1、第一講：偏好、效用與消費者的基本問題5、常見的常替代彈性效用函數形式為請證明：5.1當，該效用函數為線性證明：當時，效用函數為，此時，函數是線性的5.2 當時，該效用函數趨近于說明：如果，該效用函數在時發散，如果，那么函數在時極限為5.3 當時，該效用函數趨近于證明：令，則的一個單調變換結果是當時，；同理，當時，有當時，有綜上所述，當時，原效用函數描述的偏好關系趨近于所描述的偏好關系如果與滿足，那么當時，同時有效用函數，趨近于以下效用函數10、一個人的效用函數為，這里，假定存在內點解，請導出其馬歇爾效用函數解：本題的最大化問題為其拉格朗日函數為使最大化的，滿足一階條件：，（1），（2）（3）將

2、1式除以2式，得，即；（4）代4式入3式，得；（5）代5式入4式，得（6）5與6式即為與的馬歇爾需求函數第二講 間接效用函數與支出函數 3、考慮下列間接效用函數，這里表示收入，問：什么是該效用函數所對應的馬歇爾需求函數與解：根據羅爾恒等式，可以得到這個效用函數所對應的馬歇爾需求函數：，9、下列說法對嗎？為什么？函數可以作為某種商品的希克斯需求函數答：不對因為這個函數中，希克斯替代效應10、下列函數能成為一個馬歇爾需求函數嗎？為什么？這里，與是兩種商品，為收入答：要具體分析一般要求馬歇爾需求函數滿足（1），以及（1）函數是和的零次齊次函數很明顯，該需求函數滿足第二個條件考慮第一個條件，如果能將定

3、義在上，那么該函數能對于所有的價格向量成為一個馬歇爾需求函數；如果只能將定義在上，那么它只能對于滿足的價格向量成為一個馬歇爾需求函數第三講 價格變化對消費者配置效應與福利效應4、 某個消費者的效用函數為令，與分別表示商品1的價格、商品2的價格和收入4.1 如果，現在上升為2，求此消費者關于商品1的斯拉茨基替代效應和收入效應解：令為商品1價格變化前的消費量，為變化后的消費量有： ，令為調整收入以保持購買力條件下，對商品1的消費量為為保持購買力對收入進行調整后得到的收入有： ， 其中，斯拉茨基替代效應為 ，收入效應為 4.2 請根據計算，驗證恩格爾加總規則解：由4.1知，因此 ，恩格爾加總規則成立

4、8 判斷下述論斷是否正確，并給出理由：8.1 如果需求曲線是一條直線，則直線上各點的需求價格彈性是一樣的判斷：并不是所有直線上的彈性都是一樣的理由：一類線性需求曲線可以由，來表示，它的彈性 即，彈性是價格的函數，也就是說，這樣的直線上需求價格彈性是隨價格變化，不是一樣的但考慮與軸垂直的需求曲線，它的彈性就是不變的最后考慮與軸水平的需求曲線，它們的彈性均為無窮大，無法比較8.2 如果對的需求是由的價格、的價格和收入決定的，則當的價格、的價格和收入都上漲一倍時，對的需求不變判斷：正確理由：考慮典型的預算約束表達式，其中、和分別為、的價格和收入在這樣的預算約束和一定的偏好下，消費者將選擇一定的和的消

5、費量消費者的選擇變化無非基于兩個條件的變化，這兩個條件就是選擇集預算約束和偏好當的價格、的價格和收入都上漲一倍時，其預算約束為，它與表示的是同樣的選擇集，在偏好不變的情況下（這是“如果對的需求是由的價格、的價格和收入決定的”的含義），消費者的選擇將不會發生變化，也就是說，對的需求不變9、 判斷對錯并簡要說明理由：和是一個消費者消費的兩種物品，我們說是的替代品，如果，為的價格如果是的替代品，則也是的替代品答：按照替代品的定義，第一句正確第二句錯誤用斯勒茲基恒等式來分析，記為對的替代效應，為收入，有，和符號均為負，但每個式子中的收入效應是不確定的因此，并不意味著一定成立11、判斷對錯并簡要說明理由

6、：11.1 如果消費者是一個理性的效用最大化者，那么他對某種商品的斯拉茨基替代效應必定是負的錯考慮完全互補偏好，相對價格變化的斯拉茨基替代效應為零11.2假設某消費者的效用函數是，則他關于的需求對價格的交叉價格彈性為零對他關于的需求為，其中為收入，為的價格從需求函數與的價格無關可以得到，由此可以得到12、下面的說法對嗎？為什么？某個消費者將他的全部收入花在兩種商品上，其中一種商品是吉芬商品如果吉芬商品的價格上升，那么他對另外一種商品的需求必定下降對如果吉芬商品價格上升，消費量增大，另一種商品的預算份額下降，在價格不變的前提下，需求必定下降14、我們觀察到，一個消費者在，時，購買的，；當價格為，

