1、基本不等式教學設計 教材依據 人教 A 版 必修 5 第三章 不等式 3.4 基本不等式 設計思想 本節課是在系統的學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的， 作為重要的基本不等式之一 , 為后續的學習奠定基礎。 要進一步了解不等式的性質及運用， 研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作 用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好 素材，所以基本不等式應重點研究。教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練 習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，

2、教師發揮組織者、引導 者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。定，就知識的應用價值上來看，基本不等式是從大量數學問題和現實問題中抽象出來的一個 模型，在公式推導中所蘊涵的數學思想方法如數形結合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明 等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應用；另外它在如“求面積一定，周長最?。恢荛L一 定，面積最大”等實際問題的計算中也經常涉及到。就內容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想， 有助于培養學生的創新思維和探索精神 , 是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。 教學目標 1、知識與能力目標：依據新標準對不等式學段的目標要求和本班

3、學生實際情況，特確定如下目標： 理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單問題；培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題-剖析歸納證明T 幾何解釋- 應用（最值9的求法、實際問題的解決）的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、 抽象概括等思維活動， 培養學生的思維能力， 體會數學概念的學習方法， 通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤 于動

4、手的良好品質。四、 教學重點 應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式巫三寧的證明過程及應用。五、教學難點1基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。六、教學方法本節課采用觀察一一感知一一抽象一一歸納一一探究；啟發誘導、講練結合的教學方法，以 學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。 基本不等式：jab 丈竺簡要教學思路2【學習目標】1 .知識與技能(1) 了解基本不等式的證明過程。(2) 會用基本不等式

5、解決簡單的最大(小)值問題。2過程與方法探索并了解基本不等式的證明過程，體驗基本不等式在實際中的應用。3. 情感、態度與價值觀通過實例，體驗數學與日常生活的聯系，感受數學的實用價值，增強應用意識，提高實 踐能力。應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式【學習重點】 的證明過程。用基本不等式求最大值和最小值?！緦W習難點】【知識結構】基本不等式的幾何背景a +bI基本不等式：局2I基本不等式的證明過程基本不等式的應用【學習過程】引入探究1在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形，設直角三角形的兩條直角邊的長為 a、b,那么正方形ABCD的面積S= 4個全等的直角三角形的面積 S

6、'= S與S'的大小關系為 新課一、基本不等式的探究 根據探究1得到1、重要不等式 說明：2、基本不等式說明：你能根據不等式的性質分析推導出（*）式嗎?2a +b >a +b 要證只要證要證，只要證>0要證,只要證（顯然，是成立的，當且僅當a =b時，的等號成立>0領悟練習:七、教學過程教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程,符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。具體過程安排如下:創設情景，提出問題;設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”現實情境問題是數學教學的

7、平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實.基于此，設置如下情境：一、自學質疑，交流展示fl lUM z2家趙爽的 熱情好際rm代0 -J問題1、比較大正方形的面積與 4個直角三角形的面積，你能找到怎樣的不等關系?利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式a2 +b2 >2ab【探究】：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學 弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民 客?，F將圖中的“風車”抽象成下圖，問題替換之后能得到什么結論？什么時候取等號?問題2、上式能否取到等號？什么時候取等號?當且僅當a=

8、b時，等號成立問題4、你能給出證明嗎?抽象歸納:一般地，對于任意實數 a,b,有a? + b2>2ab,當且僅當a= b時，等號成立。問題3、上式中a,b的范圍能擴大嗎？對于任意實數a,b，有a2 +b2 >2ab問題如果用ja, Jb去替換上述結論中的a, b，則a, b需要滿足什么條件?問題7、你能給出證明嗎？要證a +b二后2只要證a +b >要證,只要證a +b->0 要證,只要證（-)2 >0顯然，是成立的。當且僅當a=b時，中的等號成立。（告訴學生，這種證明方法稱之為分析法，在我們高三的時候會適當的加深補充） 點評：證明方法叫做分析法，實際上是尋找結論

9、的充分條件，執果索因的一種思維方法.2 2本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式a + b>2ab。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。通過ppt課件，讓學生更直觀的抽象、歸納出以下結論:二、抽象歸納:一般地，對于任意實數 a,b,有a? + b2>2ab，當且僅當a= b時，等號成立。問你能給出它的證明嗎?學生在黑板上板書。特別地，當a>0,b>0時，在不等式a2+b2>2ab，以 需、Tb分別代替a、b,得到什么?設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等 式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數

10、思想，為今后學習奠定基礎"4; a + b答案： Jab <(a,b> 0)。2【歸納總結】 若-0,0，則有J軌寧，當且僅當a=b時，陌=號。我們稱此不等式為 基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數，JOb稱為a,b的幾何2平均數。二、把握關鍵，突出主題 基本不等式：問題8、上述公式主要用于解決最值問題，你能觀察出它可以解決哪些式子的最值問題?問題9、在求最值的過程中需要滿足什么條件?問怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結）“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：當a=b時，取等號，即a =b=僅當a=b時，取等號，即巫=寧=4、探究基本不等式證明方

