1、第九章第九章 靜靜 電電 場場 中中 的的 導導 體體 和和 電電 介介 質質9-1 靜 電 場 中 的 導體靜電感應靜電感應在靜電場力作用下，導體中電荷重在靜電場力作用下，導體中電荷重 新分布的現象。新分布的現象。 靜電平衡靜電平衡導體中電荷的宏觀定向運動終止，導體中電荷的宏觀定向運動終止， 電荷分布不隨時間改變。電荷分布不隨時間改變。 一、導體達到靜電平衡的條件和性質一、導體達到靜電平衡的條件和性質 1.靜電感應與靜電平衡靜電感應與靜電平衡 2.靜電平衡條件：靜電平衡條件：用場強來描寫：用場強來描寫：1）導體內部場強處處為零；導體內部場強處處為零；+外外E感感E0感感外外內內EEEEE/E

2、 2）表面場強垂直于導體表面。表面場強垂直于導體表面。3用電勢來描寫：用電勢來描寫： 導體為一等勢體；導體表面是一個等勢面。導體為一等勢體；導體表面是一個等勢面。babaUUl dEUUE00內內內內表EndcdcUUl dEUU0表cbUU 同理可證：證明證明:adcb 二、二、靜電平衡時帶電導體上的電荷分布靜電平衡時帶電導體上的電荷分布 電荷分布在導體表面，導體內部處處無凈電荷。電荷分布在導體表面，導體內部處處無凈電荷。 (1) 實心導體實心導體:+ + 證明：證明：假設導體內部某區域內有凈電荷，假設導體內部某區域內有凈電荷，+ 這說明高斯面上至少有一區域這說明高斯面上至少有一區域E不為不

3、為0，導體還未達，導體還未達到靜電平衡，和靜電平衡的前提相矛盾。到靜電平衡，和靜電平衡的前提相矛盾。E.dS =is0q 0 根據高斯定理有：根據高斯定理有： 作一個包圍該電荷的高斯面作一個包圍該電荷的高斯面S 。S1.電荷分布在導體表面電荷分布在導體表面 這說明導體不是等勢體，和靜電平衡這說明導體不是等勢體，和靜電平衡的前提相矛盾。所以這種電荷分布是不的前提相矛盾。所以這種電荷分布是不可能出現的。可能出現的。+則：必有如圖的電場線則：必有如圖的電場線證明：證明：0SdE導導0 導E0) 1 ( 內處處+面內正負電荷等量異號S)2(2) 空腔導體空腔導體: 電荷分布在導體外表面，導體內部及腔體

4、的內表面處電荷分布在導體外表面，導體內部及腔體的內表面處處無凈電荷。處無凈電荷。2. 孤立導體處于靜電平衡時，各處的面電荷密度與各孤立導體處于靜電平衡時，各處的面電荷密度與各處表面的曲率半徑成反比處表面的曲率半徑成反比.證明證明：設相距很遠的導體球，用導線線接：設相距很遠的導體球，用導線線接Q,Rq,rrRUUr4qR4Q00rrRRrR02024444RrrR3. 導體表面鄰近處的場強與該處電荷面密度成正比。導體表面鄰近處的場強與該處電荷面密度成正比。0/SSE0/表表EEnS高斯面r10/eE表Er 尖端放電尖端放電 雷擊與避雷雷擊與避雷10R8。、為都是均勻分布，分別設板四個面上電荷解：

5、由對稱性可知，二43214321。求：每板表面電荷密度，板外無帶電體。、二板分別帶電量，板間距為面積均為、導體板如圖所示，二平行等大BAQQdSdSBA,AQBQab在二板內任取兩點a、b，由靜電平衡條件及場強疊加原理可得：三、有導體存在時靜電場的分析與計算三、有導體存在時靜電場的分析與計算靜電場的基本規律靜電場的基本規律電荷守恒電荷守恒導體靜電平衡條件導體靜電平衡條件分析與計算電荷和電場的分布分析與計算電荷和電場的分布9AQBQ4321ab004321432132另解：運用高斯定理032)(0SSdEese3241（1）（2）SQSQBA又：21（4）（3）02222022220403020

