1、開放性問題【題型特征】 一個數學問題系統中,通常包括已知條件、解題依據、方法和結論.如果這些部分齊備,稱之為封閉性問題.若不完全齊備,稱之為開放性問題,數學開放題就是指那些條件不完整,結論不確定,解法不限制的數學問題,它的顯著特點是正確答案不唯一.常見的開放性問題有:(1)條件開放型;(2)結論開放型;(3)策略開放型;(4)綜合開放型.【解題策略】 (1)條件開放型,指結論給定,條件未知或不全,需要探求結論成立的條件,且與結論成立相對應的條件不唯一的數學問題.這類開放題在中考試卷中多以填空題形式出現.解條件開放型問題的一般思路是:由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件,即從題目的結論出發,挖掘

2、條件,逆向追索,逐步探求,最終得出符合結論的條件.這是一種分析型思維方式.(2)結論開放型,指條件充分給定,結論未知或不全,需要探求,整合出符合給定條件下相應結論的一類試題.這類開放題在中考試卷中,以解答題居多.解結論開放型問題的一般思路是:充分利用已知條件或圖形特征,進行猜想、歸納、類比,透徹分析出給定條件下可能存在的結論,然后經過論證作出取舍.這是一種歸納類比型思維方式.(3)策略開放型,是指題目的條件和結論都已知或部分已知,需要探求解題方法或設計解題方案的一類試題.這類開放題在中考試卷中,一般出現在閱讀題、作圖題和應用題中.解策略開放型問題的處理方法一般需要模仿、類比、實驗、創新和綜合運

3、用所學知識,建立合理的數學模型,從而使問題得到解決.這是一種綜合性思維.(4)綜合開放型,是指條件、結論、解題方法中至少有兩項同時呈現開放形式的數學問題.這類問題往往僅提供一種問題情境,需要我們補充條件,設計結論,并尋求解法的一類問題.解綜合開放型問題要求我們對所學知識特別熟悉并能靈活運用.類型一條件開放型典例1(2015·云南)寫出一個圖象經過一、三象限的正比例函數y=kx(k0)的表達式(表達式). 【解析】 正比例函數y=kx(k為常數,且k0)的圖象經過一、三象限,k>0.比如k=1.故答案可以為y=x.【全解】 y=x.【技法梳理】 解答條件開放題主要根據“

4、執果索因”的原則,多層次、多角度地加以思考和探究.解題的關鍵是掌握正比例函數圖象的性質:它是經過原點的一條直線.當k>0時,圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當k<0時,圖象經過第二、四象限,y隨x的增大而減小.舉一反三1. (2015·江蘇連云港)若函數的圖象在每一象限內,y隨x的增大而增大,則m的值可以是.(寫出一個即可) 2. (2015·江蘇淮安)如圖,在四邊形abcd中,abcd,要使得四邊形abcd是平行四邊形,應添加的條件是(只填寫一個條件,不使用圖形以外的字母和線段). (第2題)【小結】 解答條件開放題掌握概念、性質

5、和判定是解題的關鍵.類型二結論開放型典例2(2015·浙江金華)寫出一個解為x1的一元一次不等式. 【全解】 答案不唯一,只要根據不等式的解法,求其解集為x1即可.例如x-10.舉一反三3. (2015·吉林)如圖,ob是o的半徑,弦ab=ob,直徑cdab.若點p是線段od上的動點,連接pa,則pab的度數可以是.(寫出一個即可) (第3題)4. (2015·甘肅天水)寫出一個圖象經過點(-1,2)的一次函數的表達式. 【小結】 結論開放題與常規題的相同點是:它們都給出了已知條件(題設),要求尋求結論;區別是前者的條件一般較弱,結論

6、通常在兩個以上,解答時需要發散思維和分類討論等思想方法的參與,而后者答案一般只有一個,解題目標大多比較明確.類型三策略開放型典例3(2015·山東淄博)如圖,在正方形網格中有一邊長為4的平行四邊形abcd,請將其剪拼成一個有一邊長為6的矩形.(要求:在答題卡的圖中畫出裁剪線即可)【解析】 【技法梳理】 策略開放題通常是指設計類或幾何類開放題,這類題大多因為解決問題的方法、策略有多種,造成多個答案各具特色,解答時應根據優劣選擇出最佳解答.舉一反三5. (2015·湖北荊門)如圖,在44的正方形網格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(簡稱格

