1、 浙江大學 鄒伯敏 教授 第一節 引言 假設在系統中一次或幾次的信號不是延續的模擬信號，而是在時間上離散的脈沖或數碼信號，這種系統稱為離散化控制系統。 由于這些離散信號是延續函數經采樣后構成的，故又稱這類系統為采樣控制系統。圖7-1 計算機控制系統方框圖 從A/D和D/A轉換器看模擬量與數字量之間的轉換關系，且兩者有著確定的比例關系，因此圖7-1可以簡化為圖7-2圖7-2 圖7-3 采取分時處置方式，用一臺計算機控制多個被控對象。圖7-41有利于系統實現高精度2有效地抑制噪聲，提高了系統抗擾動的才干3不僅能完成復雜的控制義務，而且易于實現修正控制器的參數4有顯示、報警等多種功能計算機控制系統的

2、優點計算機控制系統的優點分析離散系統的常用方法有兩種：Z變換法和形狀空間分析法。第二節 信號的采樣與復現 把延續信號變成脈沖或數字序列的過程叫做采樣，把采樣后的離散信號恢復為延續信號的過程稱為信號的復現。一、采樣過程)(kTf圖7-式中： *( )( )( )Tftf tt*( )() ()kftf kTtkT，KT 脈沖出現時辰7-27-1*( )()kfttkT圖7-*0( )() ()kftf kTtkT)(kTt )(kTfktjkkTseatP)(脈沖產生的時辰；KT時辰的脈沖強度；把窄脈沖信號當理想脈沖信號處置是近似的，也是有條件的。二、采樣定理設用于調制器載波的窄脈沖信號為 ；如

3、圖7-8所示。用傅立葉級數表示為22sin111jktsTeTkkTaedtkTTT7-47-5( )TP t其中,Ta10Tak1Ta984. 01Ta935. 02101T假設令那么圖7-圖7-ktjkkTsseatfttftf)()()()(*ktjkktjseadejF)(21()1()2sjktkka F jeduks*1( ) ()2jutskskfta F j ukedu*1( ) ()2j tskskfta F jked*() ()SkskFja F jk假設令那么或圖7-10圖7-11圖7-可知，相鄰兩頻譜不重疊交叉的條件是max2smax2ssmax2s香農采樣定理圖7-1

4、2香農定理的物理意義是：采樣角頻率假設滿足，那么 就含有延續信號f(t)的全部信息，經過圖7-11所示的理想濾波器，那么可把原信號f(t)不失真的復現s)(*tfs如用理想脈沖序列采樣的離散化信號，其傅氏變換表達式*1() ()skFjF jkT二、零階堅持器把采樣值按常數、線形函數和拋物線函數外推的堅持器分別稱為零階、一階和二階堅持器。圖7-13零階堅持器( )是把kT時辰的采樣值恒值地堅持到下一采樣時辰K+1T。ZOH由圖7-13(b)得脈沖呼應傳送函數頻率特性)()()(TtltltghSeSGTSh1)(22)2sin(1)(TjTjheTTTjejGST2()sin()2()SjSh

5、SSGje把代入上式，得圖7-15圖7-14)(tfh2T 是一種近似的帶通濾波器由 恢復的函數比原函數在相位上要平均滯后ZOH)(tfZOH設離散化信號*0( )() ()kftf kTtkT0*)()()(kkTSekTftfLsFTSeZ 0ln1*)()()(kkzTszkTfsFzF0*)()()(kkzkTftfZzF令，那么定義：變換的三種求法：1( )Zt1)(kTf0k120( )1( )1.kkF zZtzzz 解：例7-1 求：、級數求和法當時，那么有假設 ,那么上式可寫為：1z111)(1zzzzFateZ0a11zeaT.1)(2210zezezezFaTaTkkak

6、T例7-2 求：，解：假設 ,那么：aTaTezzzezF111)(2、部分分式法例7-3 求的 的Z變換 解：)1)(1 ()1 (1111)()(11111zezzezeztfZzFaTaTaTaTetf1)(asssF11)()(sinatZjasjjasjasasF2121)(2221111)cos2(1)(sin121121)(zzaTzaTzejzejzFjaTjaT)()(assasF例7-4 求 解：2、留數計算法 設 的拉氏變換為 ，且其為真有理式， 為 的極點，那么Z變換用下式求得)(tf)(sFKPnkkPSnkTSRezzsFreszFK11)()(KPSTSkezzs

