為球半徑R來求出乩 以球心的位置特點來抓球的基本墾，這是解決球有關間題常用的方法.例9 （福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為, 3，則其外接球的表面積是 思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球的半徑而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法三條側棱兩兩垂直，使我們很快聯想到長方體的一個角，馬上構造長方體，由側棱長均相等，所以可構造正方體模型【解析】此題用V解法，需妾作出棱錐的高，然右再設出球心利用直角三甫形計算球的半徑.而作対墟 空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側棱兩兩垂育.使我們

16、很快聯想到長肓體的一個角，馬上 構造長方體，且測棱長均相等，所以可構造正方體模型.如圖1，?1IJAC=BC=CD=73T那么三棱錐的外 接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求罷5只是溉.（如圖1）圖1圖2點評：此題突出構造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中計算問題，這 是解決幾何體與球切接問題常用的方法.例10【2012年新課標高考卷】 已知三棱錐S - ABC的所有頂點都在球 O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且SC = 2 ;則此棱錐的體積為（）2 A.6.3.22B.C.D.632思路分析：ABC的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑， 從而

17、得到點O到面ABC的距離由SC為球O的直徑=點S到面ABC的距離即可求得棱錐的體積 .【解析】AAEC的外接區1半徑為匸二總，點O到面一匹7的距鹿d = JF二7 =雖上處球O的直徑= 33點S到面ABC的距離如吏'此棱錐的蝕職為；二土 心匕垃兀還選£3 33436點評：本題難度不大，主要是利用轉化與化歸怎想，將棱錐高應用球的幾何性質計算得到.練習:例J 沿毎旳AMD的時角線 乂折起，彩成空間網邊冊ABCD. 便得-血角 B-AC-D 為 J20% 若 AB 2. BC- It則此時四而休ABCD的外接球的體積為例6.ii：四棱錐$ - AfiCD的底而邊長和齊側梭長都為J5

18、,4£T 例入 如果三發錐的二個側面兩商垂宜，它們的面積分別為6<2 . 4穴上和呂m 29阿用點S、A. B、C、D都在同一球血上.則此球的體枳為那么它的外按球的休枳丿丄6在三棱錐A 一 BCD中t AH丄平而丄tiC.AB = 3. BC= CD = 5.則三棱錐A-BCD外接球的表面積_50在三棱錐A - BCD中，.43 =眈"肚二骯)=4, 則三棱錐/ 一BCD外接球的體積+例氛匕知牛P複推的二觀圖如圖所爪號中二個視閹都足貢削攔用形. 則在麼丄杭惟的四亍初中.fl f(j. 1 ft形的個教利. m Tmv a Tr_1W X亠工 r 1 . M.例lh若三

19、夜錐S-BCD的仃頂點都在球O的球血上.51 fSA 23, AB = I, = 2, ZH4C = 60 ,則球O的表面積為* 16/r3、由性質確定球心利用球心O與截面圓圓心 01的連線垂直于截面圓及球心 O與弦中點的連線垂直于弦的性質, 確定球心.例 12、三棱錐 S *ABC' 'I1. SA 1 J' ABC. SA=2. ARC童邊長為1的正:匚角形,則其外接球的我面積為.例13、點在同個球的球面上AB BC 2, AU2 Ji ,若W而體A BCD休枳的雖大值対扌*則該球的我面積為.4、內切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個

20、球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球。1、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內切球半徑的通用做法。二)棱錐的內切球(分割法)埼內切球的球心與幘曲的備牛頊點連踐,將攤惟分劃臓以原檢址的面為底面”內扣球的半控為高的小檢錐*報第分割荊層的俸枳|rj等列出關于半徑R的方習。若枝錐怕俸積為生衣面枳為S.則內切球的半徑.5例1苑疋四棱錐5=40£7)底面邊長:為Z側梭松為347即內切球的半卷捷廠4

