1、第2講 等差數列及其前n項和 最新考綱 1理解等差數列的概念 2掌握等差數列的通項公式與前n項和公式 3能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題 4了解等差數列與一次函數、二次函數的關系. 理 梳 知 識 等差數列的定義1那么這個每一項與它的前一項的差等于同一個常數，2項起，如果一個數列從第 表示數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d * 為常數，nNd)數學語言表達式：aad(nn1 項和公式等差數列的通項公式與前n2. 1)dna(的首項是a，公差是d，則其通項公式為aa(1)若等差數列11nn . )d(nm項a可以表示為aa，則其第

2、若等差數列a的第m項為anmnnmn n項和公式(2)等差數列的前?1n?nn?aa?n1*) 為第n項，a為首項，d為公差，a.(Snad其中nN 1nn122 項和的性質等差數列及前n3ba. 的等差中項，且AA叫做a，b若(1)a，A，b成等差數列，則 2* )N，(m，np，q，m(2)若a為等差數列，當npqaaaaqpnnm *md是公差為)k，mN，是等差數列，公差為(3)若ad，則a，aa(mkkmnk2 的等差數列 S，也是等差數列S，SS(4)數列，Sm2m3mmm2. a1)(5)S(2nnn12nd(6)若n為偶數，則SS； 2奇偶若n為奇數，則SSa )中間項(中偶奇

3、4等差數列與函數的關系 (1)等差數列與一次函數的區別與聯系 等差數列 一次函數 解析式 *nN) aknb(nf(x)kxb(k0) 不同點*，圖象是一系列孤定義域為N立的點(在直線上)，k為公差 定義域為R，圖象是一條直線，k為斜率 相同點數列的通項公式與函數解析式都是關于自變量的一次函數k0*)圖象所表示的點均勻分布在函數f(x)naknb(N時，數列nkxb(k0)的圖象上；k0時，數列為遞增數列，函數為增函數；k0時，數列為遞減數列，函數為減函數 dd?2a?n，當nd0時，它是關于n(2)等差數列前n項和公式可變形為S 1n22?dd?2a?x它的圖象是拋物線yx上橫坐標為正整數的

4、均勻分布的二次函數， 1 22?的一群孤立的點 辨 析 感 悟 1對等差數列概念的理解 (1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列(×) (2)等差數列的公差是相鄰兩項的差(×) (3)(教材習題改編)數列a為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函n數(×) 2等差數列的通項公式與前n項和 *，都有2aaa為等差數列的充要條件是對任意nN.() a(4)數列2nnnn1(5)等差數列a的單調性是由公差d決定的() n(6)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數(×) 3等差數列性質的活用 (7)(2013&#

5、183;廣東卷改編)在等差數列a中，已知aa10，則3aa20.() 7538na?n(8)(2013·遼寧卷改編)已知關于d0的等差數列a，則數列a，na，? nnnn?a) ×(都是遞增數列nd3n 提升感悟·的重要性，如”與“同一個常數等差數列概念中的“從第2項起”一點注意 (1)、(2)的一次n0時，等差數列的通項公式是等差數列與函數的區別 一是當公差d項n；二是公差不為0的等差數列的前0時，a為常數，如(3)函數，當公差dnd的單調性是由公差a和公式是n的二次函數，且常數項為0；三是等差數列n2并非遞增；若nna3n12決定的，如(8)中若a3n12，則

6、滿足已知，但nn1an，mdn1)d1是遞減數列；設aa(nan1，則滿足已知，但 1nnnn. 是遞增數列mnd4dn則a3n 第82頁學生用書 考點一 等差數列的基本量的求解 【例1】 在等差數列a中，a1，a3. 31n(1)求數列a的通項公式； n(2)若數列a的前k項和S35，求k的值 kn解 (1)設等差數列a的公差為d，則aa(n1)d. 1nn由a1，a3，可得12d3. 31解得d2.從而，a1(n1)×(2)32n. n(2)由(1)可知a32n. nn1?32n?2所以S2nn. n2235. kk進而由S35可得2k22k350，解得k即k7或5. *，故k7

7、N為所求 又k規律方法 (1)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a，a，d，n，n1 S，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想解決問題 n(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a和d是等1差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法 【訓練1】 (1)(2013·浙江五校聯考)已知等差數列a滿足aa4，aa5342n10，則它的前10項的和S( ) 10A85 B135 C95 D23 (2)(2013·新課標全國卷)設等差數列a的前n項和為S，若S2，S0，mmnn1S3，則m( ) 1mA3 B4 C5 D6 解析 (1