7、FresR)(TSezzsF)(KPSPS)()(limTSpsezzsFpsR)()(lim)!1(111TSqpsqqezzsFpsdsdqR)(sF為 在 上的留數：)(sF假設 含有 的一階極點時，對應的留數為：PS)(sF假設 含有 的q階重極點時，對應的留數為：)(zF3( )(1)(2)sF sss123( )(1)(1)()3()(1)()2sTSsTSTqTszF zsssq zeszsqssq zezzzeze21)(ssF2220) 1(1limzTzezzssdsdRTSs例7-5 知求解例7-6 試求 的Z變換解二、變換的根本性質)()()()(22112211zFa

8、zFatfatfaZ)()()()( )()()()(2211022011022112211zFazFaZkTfaZkTfaZkTfakTfatfatfaZkkkkkk、線性定理0)(tf)()(zFtfZ)()(zFZkTtfZk.)(.)()0(.)()()()()()1(1001nkkknkZnTfZTfZfZkTTfZkTfZkTnTfkTtfZ證：2、滯后定理設 t0 時, , ,那么：式中k、T均為常量.證：0)(kTnTf.)2()()0()(21ZTfZTffZkTtfZk)(zFZk思索到nk， 那么有 ：kZ延遲環節圖7-1710)()()(kknkkznTfZzFZkTt

9、fZ10)1(1)1(1)1(0)(0)()() 1(.)()0(.) 1()(.)()0(.)()()()()(kknkkkkkkkkkkknkkknznTfZzFZZTkfZTffZZTkfZkTfZTffZZkTTfZkTfZzkTnTfZzkTnTfkTtfZ3、超前定理證：0) 1()()0(TkfTff)()(ZFZkTtfZk假設，那么)() 1(lim)(lim)(lim1zFznTftfzntmkkmzzmkkmmkkmzkTfTkffzFzzkTfTkfzFZfzZFzkTfTkfkTfTkfZ01100)() 1(limlim)0()() 1(lim)() 1(lim)(

10、)0()()() 1(lim)() 1()()() 1(lim)0(0fzkTfTkffmkkm)()(aTatZeFetfZ4、終值定理設f(t)的Z變換為F(z)，且F(z) 不含有z的二重及以上的極點和單位圓外的極點，那么F(t)的終值為證：、復數移位定理0)()()(kkTasatekTfetfZaTTaszeez)(1)()()()(101aTkkatzeFzFzkTfetfZ證：令，那么：6、卷積定理 設 , , 的Z變換分別為 , , 且當t0時, 0)()()(trtgtc)(zC)(zG)(zR)()()(0nTrTnkgkTCkn)()()(zRzGzC000)()()()

11、(kkknkkznTrTnkgzkTCzC)(tc)(tg)(tr知那么證：nk 0)(Tnkg00)()()(kknznTrTnkgzCjnknj)()()()()()()(000)(zRzGzjTgznTrzjTgnTrzCjjnnnnjnj思索到：時那么：令：當k=0時,三、反變換)(zF)(*tf)(1zFZ把 反變換為 的過程叫Z的反變換，記為1、長除法12)(22zzzzzF)(*tf)(zF.97531211)(4321211zzzzzzzzF*1( ) ( )( )3 ()5 (2 )7 (3 ).ftZF zttTtTtTzzF)()(1()1 ()(aTaTezzezzF例

12、7-8,求 的反變換解2、部分分式法步驟:將分母 的多項式分解為因式把 展開為部分分式求各部分分式項的Z變換之和例7-9,知 求)(*tfaTezzaTaTezzezzF111)(1(1)(aTezzzzzF1)(akTekTf1)(1( )( ) ( )kF zf tres F z z的所有極點)2)(1(10)(zzzzF或k=0，1，20*)()1 ()(kakTkTtetf3、反演公式例8-10,求 的Z反變換kzkzkkkzzzzzzzzzzzreszzzzreskTf21010)2()2)(1(10) 1()2)(1(10)2)(1(10)2)(1(10)(211解或0*)()21

13、010()(kkkTttf)(zC)(zR脈沖傳送函數定義：在零初始條件下，輸出離散化信號的Z變換 與輸入離散化信號的Z變換 之比，即)()()(zGzRzC)()()()(11*zRzGzzCztC圖7-18令.)2()2()()()()0()()()(0*TtTrTtTrtrnTtnTrtrn.)()(.)2()2()()()()0()(nTtgnTrTtgTrTtgTrtgrtC那么)()()0()(.) 1()()()0()(0nTrTnkggkTrTkgTrktgrkTCkn當 t=kT 時，0)(tg)()()(0nTrTnkgkTCn)()()(zRzGzCnnznTgzG0)(