7、點正方形).若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊面積,且組成的圖形是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有().(第5題)a. 2種b. 3種c. 4種d. 5種【小結】 解策略型開放題時,要對已有條件進行發散聯想,努力提出滿足條件和要求的各種方案和設想,并認真加以研究和驗證,直至完全符合要求為止.解決這類問題時往往需要利用分類討論思想,作多方面設計與思考.類型四綜合開放型典例4(2015·山東威海)猜想與證明:如圖(1)擺放矩形紙片abcd與矩形紙片ecgf,使b,c,g三點在一條直線上,ce在邊cd上,連接af,若m為af的中點,連接dm,

8、me,試猜想dm與me的關系,并證明你的結論.拓展與延伸:(1)(2)(1)若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片abcd與正方形紙片ecgf,其他條件不變,則dm和me的關系為. (2)如圖(2)擺放正方形紙片abcd與正方形紙片ecgf,使點f在邊cd上,點m仍為af的中點,試證明(1)中的結論仍然成立.【解析】 猜想:延長em交ad于點h,利用fmeamh,得出hm=em,再利用直角三角形中,斜邊的中線等于斜邊的一半證明.(1)延長em交ad于點h,利用fmeamh,得出hm=em,再利用直角三角形中,斜邊的中線等于斜邊的一半證明,(2)連接ae,ae和ec在同一條直線上,再

9、利用直角三角形中,斜邊的中線等于斜邊的一半證明.【全解】 猜想:dm=me.證明如下:如圖(1),延長em交ad于點h,(1)四邊形abcd和cefg是矩形,adef.efm=ham.又fme=amh,fm=am,在fme和amh中,fmeamh(asa).hm=em.在rthde中,hm=em,dm=hm=me.dm=me.(1)dm=me(2)如圖(2),連接ae,(2)四邊形abcd和ecgf是正方形,fce=45°,fca=45°.ae和ec在同一條直線上.在rtadf中,am=mf,dm=am=mf.在rtaef中,am=mf,am=mf=me.dm=me.【技法

10、梳理】 本題屬四邊形的綜合,運用正方形邊相等,角相等證明二個三角形全等,從而得出二條線段相等,本題的難點是輔助線的做法,通過延長或連接線段等手段來證明二個三角形全等.舉一反三6. (2015·湖南湘潭)abc為等邊三角形,邊長為a,dfab,efac.(1)求證:bdfcef;(2)若a=4,設bf=m,四邊形adfe面積為s,求出s與m之間的函數關系,并探究當m為何值時s取最大值;(3)已知a,d,f,e四點共圓,已知,求此圓直徑.(第6題)【小結】 考試時,對于綜合開放題,若沒有其他要求,可選用簡單情型的進行解答.類型一1. (2015·湖南婁底)如圖,要使平行四邊形a

11、bcd是矩形,則應添加的條件是.(添加一個條件即可) (第1題)2. (2015·黑龍江黑河)如圖,已知abc中,ab=ac,點d,e在bc上,要使abdace,則只需添加一個適當的條件是.(只填一個即可) (第2題)3. (2015·湖南湘潭)如圖,直線a,b被直線c所截,若滿足,則a,b平行. (第3題)(第4題)4. (2015·貴州銅仁)如圖所示,已知1=2,請你添加一個條件,證明:ab=ac.(1)你添加的條件是; (2)請寫出證明過程.類型二5. (2015·北京)如圖,在平面直角坐標系xoy中,正方形

12、oabc的邊長為2.寫出一個函數,使它的圖象與正方形oabc有公共點,這個函數的表達式為. (第5題)6. (2015·山東濱州)寫出一個運算結果是a6的算式. 7. (2015·湖南邵陽)如圖,在abcd中,f是bc上的一點,直線df與ab的延長線相交于點e,bpdf,且與ad相交于點p,請從圖中找出一組相似的三角形:. (第7題)類型三8. (2015·浙江溫州)請舉反例說明命題“對于任意實數x,x2+5x+5的值總是整數”是假命題,你舉的反例是x=(寫出一個x的值即可). 9. (2015·浙江金華)在棋盤中

13、建立如圖所示的直角坐標系,三顆棋子a,o,b的位置如圖,它們的坐標分別是(-1,1),(0,0),(1,0).(1)如圖(2),添加棋子c,使四顆棋子a,o,b,c成為一個軸對稱圖形,請在圖中畫出該圖形的對稱軸;(2)在其他格點位置添加一顆棋子p,使四顆棋子a,o,b,p成為軸對稱圖形,請直接寫出棋子p的位置的坐標.(寫出2個即可)(1)(2)(第9題)10. (2015·浙江寧波)課本的作業題中有這樣一道題:把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?請畫示意圖說明剪法.我們有多少種剪法,圖(1)是其中的一種方法:定義