6、104030201baEE10討論：SQQQABA324101；，則，則）若）若023241；，則，則）若）若SQQQABA 3）一般情況，四個面上都有電荷分布， 其量值由（5） （6）式確定 。（1）（2）（3）（4）SQQSQQBABA223241（5）（6）13qqq12qq3q2q32qq ，解：解：設球殼內外表面電量：設球殼內外表面電量：由高斯定律及對稱性可得由高斯定律及對稱性可得32o132212o1Rr4qqERR0ERRr4qE0Er r rRr 1 例例9-2 一個一個半徑半徑R1的的金屬球金屬球A，帶有電量帶有電量q1 ，在它在它外面有一個同心的金屬球殼外面有一個同心的金屬

7、球殼B，其內外半徑分別為其內外半徑分別為R2、R3，帶有電量為帶有電量為q 。求求1.此系統的電荷及電場分布此系統的電荷及電場分布,球與球殼間的電勢差球與球殼間的電勢差 2.如果用導線將球殼和球接一下又將如何？如果用導線將球殼和球接一下又將如何？1R3R2R1qrq高斯面高斯面)11(442112121RRqdrrqUoRRoAB球球A與金屬殼與金屬殼B之間的電勢差：之間的電勢差：另解：另解：301201201301201101444444RqqRqRqRqqRqRqUUUBAAB)11(4211RRqo1R3R2R1qrq1q1q1331331 4 4RrrqqUR rRqqUoo3213

8、4 0RrrqqERrEo1R3R2R如果用導線將球和球殼接一下如果用導線將球和球殼接一下電荷僅分布在球殼外表面，電量電荷僅分布在球殼外表面，電量為為q+q1，且均勻分布，電場和電，且均勻分布，電場和電勢分別為：勢分別為：1qq 14靜電平衡靜電平衡的導體的導體1.場強場強:導體表面表內EE02.電勢：整個導體為一等勢體。電勢：整個導體為一等勢體。3.電荷電荷: 分布于導體表面分布于導體表面* 孤立導體孤立導體:r10/表EEr尖端放電尖端放電有導體存在時靜電場的分析與計算有導體存在時靜電場的分析與計算靜電場的基本規律靜電場的基本規律電荷守恒電荷守恒導體靜電平衡條件導體靜電平衡條件分析與計算電

9、荷和電場的分布分析與計算電荷和電場的分布四、靜電屏蔽四、靜電屏蔽1. 空腔導體內物體不受外電場的影響空腔導體內物體不受外電場的影響金屬罩金屬罩儀器儀器+帶電體帶電體qpr204rqEPqEpqq）（即即：內內內內內內內內內內qqqqEEEEE016例：例：1qR1R2l2q?. 111qqFF感求：qq0(1211211）解：（解：（感感感感EEqFFFqqqqq112.2qqqFF感）（指向右指向右指向左指向左感感202120214;4112lqqFlqqFqqq172. 接地的空腔導體內的帶電體不影響外界接地的空腔導體內的帶電體不影響外界qP-q+qPPPqPEEEE外壁內壁0PEqq外壁

10、Pq-q導體接地后：導體接地后：0PPqPEEE內壁9-2 電 容 和 電 容 器一、電容一、電容導體容電能力大小的物理量導體容電能力大小的物理量UqC 定義：定義：升高單位電壓所需的升高單位電壓所需的電量為該導體的電容。電量為該導體的電容。單位：單位：庫侖庫侖/伏特伏特 稱作稱作法拉法拉或記為（或記為（C/V）。）。FF1106微法微法pFF11012微微法微微法RRqqUqC0044二、孤立導體的電容：二、孤立導體的電容：Rq與導體的形狀有關，與其帶電量和電位無關。與導體的形狀有關，與其帶電量和電位無關。三、電容器的電容：三、電容器的電容： 若兩個導體分別帶有等量若兩個導體分別帶有等量異號