7、時，購買的，他的行為符合顯示性偏好的弱公理嗎？答：符合如果要符合顯示性偏好弱公理，因為 所以必然應當預測到 而后一個等式確實是成立的（），符合預測因此他的行為符合顯示性偏好的弱公理第五講 風險規避、風險投資和跨期決策4在固定收益率為的資產上投資美元，可以在兩種狀態時獲得；而在風險資產上的投資在好日子收益為，在壞日子為，其中通過上述假定，風險資產上的投資就可以在狀態偏好的框架中被加以研究4.1請畫出兩種投資的結果4.2請說明包含無風險資產與風險資產的“資產組合”這樣可以在你的圖中得到顯示你怎樣說明投資在風險資產中的財富比例？4.3請說明個人對于風險的態度會怎樣的決定它們所持有的無風險資產與風險資

8、產的組合一個人會在什么情況下不持有風險資產？7、 一個人擁有固定財富，并把它分配在兩時期的消費中，個人的效用函數由給出，預算約束為，這里是單期利率7.1證明如果個人在此預算約束下要最大化其效用，則它應當選擇時與的組合證明：他的最大化問題是 一階條件為其中，為拉格朗日乘子由此得到結論得證7.2證明，但是的符號不確定證明：借用斯勒茨基恒等式來分析的上升等價于第二期消費價格下降，其收入效應和替代效應均傾向增加第二期消費；但對第一期，收入效應傾向增加消費，替代效應傾向減少第一期消費，所以對第一期消費的影響不確定具體來說其中是第二期消費的希克斯需求，為第二期的消費價格在上式中，所以同樣可以分析題目應有一

9、個關鍵假設使得結論成立，任何一期消費的收入效應為正也許是因為在實際生活中，消費的收入效應很少為負，所以題目省略了這一點在后面的解答中我仍認定消費的收入效應為正11.消費者的效用函數為，在第一期和第二期的收入分別為100元和180元，利率為求：11.1第一期和第二期的消費分別是多少？解：最大化問題是解得，注 假定消費者能自由借貸11.2 取什么值時，該消費者在第一期儲蓄、貸款或不借貸？解：當期消費小于收入則儲蓄令，則該消費者在第一期儲蓄解得同理，令，得時，消費者不借貸；令，得時，消費者貸款11.3當利率變化對和的影響是什么？解：由，得第一期的消費額變動與利率變動方向相反由，得第二期的消費額變動與

10、利率變動方向相同第六講 生產函數與規模報酬5判斷下列結論是否正確，并說明理由：5.1 邊際產出大于零，則總產量將隨著投入的增加而上升，平均產量則不一定上升答：邊際產出大于零，即多增加一個單位的投入，總產出的增量為正，即總產量將隨著投入的增加而上升如果多增加一個單位的投入，總產量的增量高于平均產量，那么平均產量在增加該單位的投入后將上升，但是，也可能出現總產量增量在為正的同時低于平均產量的情況（因為平均產量嚴格大于零），那么平均產量在增加該單位的投入時將下降5.2 如果生產是有效率的，生產的可能性邊界一定是外凸的答：假設一個經濟生產的產品包括，利用唯一的生產要素；生產可能性邊界可以表述為 如下圖

11、，盡管A點是有效率的，但是，它所在的生產可能性邊界不是外凸的A即，生產有效率并不是一定意味著生產可能性邊界外凸15、 生產函數形式如下 15.1 勞動和資本的平均生產力是多少？解：，15.2 圖示當等于100時的曲線解：這里沒有辦法標出點（word技術問題），邊際產出為紅線（或灰線，如果黑白打印的話）15.3 證明，運用這一信息，加一個函數到2圖中，這一曲線有何特別的地方？解：，同理15.4 畫出時的等產量線解：見上圖15.5 運用3的結果，在點，及，處，上的等產量線上的MRTS是多少？這一函數呈現邊際技術替代率遞減嗎？解：事實上可以利用12題第3問的結論在三個點，邊際技術替代率（對）分別為1