21、+ 8V2例【4、中，底面山曠足邊氏為Z的正匚角形.W丄底血丘廣HPA 九 則此三棱嶠內訓球的半從為”<2爲 )的+萬+ 4(Z) WV(釉截面為i E方形人岡%的內切球 < 截而法例仮 圓錐的髙為牡底面半徨為岔 求該圓錐內切球與外接球fflT-fi比.X55例1隊 圓住的底面直屋和高都是求該圓柱內切球的舉徑.3三、球與球相切問題對于球與球的相切組合成復雜的幾何體問題，要根據豐富的空間想象力，通過準確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解例11已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為.思

22、路分析：結合圖形，分析四個球的球心 A、B C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5B=6 CD=4.設AB中點為E、CD中點為F,連結EF.在厶ABF中可得BF »、邁1，在 EBF中可得EF =2、3.由于對稱性可得第五個球的球心 0在EF上，連結OA 0D設第五個球的半徑為 r，根據OE+OF=EF建立r的方程【解析】如圖：設四個球的球心分別為忌Bs C. D,則4D=QBD=BC二艮AB=6, CDM設AB中點為E、CD中點. 為F,連結EF在AABF中求得氐J5I,在ZkEEF中求得EF=L占+由于對稱性可得第五個球的球心0在EF丄，連結0厶QD.設第五個球的半徑為口則O

23、AFr+3, 0D=r+2,于是0E= yl(r-3 f -3：二/'亠6"，。片 J(f+2)亠-21 =7八1丄, /OE+OFF -金-厶：-4尸=:擊 n-&=2忑-平方整理再平右得llr:+«r-36=0R得一仝或-6 (舍掉九故答案為§-11 11n點評本題通過分析球心的位置，根據它們構感的幾何體特征，轉化感平面幾何中三角形邊角關系，禾U用 方程思想得解-例12把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離.思路分析：關鍵在于能根據要求構造出相應的幾何

24、體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2.【解析】四域心組咸棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高冷= 而第四個球的最高點到第四個球的球心距離再求的半徑b且三個球心到桌面的距離都溝L故第四牛球的 最高點與桌面的距離為2+還.點評：本題難度不大，主要是幣呻轉化2化歸思想，將棱錐高咗用球的幾何性質計算得到.四、球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對 棱的一半: 例13把一個皮球放入如圖 10所示的

25、由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）B. 10 cmD. 30cm思路分析：根據題意球心 0在圖中AP上，過O作BP的垂線ON垂足為N , ON=R , OM=R ,由各個棱都為 20,得到 AM=10 , BP=20,BM=10 , AB= 10、一 2，設/ BPA =,在 RL： BPM 中， 由 BP2 二BM2 PM2,得 PM =10、一 3在 Rt：PAM 中,由 PM 2 二 AM 2 AP2，得PA=1oJ2在 RU ABP 中得,si=空=仝 =返，在 ronp 中得,BP 202ON RR 2222sin

26、=-，從而,OP2R.在 Rt ： OAM 中，由 OM =A0 AM ,OP OPOP2建立方程R2 -(1 - .2R)2 100即可得解.【解析】如圖所示，由題意球心在A?上，球心為0,過0作刃的垂建0X垂足為X, 0X=R, O'Xm,因為各個棱詐為所以心11為 3?-203?4=10, A3W1073 設_£只：1二®,在?rA3?M中，二血廠+RH所以円f = 10占在應UPAF中：Pyf: =-BZ:十£尸所以尸410更在加A3P中,.導在壯。NP屯或"需嶋翩R 忑,OP 2所以OP二血在RM0AM中，om-=ao2m/所以,R:

27、=(10/2-72T?);+100r解得，R=10或刃（舍所以，應=1比他故選£點評：本題難度較大，主要是利用轉化與化芳思想，將間題轉化咸平面幾何間題，應用三角形中的邊甬關 系，建立R的育程.五、球與旋轉體切接問題首先畫出球及其它旋轉體的公共軸截面，然后尋找幾何體與幾何體幾何元素之間的關系.例14求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比.思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找幾何體與 幾何體之間元素的關系.【解析】如圖，等邊血3為匾錐的軸Kfi,此截面截厠枉得正CCDD.-截球而得球的大圓區10：. 設球的半徑00i二b則它的外切匾1柱的高為1ft,底面半徑為丘OB = 0.0