14、)(思索到 t 0, 0 k 0.866 l 采樣具有降低系統穩定性作用。二、閉環極點與瞬態呼應的關系)()()()()(zVzUzTzRzC1)(zzzR1)()()(zzzVzUzC)(zTniiipzAzAzzC101)(niiipzzAzzAzC101)(nikiipAAkC10)()(設令那么假設 無重極點,那么1、 實數極點位于單位圓內正實軸上極點對應的瞬態分量是一個單調的衰減過程，而位于圓內負實軸上極點對應的瞬態分量是正負交替變化的衰減過程。2、 共軛極點設一對共額極點為ijiieppijiieppiijkkiijkkiikiikiiiepAepApApAkc)(ijiieAAi

15、jiieAA）（）（）（iikiikjkiikjkiiikpAepAepAkciiiicos2)(令圖7-33下面分析S平面上不同閉環極點與其脈沖呼應間的對應關系。sjssTs22TTSeezsjs21圖7-33a中示出了實部不同，虛部均為 的4對共軛極點和4個實極點。圖7-33a中所示的極點均映射到Z平面的正實軸上，為圖7-33b所示。在一個完好的振蕩周期內只采一次，因此采樣后的脈沖序列不能反映原有脈沖呼應的變化規律。圖7-34由于s21TTeTez2s即 在一個完好的振蕩周期內，每隔180采一次，采樣后的輸出為正負交替的脈沖序列。sAjS81sjS41BsCjS31sDjS81圖7-35在

16、一個完好的振蕩周期內，采樣的次數分別為8次，4次和3次，閉環極點盡能夠配置在Z平面上單位圓內正實軸的附近，且距坐標原點的間隔越小越好。三、最少拍系統當 ，k=0 時，稱系統具有無窮大的穩定度。nnnnnnnnazazazbzbzbzbzRzCzG1111110.)()()( 離散化系統閉環脈沖傳送函數的極點全部位于Z平面的坐標原點，那么稱系統具有無窮大穩定度。 最少拍系統在典型輸入信號作用下，以有限拍終了呼應過程，且在采樣時辰上無穩太誤差的離散化系統。令nnnnnzbzbzbzbzG1110.)(nnnnzbzbzbb)1(1110.)() 1(.)()()()(1101nTtbTntbTtb

17、tbzGZkgnn0.21naaa當那么一個n階穩定系統的脈沖呼應共有n個脈沖序列，即在典型信號作用下，系統的瞬態呼應將在n個采樣周期內終了。例如二階系統的閉環脈沖傳送函數為：212)()()(zzzTzRzCttr)(211)1 ()(zTzzR.43221)2()(43221121TzTzTzzzTzzzzC.)4(4)3(3)2(2)(TtTTtTTtTkcttr)(111)(zzR.212)(321121zzzzzzzc.)3(1)2(1)(2)(TtTtTtkc那么： 表示系統的輸出在第二拍就完全跟蹤輸入 的變化。)( 1)(ttr那么：)( 1)(ttr 表示系統的輸出在第二拍就完

18、全跟蹤輸入 的變化，但是其超調量 。 按照斜坡輸入設計的最少拍系統，不能滿足階躍輸入動態呼應的性能要求。 。圖7-36%100p四、離散化系統的穩態誤差圖7-37)()(11)(zRzGHzE)(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim11zGHzRzzEzkeezzkss 條件：系統穩定，且 不含Z=1的二重及二重以上極點。 )(zE1)(0zzRzRpzzsskRzzRzGHze1lim1)(11) 1(lim0101)(lim1zGHkzdefp)( 1)(0tRtr1、階躍輸入 。 靜態位置誤差系數 0 型系統： psskRe100sse其中 為常數 pk 型和型系統： tvt

19、r021)(常量0v2、斜坡輸入 20) 1()(zTzvzR)() 1(lim1) 1()(11) 1(lim10201zGHzTvzTzvzGHzezzssvkv0)() 1(lim11zGHzTkzdefv0vksse常量vkvsskve0靜態位置誤差系數 其中 0 型系統： 型系統： vk0sse2021)(tatr 型系統： 3、拋物線函數輸入 ， 320) 1(2) 1()(zzTazR)() 1(lim1) 1(2) 1()(11) 1(lim21203201zGHzTazzTazGHzezzssaka0)() 1(lim1212zGHzTkzdefa常量0a靜態加速度誤差系數 其中 型系統： 0 型、 型系統： 0aksse常量akasskae0例7-2圖7-