12、，25/4和4/25，這個函數呈現邊際技術替代率遞減第七講 要素需求函數、成本函數、利潤函數與供給函數3、下列說法對么？為什么？函數(p)= p 0.5 可以成為一個利潤函數答：不對因為該函數對p不是一次齊次函數，因此它不可以成為一個利潤函數9.一個富有進取心的企業家購買了兩個工廠以生產裝飾品.每個工廠生產相同的產品且每個工廠的生產函數都是q=(Ki Li) 1/2（i=1,2）,但是K1=25， K2=100，K 與L的租金價格由w=r=1元 給出。（1） 如果該企業家試圖最小化短期生產總成本，產出應如何分配。minSTC= min125+L1 +L2S.T 5 L11/2+10L21/2

13、³QL(L1 ,L2)=125+ L1 +L2+l Q-(5 L11/2+10L21/2 ) F.O.C(一階條件) :1=5/2*l* L1-1/21=10/2*l* L2-1/2將兩式相除得L2=4 L1再代入5 L11/2+10L21/2 =Q得q1=5* L11/2=1/5 Q ，q2=10* L21/2=4/5 Q（2） 給定最優分配，計算短期總成本、平均成本、邊際成本曲線。產量為100、125、200時的邊際成本是多少？STC(Q)=125+5* L1=125+Q2/125SAC(Q)=125/Q+Q/125SMC(Q)=2/125*Q SMC(Q=100)=1.6, S

14、MC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2（3） 長期應如何分配？計算長期總成本、平均成本、邊際成本。minLTC= min K1+ K2+L1 +L2S.T (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2 ³QL(L1 ,L2,K1,K2)= K1+ K2+ L1 +L2+l Q-(K1 L1) 1/2 -(K2 L2) 1/2 ) F.O.C 1=1/2*l*(K1/ L1 ) 1/2 1=1/2*l*(K2/ L2 ) 1/2 1=1/2*l*(L1/ K1 ) 1/2 1=1/2*l*(L2/ K2 ) 1/2從而有K1/ L1 =K2/ L2 ，K1=L1 ，

15、K2= L2所以 L1+L2=Q,分配比例任意LC(Q)=2(L1+L2)=2Q LAC=2 LMC=2（4） 如果兩個廠商呈現規模報酬遞減，則第三問會有什么變化？如果兩個廠商呈現規模報酬遞減則長期總成本、平均成本、邊際成本均是產量的增函數。在規模報酬遞減時利潤最大化等價于成本最小化，所以有MR1= MR2=MR=MC1=MC2因為MC1 與 MC2是產量q1 與q2的增函數，所以必有q1 =q210、假定某曲棍球棒廠商的生產函數是 而資本在短期固定為、的租金分別為和10.1計算廠商的總成本為，和的函數解：當時，此時廠商的短期總成本為 10.2給定，與，資本投入應如何加以選擇以使成本最小？解：

16、令，得到10.3 用你在2中求得的結果去計算曲棍球棒生產的長期總成本解：令中，就可以得到曲棍球棒生產的長期總成本為10.4對于美元，美元，試畫出曲棍球棒生產的長期總成本曲線運用，與證明它是由1所算出的短期成本曲線的包絡線解：此時，與時的短期成本分別為，它們分別與切于、和，因此是以上短期成本曲線的包絡線14、 下列說法對么？為什么？14.1當邊際成本下降時，平均成本必下降答：記是固定成本若在上連續記，那么，其中（因為邊際成本下降），那么有，因此有，所以平均成本下降注 我假設是我們在經濟學課本里面經常看到的成本曲線圖邊際成本下降之后上升，然后與平均成本曲線相交于平均成本的最低點，此后邊際成本均大于

17、平均成本，并同時上升下同14.2當邊際成本上升時，平均成本必上升答：不一定從上題的角度，此時，但是因為有固定成本使得的符號不能確定第八講 完全競爭與壟斷6.設某完全壟斷企業擁有、兩個工場，成本函數分別為，。市場需求函數為6.1 求該企業利潤最大的產量，價格和利潤。解：，令，有方程組，解得，。因此利潤最大的產量為15，價格為70，利潤為735。6.2 若政府采用邊際成本定價法對其產品價格加以限制，則該企業的產量、價格、利潤為多少？這時，政府宜采取何種輔助措施。解： 令，有，。價格為，利潤約為597。這時，政府應當補貼邊際成本定價法與壟斷定價法的利潤差額，為238。9、 假設你作為中國電信的經理正

18、在決策北京和石家莊固定電話的定價問題，已知需求函數為石家莊： 北京： 試求：1) 現在考慮實施兩部收費制（初裝費與話費分開），并且可在兩地區區別定價，求初裝費，與話費，。解：區別定價中，同理2) 在上問中，如果不能實施地區差別定價，求、。解：地區無法差別定價條件下，確定在石家莊地區提供數量為正的產量的價格策略，其保留價格（即最低可接受的利潤額），為單獨在北京地區進行銷售的利潤所得，即。考慮在石家莊地區提供數量為正的產量的價格策略，即確定，有，且初裝費只能定在保留價格較低地區（即石家莊）的保留價格上。其話費收益為。初裝費為，初裝費收益為。中國電信的成本為。綜上，此時中國電信的問題是從一階條件可以

