1、主要內容主要內容1 1、羅爾中值定理、羅爾中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理3 3、柯西中值定理、柯西中值定理4 4、泰勒中值定理、泰勒中值定理一、中值定理一、中值定理二、二、洛必達法則洛必達法則型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 三、導數的應用三、導數的應用(1) 函數單調性的判定法函數單調性的判定法(2) 函數的極值及其求法函數的極值及其求法 極值必要條件、第一、第二充分條件、第二充分極值必要條件、第一、第二充分條件、第二充分條件的推廣。條件的推廣。求極值的步驟求極值的步驟: :(3) 最大值、最小值問題最大值、最小值問題(4)

2、曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點(5) 函數圖形的描繪函數圖形的描繪(6) 弧微分，曲率，曲率半徑弧微分，曲率，曲率半徑例例1 證明方程證明方程cbacxbxax 23423至少有一實根至少有一實根在在(0,1)內內典型例題典型例題分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff則則的符號不易判別，的符號不易判別， 不便使用介值定理。不便使用介值定理。下面用下面用 rolle 定理來證。定理來證。證證 令令xcbacxbxaxxf)()(234 則則內可導內可導上連續，上連續，在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0)1()0( ff故由故由rolle 定理知定

3、理知0)()1 , 0( f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)內有一實根內有一實根練習練習1 設實數設實數滿足下述等式滿足下述等式naaa,1001210naaan證明方程證明方程在在 ( 0 , 1) 內至少有一內至少有一個實根個實根 .010nnxaxaa證證: 令,)(10nnxaxaaxf則可設121012)(nnxnaxaxaxf, 1,0)(,上連續在顯然xf且)0(f由羅爾定理知存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即.10010內至少有一個實根），（在nnxaxaa,) 1,0(內可導在,0) 1 (f練習練習2.設函數設函數 f (x) 在在0, 3 上連續

4、上連續, 在在(0, 3) 內可導內可導, 且且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析分析: 所給條件可寫為所給條件可寫為1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff(03考研考研) 試證必存在試證必存在 想到找一點想到找一點 c , 使使3)2() 1 ()0()(fffcf證證: 因因 f (x) 在在0, 3上連續上連續, 所以在所以在0, 2上連續上連續, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 m 與最小值與最小值 m, 故故mfffm)2(),1 (),0(mmfff3)2() 1 ()0(由由介值定理介值定理, 至少存在一點至少存在一

5、點 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(內可導在上連續在且ccxf由由羅爾定理羅爾定理知知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使例例2 設設在在)(xf),( 上可導上可導, 且且證明證明 f ( x ) 至多只有一個零點至多只有一個零點 . ,0)()( xfxf例例3 設設)(xf1 ,0內可導內可導, 且且,0)1( f證明至少存在一點證明至少存在一點, )1 ,0( 使使上連續上連續, 在在在在)1 ,0(,1)0( f )( f )(f證證: 設)()(xfexx則 )()()(xfxfexx0故)(

6、x在),(上連續單調遞增, 從而至多只有一個零點 .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一個零點 .?0)()( xfxf若若練習練習 設設在在)(xf1 ,0內可導內可導, 且且,0)1( f證明至少存在一點證明至少存在一點 )( f, )1 ,0( 使使上連續上連續, 在在)1 ,0( )(2 f證證: 問題轉化為證問題轉化為證.0)(2)(ff設輔助函數設輔助函數)()(2xfxx 顯然顯然)(x在在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件上滿足羅爾定理條件, 故至故至, ) 1 ,0(使使0)()(2)(2ff即有即有)(f)(2 f少存在一點少存在一點例例5 5)()1()()1(),(,)

7、,1 , 0(0)(),()(212121xfxfxxfbaxxxfbaxf ，有有試試證證：對對內內有有二二階階導導數數，在在設設例例4 4,)(,)(內可導內可導，在在，上連續上連續在在設設babaxf且且,0ba 試證存在試證存在.ln)()()(abfafbf 使使, ),(ba 練習練習之之間間。在在其其中中試試證證如如果果21212121,),()1(, 012xxxxeexexxxxx 證證不妨設不妨設21xx 210)1(xxx 記記201xxx 則則)(, )(1(12021210 xxxxxxxx 由由lagrange定理，有定理，有)1()(1)()()(12110 xx