11、法: 問如何證明基本不等式?（意圖在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華）方法一：作差比較或由">0展開證明。 方法二：分析法（完成課本填空）設計依據：課本是學生了解世界的窗口和工具，心理學研究表明：任何學習都是學習者 自主建構的過程.在這個過程中，離不開學習主體與文本之間的交互作用.有意義的接受學習是 自主建構，有意義的發現學習也是自主建構.前者的認知機制是同化，它引起認知結構的量變;后者的認知機制是順應，它引起認知結構的質變.既沒有絕對的接受學習，也沒有絕對的發現學習，總是兩者相互交替、有機結合.所以，課本必須成為學生賴以學會學習的文本.

12、在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考,養成講講議議、動手動筆、仔細觀察、用心體會的好習慣，真正學會讀“數學書”。要證>Jab2只要證a +b >要證,只要證a+b->0要證,只要證（-)00顯然，是成立的。當且僅當a=b時，中的等號成立。（告訴學生，這種證明方法稱之為分析法，在我們高三的時候會適當的加深補充） 點評：證明方法叫做分析法，實際上是尋找結論的充分條件，執果索因的一種思維方法.5、探究基本不等式的幾何意義： 借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究不等式jab（a, b> 0）2的幾何解釋，通過數形結合,jab<*b （a, b> 0）賦予不

13、等式2幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。、探究歸納下列命題中正確的是對于任意實數a,b,均有a+ b>2Jab ；當X>0時，由于1+ x2>2x，當且僅當1 =x2時，即x=1時，等號成立。所以函數2y =1 +x（X >0）的最小值為2;y = sinx+在(0,)的最小值為4。sinx 2n4當X亡（0,）時，有sinx中 一>4 ；所以函數2Sinx引入闖關游戲分層完成，小組討論，使學生體會概念應用模式，學會捕捉解題切入點，理解利用基本不等式求最值的條 件“正”、“定”和“等”。5分鐘以上命題均是根據基本不等式的使用條件中的難點和關鍵處設置的，目

14、的是利用學生原有的 a + b平面幾何知識，進一步領悟到不等式Jab <成立的條件a > 0, b > 0 ,及當且僅當a = b時,2等號成立。這些“陷阱”要讓學生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，完全放手讓學生自主 探究，老師指導，師生歸納總結。結論：若兩正數的乘積為定值，貝U當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值; 若兩正數的和為定值，貝U當且僅當兩數相等時，它們的乘積有最大值。簡記為：“一正、二定、三相等。四、領悟練習:公式應用之一:1.（學生指出正、定、等）若0 ,X + -的最小值為（1）若a>0,b>0,且a+b=2,則ab的最大值為此時a=,b=。（

15、學生指出正、定、等）（2）公式應用之二：（最優化問題）設計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題，不僅極大地增強學生的興趣，拓寬學 生的視野，更重要的是調動學生探究鉆研的興趣，引導學生加強對生活的關注，讓學生體會: 數學就在我們身邊的生活中（1）在學農期間，生態園中有一塊面積為100m2的矩形茶地，為了保護茶葉的健康生長, 學校決定用籬笆圍起來，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多 少？現在學校倉庫有一段長為36m的籬笆，要圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各 為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少?學生分組討論、糾正、爭辯，合作交流。引導學生體會基本不等式的正用和

16、逆用，量化賦分。7分鐘五、反思總結，整合新知:通過本節課的學習你有什么收獲？取得了哪些經驗教訓 ？還有哪些問題需要請教?設計意圖：通過反思、歸納，培養概括能力；幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能, 提咼認知水平.老師根據情況完善如下:一個不等式：若aA0,bA0，貝U有Jab<M，當且僅當a=b時，2 2兩種思想：數形結合思想、歸納類比思想。三個注意：基本不等式求函數的最大（?。┲凳亲⒁猓骸耙徽ㄈ嗟取绷?、布置作業：課本P100習題A組1、2題七、課下思考：類比基本不等式，當a,b,c均為正數，猜想會有怎樣的不等式?八、教學反思我校教學指導方針為：“低起點，高觀點，高目標”。新課程標準中對知識的發生的過程、“感受”、“探索”等情感，態度與價值觀要求行為提出了較高的要求，多次使用了“經歷” 動詞，重視學生對問題的探究能力。在證明基本不等式時，2一般方法：x , y R,(X y)二0:> xy當且僅當x=y時，等號成立。,y=2，當且僅當a=b時，等號成令x=掐，yi忙所以立。接下來提問學生能否有別的方法證明該不等式，沒想到學生思維活躍，提出了兩種證法,令我始料不及，收獲很大。2證法2：當a>0,b>0時，有(a b)2 230 二 a +b 32ab證法3:當a>0,b>0