19、解得當時，初裝費，利潤為。當時，初裝費，利潤為。1如果，那么兩個地區均銷售的策略意味著有利潤，而，因為事實上就是不打算在石家莊銷售的價格策略中被所占優的策略之一。所以這時，最佳策略為，2考慮，兩個地區均銷售的策略意味著利潤。如果，那么最佳策略就是，。如果，那么最佳策略就是，。注：題設條件下，是可能的，比如，它滿足條件，但。3) 若，并且可以在兩地區實行價格歧視。求各地的價格和產量。解：記北京和石家莊生產的邊際收益分別為和，令，可以得到，產量分別為，。4) 若，但法律規定只能實施統一價格，求價格和數量。解：此時兩地的需求曲線為，當時，定價策略為，其利潤為。當時，定價策略為，利潤為因此，當時，若，

20、價格為，數量為。當時，價格為，數量為。當，價格為，數量為。當時，若，價格為，數量為。若，價格為，數量為。當，價格為，數量為。第十講 策略性博弈與納什均衡7 巧克力市場上有兩個廠商，各自都可以選擇取市場的高端（高質量），還是去低端（低質量）相應的利潤由如下得益矩陣給出廠商2 低 高廠商1 低-20，-30 900，600 高100，800 50，50 7.1 如果有的話，哪些結果是納什均衡答：（高，低），（低，高），對應結果分別為（100，800），（900，600）7.2 如何各企業的經營者都是保守的，并都采用最大最小化策略，結果如何？答：均衡為（高，高），結果為（50，50）7.3 合作的結

21、果是什么？答：均衡為（低，高），結果為（900，600）7.4 哪個廠商從合作的結果中得好處最多？那個廠商要說服另一個廠商需要給另一個廠商多少好處？答：廠商1得好處最多應該給200第十一講 廣延性博弈與反向歸納策略2 、你是一個同質產品的雙寡頭廠商之一，你和你的競爭者生產的邊際成本都是零而市場的需求為Q p =302.1 設你們只有一次博弈，而且必須同時宣布產量，你會生產多少？你期望的利潤時多少？為什么？答：我的產量為古諾解解古諾均衡得到， 10 = q ，利潤為100因為，一次產量競爭，各方均按照預期對方產量來確定利潤最大化產量，在均衡中意味著預期與實際產量相等所以預期產量應為古諾均衡解2.

22、2 若你必須先宣布你的產量，你會生產多少？你認為你的競爭者會生產多少？你預計你的利潤是多少？先宣布是一種優勢還是劣勢？為了得到先宣布或后宣布的選擇權，你愿意付出多少？答：先宣布產量等同于在Stackelberg競爭中作為領先者這時，我的最優產量為15，預期利潤為112.5而此時對方產量為7.5，預期利潤為56.25與同時宣布和后宣布相比，先宣布為一種優勢與古諾解相比，這只是一種角度我愿意付出12.52.3 現在假設你正和同一個對手進行十次系列博弈中的第一次，每次都同時宣布產量，你想要你十次利潤的總和（不考慮貼現）最大化，在第一次你將生產多少？你期望第十次生產多少？第九次呢？為什么？答：第一次仍

23、將生產10，而第十次，第九次仍然生產10按反向歸納法，考慮第十次博弈，子博弈納什均衡要求該次博弈必然為納什均衡，即古諾均衡由于第九次博弈的結果對第十次沒有影響，因此第九次的均衡也是古諾均衡同理可得在十次博弈中任一次的均衡皆古諾均衡第十二講 子博弈與完美性2、下表給出了一個倆人的同時博弈，若這個同時博弈進行兩次，第二次博弈是在知道第一次博弈的前提下進行的，并且不存在貼現因子收益（4，4）能夠在純策略的子博弈完備的納什均衡中作為第一次博弈的結果嗎？如果它能夠，給出策略組合；如果不能，請說明為什么不能2 L C RT3， 10，0 5，0 1 M2， 1 1，23，1 B1， 2 0，1 4，4我將“不存在貼現因子”理解為“貼現因子為1”解：若該博弈為一次博弈，有兩個純策略納什均衡(T.L ), (M C ), ，和一個混合策略納什均衡()() ()0 , 5 . 0 , 5 . 0 , 0 , 5 . 0