8、)設等差數列a的首項為a，公差為d， 1n ，a44d4，2a?11? 解得則3.，d6d102a?1910×95. 3×(4)×S10 102 3，0，S(2)法一 S2，S1m1mm 3，SSaSS2，ammm1mmm11?1n?n1n?n? ，dna1，由Sna公差daa 11m1nm22 ?m1m? ma0， 12? 得?2m1?m?m1 ， a2? 12m1 ，代入可得m5. 由得a 12 n項和為S，法二 數列a為等差數列，且前nnS?n 也為等差數列數列? n?SS23S21m1mm，即0， m111mmm1m解得m5.經檢驗為原方程的解故選C. 答

9、案 (1)C (2)C 考點二 等差數列的判定與證明 【例2】 (2014·梅州調研改編)若數列a的前n項和為S，且滿足a2SSnnn1nn10(n2)，a. 121?(1)求證：成等差數列； ? S?n(2)求數列a的通項公式 n審題路線 (1)利用aSS(n2)轉化為關于S與S的式子?同除S·Snn1nnnn1n?利用定義證明?得出結論 11(2)由(1)求?再求S?再代入條件a2SS，求a?驗證n1的情況?得 nnnnn1Sn出結論 (1)證明 當n2時，由a2SS0， 1nnn11得SS2SS，所以2， 1nnn1nSSn1n111?又2，故是首項為2，公差為2的等

10、差數列 ? SaS?n1111(2)解 由(1)可得2n，S. nnS2n當n2時， n1n111aSS. 1nnnn2?n1?2n?2n?n12?n1?1當n1時，a不適合上式 12 1?，1，n? 2? 故an1?2.，n? ?12n?n規律方法 證明一個數列是否為等差數列的基本方法有兩種：一是定義法，證明 aad(n2，d為常數)；二是等差中項法，證明2aaa.若證明一2nn1nn1n個數列不是等差數列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法 n1n. a32a滿足：a2，a3【訓練2】 已知數列nn11nn2an設b.證明：數列b為等差數列，并求a的通項公式 n nnn3n1nn1nn1n

11、23·2a23a3a2a23nnn1n證明 bb1， n 1nn1n1nn13333a21b為等差數列，又b0. 1n3nn. 23a1nb，1)·n(nn 學生用書第83頁 考點三 等差數列的性質及應用 【例3】 (1)設S為等差數列a的前n項和，S4a，a2，則a( ) 97nn38A6 B4 C2 D2 (2)在等差數列a中，前m項的和為30，前2m項的和為100，則前3m項的和n為_ 8?aa?814a?aaa，a0，d2，a解析 (1)S4a?a 73336369822d246. (2)記數列a的前n項和為S，由等差數列前n項和的性質知S，SS，S3mnn2mmm

12、S成等差數列，則2(SS)S(SS)，又S30，S100，Sm2mm22mm2mm3m2mS1003070，所以SS2(SS)S110，所以S110100m3m2mmmmm23210. 答案 (1)A (2)210 規律方法 巧妙運用等差數列的性質，可化繁為簡；若奇數個數成等差數列且和 為定值時，可設中間三項為ad，a，ad；若偶數個數成等差數列且和為定值時，可設中間兩項為a d，ad，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元 【訓練3】 (1)在等差數列a中若共有n項，且前四項之和為21，后四項之n和為67，前n項和S286，則n_. n(2)已知等差數列a中，S9，S36，則aaa_. 9

13、7n386解析 (1)依題意知aaaa21，aaaa67. 3n1n412n2n3由等差數列的性質知aaaaaaaa，4(aa)88，nn43112nn23n1aa22. n1n?aa?n×22n1又S，即286，n26. n22(2)a為等差數列， nS，SS，SS成等差數列， 693362(SS)S(SS) 69336aaaSS 689972(SS)S 3362(369)945. 答案 (1)26 (2)45 等差數列的判斷方法1 是等差數列a(d是常數)?(1)定義法：aadnnn1* 是等差數列aN)?(2)等差中項法：2aaa(nnnn2n1 是等差數列aq為常數)?(3)

14、通項公式：apnq(p，nn2 是等差數列a為常數)?AnBn(A、B前(4)n項和公式：Snn等da和2方程思想和化歸思想：在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為1 組基本量，通過建立方程()獲得解 )在數列解題中的應用整體代入法(整體相消法方法優化41116，則該數列前a)在等差數列a中，已知a【典例】 (1)(2012·遼寧卷84n ( )項和S11176 D143 B88 C A58 q40，則公比aaa若等比數列a滿足：a20，(2)(2013·北京卷)54n23_. S；前_n項和n，167da3da的公差為一般解法 (1)設數列ad，則aa16，即18n411

15、0×1188. dd55d)55d885511(8d即a85，所以S11ad5 11112 3，20aaqq?11? ，得aa由a20，a40(2)524342，40qaaq?11 2，20q?aq?1?1? 即22，40q?aq?1?1解得q2，a2， 1nn?2?11q?2a?1n1S22. n2q11優美解法 (1)由aaaa16，得 8111411?aa?11?aa?11×1684111S88. 11222aaq?aa?4352(2)由已知，得q2， aaaa4422n?qa?11n1又a2，所以S22. n1q1反思感悟 整體代入法是一種重要的解題方法和技巧，簡化