11、的電荷異號的電荷q，周圍沒有其它周圍沒有其它導體帶電；其間電位差導體帶電；其間電位差UAB，它們組成電容器的電容：它們組成電容器的電容：BAABUUqUqCAUBUqq 四、電容器電容的計算四、電容器電容的計算 求電容值的三步曲：求電容值的三步曲：1）設二極板分別帶電荷）設二極板分別帶電荷q、-q2）求二極板間的電勢差求二極板間的電勢差UAB3）由電容定義求由電容定義求C=q/UABqBqA帶，帶設：Sq1. 平行板電容器：平行板電容器：dSABEsqdddEUEAB000dSUqCAB0則：2 .球形電容器：球形電容器：1R2Rqq兩個同心的金屬球殼帶有等量異號電荷兩個同心的金屬球殼帶有等量

12、異號電荷21204RrRrqE21Rr ,Rr0E2010201244421RqRqdrrqURR21UUqC12210RRRR4當當2R10R4C 兩個長為兩個長為 L 的圓柱體，圓柱面上帶有等量異號的電荷，的圓柱體，圓柱面上帶有等量異號的電荷，線電荷密度為線電荷密度為 , 其間距離其間距離 R2 R1R1范圍內D線是連續的qq0D 042rDSdDS解：解：1Rr0020004ErqED r02200212r00144Rr 0RrrrqRrRrrqE 2104)111RqrRr（220rRrR4q)112（EP0enP :而nEr0) 1( R0qR1nnR2E線線不連續不連續204 rq

13、D1Rr 0D 1Rrqq39 。、此此電電容容器器的的、極極化化電電荷荷的的面面密密度度、電電容容器器中中的的。求求荷荷面面密密度度為為分分別別帶帶正正、負負電電荷荷，電電的的介介質質，已已知知兩兩極極板板為為板板間間充充滿滿相相對對介介電電常常數數，板板間間距距為為面面積積為為一一平平行行板板電電容容器器，板板例例CPEDdSr,2,1:,+ +00rDEP解：解：1、S 作圖示的高斯面作圖示的高斯面SDSdDS S0 0DDE0EEEPre) 1(0001rrP4001rrPnP01rr+ +00rDEPS 2、dESUQC03、0EdSC00CdSrr例、例、來頓瓶是早期的一種電容器，

14、它是一內外貼有來頓瓶是早期的一種電容器，它是一內外貼有金屬薄膜的圓柱型玻璃瓶。設玻璃瓶內直徑為金屬薄膜的圓柱型玻璃瓶。設玻璃瓶內直徑為8cm，玻璃厚度為玻璃厚度為2mm，來頓瓶高度為來頓瓶高度為40cm，已知玻璃已知玻璃的相對介電常數為的相對介電常數為5.0，其擊穿場強是，其擊穿場強是1.5 107V/m，如果不考慮邊緣效應，試計算：如果不考慮邊緣效應，試計算：（1）來頓瓶的電容值，）來頓瓶的電容值，（2）它頂多能儲存多少電荷）它頂多能儲存多少電荷?2R1RL12r0eRRLn2drrdEURReRR2121r2r0r2r0eDErDlrlDdee22SD（1）12r0eRRlnL2ULCF1

15、028.29LQLLEee1r01r01r0R2R2R2擊穿（2）=1.5 107V/mC1067.6Q5rl解解:設內外圓柱單位長度分別帶電設內外圓柱單位長度分別帶電 e、 - e2R1RL43q電介質在外電場中極化電介質在外電場中極化在介質表面出現束縛電荷在介質表面出現束縛電荷在介質內產生電矩介質內產生電矩PnPPcos各向同性電介質各向同性電介質)00EEEEE（nPPcosEEPre00) 1(VeSdVqSdD0EEPD0電介質充滿電場不為零的空間電介質充滿電場不為零的空間 或介質與自由電荷具有相同的或介質與自由電荷具有相同的對稱分布：對稱分布：rEE0平行板電容器：平行板電容器：0

