1、隨機變量的離散型期望與方差 引入 某射手射擊所得環數的分布列如下 X 命中環數4 5 6 7 8 9 10 P 命中概率X0 0.02 0.04 2 0.06 a 0.09 0.28 0.29 0.22 思考：我們能否通過計算，預計該射手n次射擊的平均環數？ 解讀 離散型隨機變量的期望與方差 1、離散型隨機變量的數學期望 xxxX，這些，所有可能的取的值是，（1）定義：一般地，設一個離散型隨機變量n12pppE(x)?xp?xp?xp，叫做這個離散型隨機變值對應的概率是，則，n21n221n1X的均值或數學期望（簡稱期望） 量 （2）離散型隨機變量的數學期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水

2、平 E(aX?b)?aE(X)?b. 3）根據數學期望的概念及前面所學知識，我們可以得到（4）期望的性質有哪些？ E(C)?CE(aX?b)?aE(X)?bCX 為常數）；若（是隨機變量，則視野：我們知道離散型隨機變量的分布列和數學期望都可以用來刻畫隨機變量，你能說出分布列與數學期望的關系嗎？ E(x)?xp?xp?xp；答：期望是建立在分布列的基礎上的，其關系式為 n1n221離散型隨機變量的分布列和期望雖然都是從整體和全局上刻畫隨機變量的，但二者大有不同。 分布列之給出了隨即變量取所有可能值的概率，而期望卻反映了隨機變量取值的平均水平。 2、離散型隨機變量的方差 xxxX，這些值對應的，1

3、（）一般地，設一個離散型隨機變量所有可能取的值是，n21222?(x?E(x)p?x)pp)?(x?E(x)?(x?E(D(Xppp叫做，則概率是，nn2112n12X的方差 這個離散型隨機變量 2）離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大小（離（ 散程度） )XD(3D(x)叫做離散型隨機變量（的標準差，它也是一個衡量離散型）的算術平方根X 隨機變量波動大小的量4. ）方差與標準差越小，穩定性越高，波動越小（5 ）方差的性質：（D(C)?0C 為常數）（2a，b)aXD(，D(aX?b)?E(aX?b)aE(X)?b 為隨機變量，為常數，則；X 視野：期望與方差的

4、關系是什么？答：方差是隨機變量的另一個重要的數字特征，它表現了隨機變量所有值的相對于它的期望 的集中于離散程度。由方差的定義可知，方差是建立在期望這一概念之上的。3、典型分布的期望與方差： （1）二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次npX二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為 npX（2）二項分布：若離散型隨機變量服從參數為和的二項分布，則，nnp)?XE(pX )p?1?)D(x?npq(q（3）超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數為的超幾何分布，則n，MNXnMn(N?n)(N?M)M， ?E(X)?(DX) 2(NN?1)N 典例精講 一選擇題（共15小題

5、） 1（2017秋?孝感期末）設隨機變量B（n，p），且E（）=3.2，D（）=1.92，則（ ） An=8，p=0.4Bn=4，p=0.4Cn=8，p=0.6Dn=4，p=0.8 個?春吉安期末）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為642（2018同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的油） X漆面數為X，則的均值E（X）=（ 2DCAB 的分布列如表其，甲、乙兩個運動員射擊命中環數3（2018春?福州期末） 中射擊成績比較穩定的運動員是（ 1089k環數 0.50.20.3）=kP（ 0.40.20.4）=k（P CA甲一樣D無法比較B乙 ，P=X=2PX?2

6、0184（春吉安期末）已知是離散型隨機變量，（），（）=X=a ）+（D，則）X（E=2X （=）1 DBCA 5（2018春?溫州期末）已知某口袋中有2個白球和2個黑球，若從中隨機取出1個球，再放回1個不同顏色的球，此時袋中的白球個數是X；若從中隨機取出2個球，再放回2個不同顏色的球（若取出的是1個黑球1個白球，則放回1個白球1個黑球），此時袋中的白球個數是Y，則（ ） AE（X）=E（Y），D（X）=D（Y）BE（X）=E（Y），D（X）D（Y） CE（X）E（Y），D（X）=D（Y）DE（X）E（Y），D（X）D（Y） 6（2018春?邢臺期末）在某公司的一次投標工作中，中標可以獲利12