16、了解題過程，節省了時間，這就要求學生要掌握公式，理解其結構特征 【自主體驗】 在等差數列a中，已知Sm，Sn(mn)，則S_. nnnmm解析 設a的公差為d，則由Sm，Sn， mnn ?1?nn?，mdSna 1n2? 得?1m?m?.nSmad? 1m2?mn?mn1?·dnnm)am， 得( 12mn1danm，1. 12?mn?mn1?d S(mn)a 1nm2mn1?(mn)(mn) da 12?答案 (mn) 對應學生用書P287 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 SS231(2013·溫州二模)記S為等差數列a前n項和，若1，則其公差d nn2

17、3( ) 1A. B2 C3 D4 2aaaaaSS2213123解析 由1，得1， 3322d?a?1，dd2. 即a 112?答案 B 2(2014·濰坊期末考試)在等差數列a中，aaa15，那么aa435n67a等于( ) 9A21 B30 C35 D40 解析 由題意得3a15，a5.所以aaa7a7×535. 634669答案 C 3(2013·揭陽二模)在等差數列a中，首項a0，公差d0，若aaa2n1m1a，則m的值為( ) 9A37 B36 C20 D19 解析 由aaaa，得(m1)d9a36d?m37. 5m219答案 A 4(2014

18、3;鄭州模擬)a為等差數列，S為其前n項和，已知a5，S21，則7nn7S( ) 10A40 B35 C30 D28 7?aa?7?a5?117解析 設公差為d，則由已知得S，即21，解得a1，所 172210×910×922以aa6d，所以d.所以S10ad10×40. 110173232答案 A 5(2013·淄博二模)已知等差數列a的前n項和為S，滿足aS13，則13nn13a( ) 1A14 B13 C12 D11 13?aa?131解析 在等差數列中，S13，所以aa2，即a2a2 1311131321311. 答案 D 二、填空題 6(201

19、3·肇慶二模)在等差數列a中，a33，a66，則a_. 351525n解析 aa10d663333，aa10d663399. 25152535答案 99 7(2014·成都模擬)已知等差數列a的首項a1，前三項之和S9，則an1n3的通項a_. n解析 由a1，S9，得aaa9，即3a3d9，解得d2，a1n112133(n1)×22n1. 答案 2n1 *)，若aNa5的前)若等差數列an項和為S(n(2013·8浙江五校聯考3n2n2，則SS_. 533?aa?3a35S33123解析 ×. 522S5a?5?aa3551答案 32 三、解

20、答題 9已知等差數列a的公差d1，前n項和為S. nn(1)若1，a，a成等比數列，求a； 113(2)若Saa，求a的取值范圍 15192解 (1)因為數列a的公差d1，且1，a，a成等比數列，所以a1×(a13n1122)，即aa20，解得a2. 或1111223a8a，即a5a10aS(2)因為數列a的公差d1，且aa，所以11951n111100，解得5a2. 1故a的取值范圍是(5,2) 1Sn*) nN2(n1)(設數列a的前n項和為S，a1，a10 nn1nn(1)求證：數列a為等差數列，并求a與S. nnnSSSn2322 0151)？若存在，求出(n(2)是否存在自

21、然數n，使得S 1n23n的值；若不存在，請說明理由 Sn*)N (n1)(n2(n1)，得Sna2n證明 (1)由a nnnn當n2時，aSSna(n1)a4(n1)， 1n1nnnn即aa4， 1nn故數列a是以1為首項，4為公差的等差數列 n?aa?nn12*于是，a4n3，S2nn(nN) nn2Sn*)， nN(1)，得2n1(2)由 nSSSn32222(n1)nn57(2n1)(又S(n1)13 1n2322n1)1. 令2n12 015，得n1 008， 即存在滿足條件的自然數n1 008. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1(2014·咸陽模擬)已

22、知等差數列a的前n項和為S，S40，S210，Sn4n4nn130，則n( ) A12 B14 C16 D18 解析 SSaaaa80， 3n24nnnn1nSaaaa ，4043214 120，所以4(aa)n1 30，aan1?an?an114. n由S210，得 n2B 答案 的值n最大時，SS，當S2等差數列a的前n項和為S，已知a13n1n11n3 是( )8 D6 C7 A5 Ba，根據等差數列的性質，可得a0法一 由SS，得aa解析 75114311n，a0，故a0，根據首項等于13可推知這個數列遞減，從而得到a0878 7時，S最大nSd2，故a55d，把a13代入，得法二 由SS，可得3a3d11n1111312 最大時，S14n，根據二次函數的性質，知當n713nn(n1)nn且這個數列的和先是，則這個數列的公差不等于零，S根據a13，S法三 1131的二項和是關于n單調遞增然后又單調遞減，根據公差不為零的等差數列