14、:如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.(1)請你在圖(2)中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線,并標注每個等腰三角形頂角的度數;(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形,則視為同一種)(2)abc中,b=30°,ad和de是abc的三分線,點d在bc邊上,點e在ac邊上,且ad=bd,de=ce,設c=x°,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值;(3)如圖(3),abc中,ac=2,bc=3,c=2b,請畫出abc的三分線,并求出三分線的長.(1)(2)(3)(第10題)類型四11. (2015

15、83;湖北隨州)已知兩條平行線l1,l2之間的距離為6,截線cd分別交l1,l2于c,d兩點,一直角的頂點p在線段cd上運動(點p不與點c,d重合),直角的兩邊分別交l1,l2與a,b兩點.(1)操作發現如圖(1),過點p作直線l3l1,作pel1,點e是垂足,過點b作bfl3,點f是垂足.此時,小明認為peapfb,你同意嗎?為什么?(2)猜想論證將直角apb從圖(1)的位置開始,繞點p順時針旋轉,在這一過程中,試觀察、猜想:當ae滿足什么條件時,以點p,a,b為頂點的三角形是等腰三角形?在圖(2)中畫出圖形,證明你的猜想.(3)延伸探究在(2)的條件下,當截線cd與直線l1所夾的鈍角為15

16、0°時,設cp=x,試探究:是否存在實數x,使pab的邊ab的長為45?請說明理由.(1)(2)(第11題)12. (2015·黑龍江牡丹江)如圖,在rtabc中,acb=90°,過點c的直線mnab,d為ab邊上一點,過點d作debc,交直線mn于e,垂足為f,連接cd,be.(1)求證:ce=ad;(2)當d為ab中點時,四邊形becd是什么特殊四邊形?說明你的理由;(3)若d為ab中點,則當a的大小滿足什么條件時,四邊形becd是正方形?請說明你的理由.(第12題)參考答案【真題精講】1. 答案不唯一,只要m-1<0即可,例如m=-1等.解析:函數的圖

17、象在每一象限內,y隨x的增大而增大,m-1<0.m<1.例如m=-1等.2. 答案不唯一,例如ab=cd.解析:已知abcd,可根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來判定,也可根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形來判定.因此我們可以直接寫出條件ab=cd,adbc,或可以推出adbc的一些條件,如a=c或b=d或a+b=180°或c+d=180°等.故答案可以為ab=cd.3. 答案不唯一,可以為70°.解析:設ab與cd相交于點e,ab=ob,直徑cdab,ob=2be.boc=30°.aoc=30°.adc=15&#

18、176;.點p是線段od上的動點,15°apc30°.60°pab75°.4. 答案不唯一,如y=x+3.5. c解析:如圖所示:組成的圖形是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有4種.(第5題)6. (1)dfab,efac,bdf=cef=90°.abc為等邊三角形,b=c=60°.bdf=cef,b=c,bdfcef.(第6題(1)當m=2時,s取到最大值,最大值為33.(3)如圖(2),(第6題(2)a,d,f,e四點共圓,edf=eaf.adf=aef=90°,af是此圓的直徑.【課后精練】1.

19、答案不唯一,如abc=90°或ac=bd2. 答案不唯一,如bd=ce3. 答案不唯一,如1=2或2=3或3+4=180°.4. (1)添加的條件是可以是b=c(答案不唯一);(2)證明:在abd和acd中,abdacd(aas).ab=ac.9. (1)如圖(2)所示,直線l即為所求;(2)如圖(1)所示,p(0,-1),p'(-1,-1)都符合題意.(1)(2)(第9題)10. (1)如圖(1)作圖,(第10題(1)(2)當ad=ae時,如圖(2),(第10題(2)2x+x=30+30,x=20.當ad=de時,如圖(3),(第10題(3)30+30+2x+x=180,x=40.(3)如圖(4),cd,ae就是所求的三分線.(第10題(4)設b=,則dcb=dca=eac=,ade=aed=2,此時aecbdc,acdabc.設ae=ad=x,bd=cd=y,aecbdc,xy=23.acdabc,2x=(x+y)2.11. (1)同意.證明