16、1 rr0DP44確的。則下列各式中哪個是正），的介質球（為為中心，放上一半徑現以rRArAAEE0) 1 (QSdDs)3(0)2(QSdEs24)4(RQ度為常量導體球上自由電荷面密為半徑的球面）為中心，為以（rOS2244rQDQrDSdDsDE 204rQErArAOAEE例：oRQrA2004rQEA已知：-q+q9-4 靜 電 場 的 能量外FeF一、電容器儲存的能量一、電容器儲存的能量AuBuqqdq+任任一一時時刻刻dqCqUdqdA QQUUAB+終終了了時時刻刻CQdqCqdAAQ2021 儲存在電容器中的能量：儲存在電容器中的能量：UQUCCQWe21212220eeWW

17、A根據廣義的功能原理根據廣義的功能原理討論：討論：)(. 1不變接在電源上U（外力作正功）例：插入電解質）eWC()(. 2不變脫開電源 Q作正功）（外力作負功、電場力eWCUQUCCQWe2121222dSC0解：解：（1）銅板未插入）銅板未插入m103d3例例9-9空氣平板電容器每塊極板的面積空氣平板電容器每塊極板的面積 極板間的距離極板間的距離 。今將。今將 厚度厚度 的銅板平行地插入電容器內。（的銅板平行地插入電容器內。（1）計算此時電容）計算此時電容器的電容改變為多少？（器的電容改變為多少？（2）銅板離極板的距離對）銅板離極板的距離對上述結果是否有影響？（上述結果是否有影響？（3）使

18、電容器充電到兩極）使電容器充電到兩極板的電勢差為板的電勢差為300V后與電源斷開，再把銅板從電后與電源斷開，再把銅板從電容器中抽出，需做功多少？容器中抽出，需做功多少？,10322mSm101 d3d銅板插入銅板插入21111CCC1d2d202101dSCdSCddSddSC021048SqE00UqC另解：另解：銅板插入銅板插入0ddSC（2）電容值與銅板離極板的距離無關）電容值與銅板離極板的距離無關) dd(EdEdEU02010d0E0E1d2d（3）使電容器充電到兩極板的電勢差為）使電容器充電到兩極板的電勢差為300V后后與電源斷開，再把銅板從電容器中抽出，需做功與電源斷開，再把銅板

19、從電容器中抽出，需做功多少？多少？49eeWWWA).3(銅板抽出后銅板抽出后CQWe22dSC0銅板未抽出銅板未抽出CQWe220ddSCUCQJ61099. 22202ddUSdA二、靜電場的能量二、靜電場的能量1、電容器儲存的能量與場量的關系。、電容器儲存的能量與場量的關系。2、電場的能量密度、電場的能量密度 電場中單位體積內的能量電場中單位體積內的能量DEEVWree212120 是反映極板間每一場點電場大小的物理量，是反映極板間每一場點電場大小的物理量，所以電能儲存于電場之中。所以電能儲存于電場之中。DE和EVD21rE00SdEr202SdSQSdQrrr20002)(22dSCr

20、0CQWe22討論：討論：1.均勻電場均勻電場:VWeeEDdVdVWee212.非均勻電場非均勻電場:Rr+ +Q，已知：已知：QRr（球外為無限大介質）（球外為無限大介質），例例求一均勻帶電球面的電場能量。求一均勻帶電球面的電場能量。=Q2Rr80=WewedVVR=8120rQ()0rr242r24drE =Q0rr24E2we=12=120rQ()0rr242dV =r24drdrr532121VeVedVdVW均勻帶電球體的電場能量。均勻帶電球體的電場能量。Rr+ +Q1E2E+54例：R1R2求：W單=？解法一：dVwWVe22DwerlrlDSdDS2lrD2drrldrdV2W