7、萬元，沒有中標損失成本費0.5萬元、若中標的概率為0.6，設公司盈利為X萬元，則D（X）=（ ） A7B31.9C37.5D42.5 D（72018春?禪城區校級期末）隨機變量X的分布列如表，且EX）=1.1，則 （X） =（ ） aX01 pP B0.49C0.40D0.36A0.68 8（2018?西湖區校級模擬）已知A，B兩個不透明盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干個A盒中有m個紅球與10m個白球，B盒中有10m個紅球與m個白球（0m10），若從A，B盒中各取一個球，表示所取的 2個球中紅球的個數，則當D取到最大值時，m的值為（ ） A3B5C7D9 個黑5個大小相同的球，其中有2

8、個白球，29（2018?浦江縣模擬）袋中裝有球，取出后不放回，直到取到有兩種不同球，1個紅球，現從袋中每次取出1的顏色的球時即終止，用X表示終止取球時所需的取球次數，則隨機變量X）X）是（ 數字期望E（ ABDC b=，則的分布列如表，且EX=1.6?10（2018春上杭縣校級月考）設隨機變量X） （ 012X3 0.1aP0.1b C0.4DB0.1A0.20.5 個紅球，個黃球，個紅球，1乙盒中裝有1甲盒子裝有2018?11（諸暨市二模）3）個球交換，分別記甲乙兩個32i=13個黃球，同時從甲乙兩盒中取出i（，）盒子中紅球個數的數學期望為E）則以下結論錯誤的是（ i，（i）E（ 21BE（

9、1）（EA1E（）2）=E（2） 2112DE=4）（E+1（CE）1（3）E（1） 2121 ，隨機變量，湖州二模）已知2018?（12abR（b+）=x（滿足P=axx=1 2），則（E=若1，0）E（+）D= DBA1C 13（2018?柯橋區二模）某省2018年普通高校招生考試報名人數為30萬人，每位考生必須在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術七門中隨機選3門參加選考科目的考試，估計其中參加技術考試的人數大約為（ ） A14萬B13萬C10萬D低于6萬 個黑個白球和32018?臺州一模）在一個箱子中裝有大小形狀完全相同的414（，X5球，現從中有放回的摸取次，每次隨機摸取一球，設

10、摸得的白球個數為） 黑球個數為Y，則（ ）YD（X）D（）X）AE（XE（Y），D（）D（Y）BE（X）=E（Y， CE（X）E（Y），D（X）=D（Y）DE（X）=E（Y），D（X）=D（Y） *）Nn（n2017（秋?寧波期末）一個箱子中裝有形狀完全相同的5個白球和15個黑球，現從中放回的摸取4次，每次都是隨機摸一球，設摸得白球個數為X，若D（X）=1，則E（X）=（ ） A1B2C3D4 小題）二填空題（共6 個黑3?16（2017秋浙江期末）某袋中裝有大小相同質地均勻的5個球，其中）0XP記取出白球的個數為個球，X，則（2個白球球和2從袋中隨機取出 = =XE ，（） 17（2018春

11、?臨沂期末）設0P1，若隨機變量的分布列是： 012 P 則當P變化時，D（）的極大值是 18（2018春?鼓樓區校級期末）已知隨機變量X的分布列如表： PP 0 若EX=2，則DX= 19（2018春?碑林區校級期中）已知隨機變量X的分布列為： X011 aP 隨機變量Y=2X+1，則X的數學期望EX= ；Y的方差DY= 20（2018?鎮海區校級模擬）隨機變量X的分布列如下： X011 cbaP 其中a，b，c成等差數列，則P（|X|=1）= ，方差的最大值是 21（2018?下城區校級模擬）一個盒子中有大小形狀完全相同的m個紅球和6 個黃球，現從中有放回的摸取5次，每次隨機摸出一個球，設

