1、等差數列、等比數列1. （2014 山東青島二模）數列an為等差數列，ai, 女, a3成等 比數列，a5=1,則ai0=2. （2014 河北邯鄲二模）在等差數列an中，3（a3 + a5）+ 2（a7 + 3。+ a13）=24,則該數列前13項的和是3. （2014 河北唐山一模）已知等比數列an的前n項和為S,且 a1 + a3=?, a2+a4 = 2,則6=24an 4. （2014 福建福州一模）記等比數列an的前n項積為H n,若a4 a5=2,貝U n 8=5. （2014 遼寧卷）設等差數列an的公差為d,若數歹U 2日潟為遞減數列，則A. d<0B. d>0

2、C . a1d<0 D. ad>06. （2014 四川七中二模）正項等比數列an滿足:a3=a2+2a1,一，一2-14,右存在am, an,使得aa= 16a1，則有n的取小值為7. （2014 安徽卷）數列an是等差數列，若ai1, as+3, a§+ 5構成公比為q的等比數列，則q=.8. （2014 河北衡水中學二模）在等比數列an中，若a7+a8+a9 + a10= 15, a8 - a9=-9,則+, + 工 + 工=.88a7 a8 a9 a10 1 -9. 已知a是等比數列，a2=2, a5=4,則Sn=+an的取值范圍是10. (2014 課標全國卷I

3、 )已知數歹U an的前n項和為&,& = 1,an# 0, anan+1= X Sn 1,其中人為常數.(1)證明：an+ 2 an=入；(2)是否存在入，使得an為等差數列？并說明理由.11. (2014 山東荷澤一模)已知數列an, a = 5, a?=2, 記 A( n) = a + a + + an, B( n) = sh + a3 + + an+1, C( n) = a3 + a4 + + an+ 2(n6Nj,若對于任意n N*, A(n), B(n), Qn)成等差數列.(1) 求數列 an 的通項公式；(2) 求數列 | an| 的前 n 項和aii a12

4、a131. (2014 九江市七校聯考)已知數陣a2i a22 a23中，每行的 a3i a32 a333個數依次成等差數列，每列的3個數也依次成等差數列，若a22 = 2, 則這9個數的和為4、，2. (2014 江辦南樂一模)已知等比數列an的首項為鼻，公比為31,其前n項和為S,若Aw S < B對n6N*恒成立，則B A的3Sn最小值為.3.(2014 山東淄博一模)若數列A滿足A+1 = 一，則稱數列A 為“平方遞推數列”.已知數列an中，3 = 9,點(an, an+1)在函數 f (x) = x2+2x的圖象上，其中n為正整數.(1)證明數列an+1是“平方遞推數列”，且數

5、列 lg( an+1) 為等比數列；(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項積為Tn,即Tn= (a + 1)( a + 1) ( an+ 1),求 lg Tn；(3)在(2)的條件下，記bn= lg1 ,求數列bn的前n項和S,并求使S>4 026的n的最小值.高考專題訓練（九）等差數列、等比數列A級一一基礎鞏固組一、選擇題a1, a, a3成等1. （2014 山東青島二模）數列an為等差數列,比數列，a5=1,則ai0=()A.5B.1C.0D.1解析設公差為d,由已知得2a + d = aa + 4d= 1,a1 + 2d,解a1 = 1,得所以a10=a1 + 9d= 1,故選

6、Dd=0,3( a3 + a5)+ 2( a答案 D2. （2014 河北邯鄲二模）在等差數列an中,+ 3。+ a13）=24,則該數列前13項的和是（）A. 13 B . 26C. 52 D . 156)1軍析 a + 25=2a, a7+a0+ a13=3a10, 6a4 + 6a0= 24,即 a4+a10= 4,13 a1 + a1313 a4+a1。.Si3=2=2= 26.答案 B3. （2014 河北唐山一模）已知等比數列an的前n項和為S，,口5a1+ a3= 2,5 iSn=4，則0T(A. 4n 1B. 4n- 1C. 2n 1D. 2n- 15 a1 + a3 = 2,

7、解析5 a2+a4=4,a1 + a1q2 52'a1q+aq3=4.人 -1 + q2-由除以可得二2=2,解得 q + q '1 q=2.代入得3=2,1an= 2x 2n 14=2n，2X 1S=1-21n211= 4 1-2n ,5 an14 14=2n- 1,選 D.2n答案4. （2014 福建福州一模）記等比數列an的前n項積為H n,若a4 , a5 = 2,則 n 8=()A. 256B. 81C. 16 D . 1解析由題意可知 a4a5=aia8=aa7=a3a6 = 2,則 U 8 = a1 a2a3a4a5a6a7a8 = （a4a5） = 2 =16

8、.答案 C5. （2014 遼寧卷）設等差數列an的公差為d,若數歹U 2 2出3 為遞減數列，則（）A. d<0B. d>0C. a1d<0D. a1d>0）1軍析 依題意得 2aan>2a1an+1,即（2a1）an+1 an<1,從而 2a1d<1, 所以ad<0,故選C.答案 C6. （2014 四川七中二模）正項等比數列an滿足:a3=a2+2as 若存在am, an,使得aa= 16a2,則/n的最小值為（）解析 由a3=a + 2a1,得 q2=q + 2,7=29=1 舍去）, 由 amsh=16a2得 2A 12n =16,/