8、fxfxf )2()()()()(12202xxfxfxf )(22011xxx )(0)(xfxf)()(21 ff )1()2()1( 得得)()1()()(210 xfxfxf )(1()()(1221xxff 0 )()1()()1(2121xfxfxxf 單調增區間為單調增區間為 ; ;例例6 6 填空題填空題(1) (1) 設函數設函數上上連連續續，在在),()( xf的的則則)(xf其導數圖形如圖所示其導數圖形如圖所示, ,單調減區間為單調減區間為 ; ;極小值點為極小值點為 ; ;極大值點為極大值點為 . .)(xf o2x1xyx,0,(21xx),0,21 xx21, xx

9、0 x .在區間在區間 上是凸弧上是凸弧 ;拐點為拐點為 形在區間形在區間 上是凹弧上是凹弧; 則函數則函數 f (x) 的圖的圖 (2) 設函數設函數上上可可導導，在在),()( xf的圖形如圖所示的圖形如圖所示,)(xf o2x1xyx)(xf ),0,21 xx,0,(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx例例7 7 求極限求極限cpcxxxxpx, 011lnarctan2lim0求求設設 (1)(3) 求求)0()1arctan(arctanlim2 ananann(4)xnxnxxxnaaa 11211lim (5) f(x)二階可導二階可導,求極限求

10、極限20)(2)()(limhxfhxfhxfh (2) 求求)11ln(lim2xxxx 例例7 (1)cpcxxxxpx, 011lnarctan2lim0求求設設 解解pxxxxx 11lnarctan2lim0pxxxxx)1ln()1ln(arctan2lim0 )00(120111112lim pxpxxxx12201111lim2 pxxxxp340)1(1lim4 pxxxp0 c3 p34 c(4)xnxnxxxnaaa 11211lim )1( ln)ln(11211limnaaanxxxnxxe ln)ln(lim11211naaanxxnxxxe ln)ln(lim11

11、211naaanxxnxxx 而而xnaanxnxx1ln)ln(lim111 )00(22111111111lnln1limxxaaaaaannxnxxnxx naaannlnlnln21 )ln(21naaa xnxnxxxnaaa 11211lim)ln(21naaae naaa21 存在存在 , 且且例例8 設設,0)0( f且在且在),0 上上)(xf 單調遞減單調遞減 , 證明對一切證明對一切0,0 ba有有)()()(bfafbaf 2)1tan(limnnnn 證證: 設設, )()()()(xfafxafx則則0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以當所以當時，0 x

12、)(x0)0(令令,bx 得得0)()()()(bfafbafb即所證不等式成立即所證不等式成立 .例例9 9 不等式證明不等式證明), 0, 0(2ln)(lnln:yxyxyxyxyyxx 證明證明 , 00)()(xaxxxfxga)(xg)(xg例例10 設函數設函數f(x)具有一階連續導數，具有一階連續導數， （1）確定）確定使使處處連續。處處連續。證明證明具有一階連續導數。具有一階連續導數。（2）) 0(f 存在，且存在，且f(0)=0, , 001)(xxxxxfx)(xf0 xx)(xf例例11 設設 （1）討論）討論在在處的連續性。處的連續性。取何值時取何值時取得極值。取得極

13、值。（2）例例12問方程問方程)0(ln aaxx有幾個實根有幾個實根解解:)1(定義域定義域, 1 xy )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐點的橫坐標得可能拐點的橫坐標拐點拐點區間區間凹凸凹凸極值極值的單調區間的單調區間求函數求函數,12 xxxy例例1313x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 極大值極大值0拐點拐點00 x31y y y 極小值極小值0 )3, 1(), 3( 3xy極大值極大值, 323 3xy極小值極小值, 323).0 , 0(拐點為拐點為例例1414,)(,)(內可導內可導，在在，上連