12、摸到紅球的個數為X，若EX=3，則m= ，P（X=2）= 三解答題（共4小題） 22（2017秋?邢臺期末）某鮮奶店每天以每瓶3元的價格從牧場購進若干瓶鮮牛奶，然后以每瓶7元的價格出售如果當天賣不完，剩下的鮮牛奶作垃圾處理 （1）若鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：瓶，nN）的函數解析式； （2）鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量（單位：瓶），繪制出如下的柱形圖（例如：日需求量為25瓶時，頻數為5）： 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率100以 的，求X表示當天的利潤（單位：元）（）若該鮮奶店一天購進30瓶鮮奶，X分布列及數學期望； 瓶還

13、是29瓶或2930瓶鮮牛奶，你認為應購進（）若該鮮奶店計劃一天購進瓶？請說明理由30 的分，拉薩期末）甲乙兩名選手在同一條件下射擊，所得環數春（232018?布列分別為 109786 0.180.10.140.42P0.16 108976 0.170.12P0.280.190.24 （）分別求兩名選手射擊環數的期望； 環左右，你認（）某比賽需從二人中選一人參賽，已知對手的平均水平在7.5為選誰參賽獲勝可能性更大一些？ 只患有某種疾病，需要通過化1海珠區期末）已知6只動物中有春24（2018?驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒患病下面是兩種化驗方法： 方案甲：逐

14、個化驗，直到能確定患病動物為止 若結果呈陽性則表明患病動將它們的血液混在一起化驗先任取3只，方案乙：只，直到能確定患病動物為止；31只，然后再逐個化驗這物為這3只中的3只，然后再逐個化驗另外只中的1若結果呈陰性則表明患病動物為另外3只，直到能確定患病動物為止 的期望；表示依方案甲所需化驗次數，求X（）用X 應該選元，從所需的化驗的平均費用角度考慮，（）若每次化驗的費用是100擇哪一種化驗方法？ （單位：小t“無故障使用時間馬鞍山期末）某種產品的質量以其25（2017秋?衡量，無故障使用時間越大表明產品質量越好，且無故障使用時間大于”時）并記錄了每100件，3小時的產品為優質品，從某企業生產的這

15、種產品中抽取件產品的無故障使用時間，得到下面試驗結果： （小無故障使用時間t時） （0，1 （1，3 （3，+） 頻數 20 40 40 以試驗結果中無故障使用時間落入各組的頻率作為一件產品的無故障使用時間落入相應組的概率 ）從該企業任取兩件這種產品，求至少有一件是優質品的概率；1（ （單位：元）與其無故障使用時y（2）若該企業生產的這種產品每件銷售利潤的關系式為t間 ， ，y= ， 的分布列與數學X（單位：元），求從該企業任取兩件這種產品，其利潤記為X期望 歸納總結 離散型隨機變量的期望與方差 、離散型隨機變量的數學期望1xxx1，這些，（所有可能的取的值是）定義：一般地，設一個離散型隨機變

16、量，Xn21ppppxp?px)?x?xE(，叫做這個離散型隨機變，值對應的概率是，則n21n2211n 量的均值或數學期望（簡稱期望）X 離散型隨機變量的數學期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平 、離散型隨機變量的方差2xxx1，這些值對應的，（，）一般地，設一個離散型隨機變量所有可能取的值是Xn12222pppp)xE?(?xE?(?xE?x?XD()()px()p?x(叫做，概率是，則，n12n1122n 這個離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于X 期望的平均波動的大小（離散程度） )XD(D(x)叫做離散型隨機變量的算術平方根的標準差，它也是一個衡量離散型隨X 機變量波動大小的量3、期