9、mVr n 2= 4, mVr n=6,1 4 mr n 1 44mn所以 m+ n= 6 mn nn1+4+-+ m1雇5+24m 3下=2.答案 D二、填空題7. （2014 ,安徽卷）數列an是等差數列，右a1 + 1, a3+3, as+5構成公比為q的等比數列，則q=解析設等差數列的公差為d,則a3=a1 + 2d, a5 = a+4d,. (ai + 2d + 3)2=(a + 1)( sn+4d + 5),解得 d= 1.a3 + 3 a1 一 2 + 3/q=01+1 = a1+1 =1.答案18. （2014 河北衡水中學二模）在等比數列an中，若a7+as+a915+ a1

10、0= 7，9111a8 a9= -8,則二/>a10解析1 1a7a10a7a10a7a10 '1 1a8 aas+ a9a8a9 '而 a8a9 = a7a10,111 1_a7a8a9a1。a7 + a8 + a9 + aoa7 a10157=9=3.一8答案9.已知a是等比數列，a2=2,.1a5 .則 Sn一 a + & + + a 4的取值范圍是解析因為an是等比數歹I, 所以可設an= aqnT.一 11因為I a5=4.aq= 2,ai = 4,所以aq4_1解得q_1所以Sn= a + a2+ + an=“1 n 41- 21 1-2=8 8X 2

11、 n.1 n 1因為 0<2 <2，所以 4<Sn<8.答案4,8)三、解答題10.(2014 課標全國卷I )已知數歹U an的前n項和為Sn,a = 1, an# 0, anan+1= X Sn 1,其中人為常數.(1)證明：an+ 2 an=入；(2)是否存在入，使得an為等差數列？并說明理由.角軍(1)由題設,anHn+1=入 Sn 1 , an+1Hn+2=入 Sn+1 1.兩式相減得 an + 1( an+2 an)=入 a,n+ 1.由于an+1#0,所以 an+2 ani 入.(2)由題設，a = 1, aa2=入 S1一1,可得 a2=X1.由(1)知

12、，a3=入 +1.令 2a2= a1 + a3,解得入=4.故an+2 an= 4,由此可得a2n1是首項為1,公差為4的等差數列，a2n 1 = 4n-3;a2n是首項為3,公差為4的等差數列，a2n= 4n1.所以 an = 2n 1, an+1 an=2.因此存在入=4,使得數列an為等差數列.11. (2014 山東荷澤一模)已知數列明，& = 5, a?=2, 記 A( n) = a + a + + an, B( n) = a + a3 + + an+1, C( n) = a3 + a4 + + an+ 2(n6N*),若對于任意 n N*, A(n), B(n), qn)成

13、等差數列.(1)求數列an的通項公式；(2)求數列| an|的前n項和.解(1)根據題意A(n), B(n), C(n)成等差數列， A(n) + qn) =2B(n),整理得 an+2 an+ 1 = a2 a1 = 2 + 5= 3.數列an是首項為5,公差為3的等差數列，.= an= 5 + 3(n 1) = 3n8.(2)| 雨=3n+ 8, nW2, 3n8, n>3,記數列| a|的前n項和為Sn.當n<2時,Sn =n 5 + 83n3n2 13萬十萬n；當n>3時,cn-21 + 3n8Sn= 7+2=萬13yn+ 14;綜上，Sn=一|n2+1fn，nw2,

14、2n2 13n+14, n>3.B級一一能力提高組a11a121. （2014 九江市七校聯考）已知數陣a21a31a22a32a13a23中，每行的a333個數依次成等差數列，每列的3個數也依次成等差數列，若an = 2,則這9個數的和為()A. 16 B . 18C. 9 D. 8a11a12a13解析已知數陣a21a22a23中，每行的3個數依次成等差數a31a32a33列，每列的3個數也依次成等差數列，若a22 = 2,由等差數列的性質 彳導：ai + az+ an+ & + 022 + &3 + a3i + 232+ a33= 9a22= 18.答案 B4、，2

15、. (2014 江辦南樂一模)已知等比數列an的首項為a，公比為31,其前n項和為S,若Aw S 一言 B對n6N*恒成立，則B A的3Sn最小值為.解析易得 Sn=1 ：n6 8, 1U1，4,而 y=Sn- J 在 I，4393Sn 9 317 77上單調遞增，所以y6 -72, 12? A,日，因此B A的最小值為12175972 =72，559答案723.(2014 山東淄博一模)若數列A滿足A+ 1 = An,則稱數列A 為“平方遞推數列”.已知數列an中，01 = 9,點(an, an+1)在函數 f (x) = x2+2x的圖象上，其中n為正整數.(1)證明數列an+1是“平方遞

16、推數列”，且數列 lg( an+1) 為等比數列； 設(1)中“平方遞推數列”的前n項積為，即Tn= (a + 1)(年+ 1) ( an+ 1),求 lg Tn；求數列bn的前n項和,一一 、lgTn在的條件下，記6= lg an+1 ，S,并求使S>4 026的n的最小值.解(1)由題意得:即 an+ 1 +1=( an+ 1)2 ,an+1 = an+ 2an ,2則an+1是“平方遞推數列”.對 an+1 +1 = ( an+ 1)兩邊取對數得 lg( an+ 1+ 1) = 2lg( an+1),所以數列lg( an+1)是以lg( a1+1)為首項，2為公比的等比數列.(2)由(1)知 lg( an+1)=lg( a + 1) 2n